Рассылка решений заочных туров олимпиад по математике

Подписывайтесь на нашу рассылку решений заочных туров всех олимпиад по математике: Ломоносов, Покори Воробьевы горы, Высшая проба, Физтех 2017 и другие перечневые олимпиады.

Физтех 2013 по математике (задания и решения онлайн-этапа)


  • Сезон олимпиад 2016-2017 открыт!
    Идет запись на наши курсы подготовки к олимпиадам по математике с гарантированным результатом.
    image
    1. Индивидуальные занятия и консультации.
    2. Помощь в прохождении заочных туров олимпиад. Одна олимпиада 1-5 тыс. руб.
    3. Помощь эксперта на очных турах олимпиад. Одна олимпиада от 30 тыс. руб.
    4. Гарантия успешного результата (курсы ведутся пятый сезон).

    Стоимость курсов от 3000 до 25000 руб. в месяц. Стандартный курс - 10000 руб. в месяц. Длительность курсов - 6 месяцев.
    В составе стандартного курса заочные туры 10 олимпиад и очные туры 2 олимпиад.
    Посмотреть тарифные планы и подробную информацию по курсам подготовки.

    Олимпиада Физтех 2016 - задания и решения отборочного этапа по математике.
    Физтех 2013 по математике (задания и решения онлайн-этапа) за 11 класс.
  • Порядковые номера задач не соблюдены.

    Задача №1
    На Новый год Дед Мороз раздавал конфеты в детском саду. На праздник пришли `24` мальчика и `56` девочек.
    Причем Дед Мороз раздавал конфеты поровну всем мальчикам и поровну всем девочкам.
    Оказалось, что существует лишь единственный способ так раздать все конфеты.
    Какое наибольшее число конфет могло быть у Деда Мороза? (Предполагается, что каждому досталась хотя бы одна конфета)

    Решение:
    `a` - количество конфет каждому мальчику, `b` - кол-во конфет каждой девочке, `K` - общее количество конфет.
    Получаем уравнение `24a+56b=K`, где `a,b,K in NN`.
    `8(3a+7b)=K`,
    следовательно `K` кратно `8`, т.е. `K=8k, k in NN`,
    `3a+7b=k`.
    По условию задачи надо найти наибольшее натуральное значение k, при котором наше уравнение имеет
    единственное решение в натуральных числах.
    Пусть пара `(a_0, b_0)` является этим единственным решением,
    `3a_0+7b_0=k`,
    тогда легко заметить, что `3(a_0+7)+7(b_0-3)=k`, т.е. пара `a_0+7, b_0-3` тоже является решением.
    Чтобы не войти в противоречие с условием задачи, `b_0-3<=0`, т.е. `b_0<=3`, аналогично `a_0<=7`, тогда `k<=3*7+7*3=42`, т.е. при больших `k` всегда будет больше `1` натурального решения. Значение `k=42` годится, т.к. у уравнения `3a+7b=42` единственным решением является пара `(7;3)`, проверьте сами. `K=8k=336`.<br />
    Если в условии даны другие числа, например, `A, B`, где `d=НОД(A,B)` (в нашем примере это `24,56` и `8`), то ответом будет число `(2AB)/d^2`.


    Ответ: `336`.
  • Задача №2

    В большую коробку положили `11` коробок поменьше. В некоторые из вложенных коробок положили `11` еще поменьше.
    В некоторые из этих опять положили `11`, и т.д.
    После этого ровно `2012` коробок оказалось с содержимым. Какое наибольшее число коробок при этом может быть пустыми?

    Решение:
    На каждом шаге минимум `1` коробка будет заполненной, максимум `10` останутся пустыми.
    Если сделать `2012` шагов, заполняя при этом `1` коробку на каждом шаге, всего с содержимым окажется `2012` коробок, а пустых
    будет `2011*10=20110`.

    Если в условии даны другие числа, например, `X` коробок, `Y` с содержимым, то ответом будет число `(Y-1)*(X-1)`.


    Ответ: `20110`.
  • Задача №3

    Сколько существует различных натуральных значений `n`, которых при функция
    `f(x)=cos(nx)sin((15x)/n)`
    имеет период `4pi`?

    Решение:
    По определению периода:
    `f(x)=f(x+4pi)` при всех `x in RR`.
    `f(x+4pi)=cos(nx+4pin)*sin((15x)/n+(60pi)/n)=cos(nx)*sin((15x)/n+(60pi)/n)`,
    `cos(nx)sin((15x)/n)=cos(nx)*sin((15x)/n+(60pi)/n)`,
    `cos(nx)(sin((15x)/n)-sin((15x)/n+(60pi)/n))=0`,
    `2cos(nx)cos((15x)/n+(30pi)/n)sin((30pi)/n)=0` (1).
    `sin((30pi)/n)=0`,
    `(30pi)/n=pik, k in ZZ`,
    `30/n=k, k in ZZ`,
    `n=1,2,3,5,6,10,15,30` - `8` различных натуральных значений.
    Предположим, что есть иные натуральные значения `n`, при которых равенство (1) выполняется при всех `x`,
    т.е. `cos(nx)cos((15x)/n+(30pi)/n)=0`.
    Пусть `x=0 => cos((30pi)/n)=0`,
    `(30pi)/n=pi/2+pim, m in ZZ`,
    `30/n=(2m+1)/2`,
    `n(2m+1)=60`.
    Годится только значение `n=60` (остальные значения `n` мы уже рассмотрели).
    Тогда `cos(60x)cos(x/4+pi/2)=0`,
    но данное равенство не выполняется при всех `x`, например, при `x=pi`.

    Ответ: `8` значений.
  • Задача №4

    Мама может съесть весь борщ за `33` минут, весь плов за `7` минут и торт за `16` минут.
    Вовочке на это требуется соответственно `8, 10` и `4` минут соответственно.
    Вовочка распределил продукты между собой и мамой таким образом, чтобы обед прошел как можно быстрее.
    Найдите сколько минут, потратили на обед мама с Вовочкой?

    Решение:
    Пусть `a,b,c` - время (в минутах), которое потратила мама на соответственно борщ, плов и торт.
    `x,y,z` - время, потраченное Вовочкой.
    Поскольку обед они начали в одно время, закончили в одно время, `a+b+c=x+y+z=f`.
    Надо найти `f_min`.
    Также имеем систему равенств:
    `{(a/33+x/8=1),(b/7+y/10=1),(c/16+z/4=1):}`
    Из этой системы получаем: `{(a=33-33/8x),(b=7-7/10y),(c=16-4z):}`
    `a+b+c=56-33/8x-7/10y-4z`,
    `x+y+z=56-33/8x-7/10y-4z`,
    `41/8x+17/10y+5z=56`.
    Получаем систему:
    `{(41/8x+17/10y+5z=56),(x+y+z=f):}`
    с условием: найти минимальное `f`, при которых система имеет решение со следующими ограничениями:
    `x in [0;8], y in [0;10], z in [0;4]`.
    Это классическая задача с параметром (`f` - параметр).
    `z=f-x-y`,
    `41/8x+17/10y+5f-5x-5y=56`,
    `1/8x-33/10y=56-5f`.
    Из того, что `x in [0;8], y in [0;10]: 56-5f=1/8x-33/10y<=1 => 5f>=55 => f>=11`.
    `f=11` годится, есть решение `x=8, y=0, z=3`.

    Задача с другими числами решается аналогично, просто подставьте свои числа.

    Ответ: `11` минут.
  • Задача №5

    Али-Баба проник в пещеру, где он обнаружил неограниченные запасы золота и алмазов. Но у него с собой есть лишь один мешок.
    Мешок полный золота весит `150` кг, а мешок полный алмазов — `50` кг, пустой мешок не весит ничего.
    На базаре килограмм золота стоит `32` динаров, килограмм алмазов — `64` динаров. Али-Баба может нести не более `100` кг.
    Какое наибольшее число динаров он cможет получить за сокровища, которые принесет из пещеры за один раз?

    Решение:
    Пусть `x` - количество килограмм золота, `y` - алмазов, которые унес Али-баба. Тогда `x+y<=100`. <br />Из условия следует, что `1` кг золота `= 1/150` мешка, `1` кг алмазов `= 1/50` мешка.
    Если предположить, что мешок набит полностью, тогда `x/150+y/50=1`.
    Надо найти максимальное значение выражения `32x+64y=32(x+2y)`.
    Переформулируя задачу, получаем систему:
    `{(x+3y=150),(x+2y=a):}`
    Надо найти максмальное значение параметра `a`, при котором система имеет решения со следующими ограничениями:
    `x+y<=100, x,y>=0`.
    Можно добавить целостность `x,y`, но необходимости нет.
    `150=x+3y=x+y+2y<=100+2y => 2y>=50, y>=25` - важное ограничение.
    Решаем систему: `x=a-2y`,
    `a-2y+3y=150`,
    `a+y=150`,
    `a=150-y`,
    `y>=25 => a<=150-25=125`. <br />Значение `a=125` годится, т.к. есть решение `x=75, y=25`, удовлетворяющее всем условиям.
    Всего динаров Али-Баба получит `32*125=4000`.

    Ответ: `4000`.
  • Задача №6

    Наибольший общий делитель натуральных чисел `m` и `n` равен `1`.
    Каково наибольшее возможное значение наибольшего общего делителя чисел `30m + n` и `100n + m`?

    Решение:
    Пусть `d=НОД(30m+n,100n+m)`,
    тогда `30(100n+m)-(30m+n)=2999n` кратно `d`.
    Заметим, что `d,n` не имеют общих делителей, иначе `100n+m=kd` кратно их общему делителю, следовательно m кратно этому же числу, что
    противоречит условию о взаимной простоте `m,n`.
    Поэтому `2999` кратно `d`.
    Легко проверить, что `2999` является простым числом, поэтому `d=1` или `2999`.
    Проверим значение `d=2999`.
    `n=29, m=99` - взаимно простые числа, удовлетворяющие условию задачи.

    Ответ: `2999`.
  • Задача №7

    Трое ребят принялись красить ватман каждый в свой цвет. Один закрасил красным `70%` ватмана, другой зеленым `85%`, третий синим `65%`.
    Сколько процентов ватмана заведомо закрашено всеми тремя цветами?

    Решение:
    Первыми двумя цветами закрашено заведомо `55%` ватмана (`70%+85%-100%`).
    Назовем это красно-зеленым цветом. Итак, имеется `55%` красно-зеленого цвета и `65%` синего.
    Тогда всеми тремя цветами будет закрашено заведомо `20%` ватмана (`55%+65%-100%`).

    Если в задаче другие числа, например, `X%, Y%, Z%`, то ответом будет `(X+Y+Z-200)%`.


    Ответ: `20%`.
  • Задача №8

    Найдите две последние цифры числа `7^2222`.

    Решение:
    `7^2222=49^1111=(50-1)^1111`.
    Используем формулу `(a+b)^n=a^n+n*a^(n-1)b+...+a*b^(n-1)+b^n`.
    `A=(50-1)^1111=50^1111-...-50^2*t+1111*50-1`, где `t` - натуральное число.
    Легко заметить, что `A=100B+1111*50-1=100(B+555)+49`, где `B` - натуральное число.

    Ответ: `49`.
  • Задача №9

    Сколько пар натуральных чисел удовлетворяют равенству `НОД(х;y)+НОК(x;y)=2003`? (`(1;2)` и `(2;1)` - разные пары)

    Решение:
    Используем известное свойство:
    Если `НОД(x,y)=d, x=ad, y=bd`, где `a` и `b` взаимно простые числа, тогда `НОК(x,y)=abd`.
    Можно использовать, как лемму, доказательство простое, при необходимости выложим.
    Тогда получается `d+abd=2003`,
    `d(ab+1)=2003`.
    Легко получить, что `2003` простое число, поэтому имеем `2` возможных варианта: `d=1` или `2003`.
    Если `d=2003 => ab=0` - решений нет.
    Если `d=1 => ab=2002=2*7*11*13`, получаем `16` различных пар `(a,b)`.
    Каждой паре `(a,b)` соответствуйте ровно одна пара `(x,y)`.

    Ответ: `16`.
  • Задача №10

    Вершины дветысячеугольника занумерованы от `1` до `2000`. Начиная с первой закрашивается каждая `12`-тая вершина (`1,13,25` и т.д.). Вершины закрашиваются до тех пор, пока не окажется, что все вершины, которые требуется закрасить, уже найдены. Сколько вершин окажутся не закрашенными?

    Решение:
    На первом шаге закрашиваются вершины вида `12k+1`: `1, 13, 25,..., 12*166+1=1993` (всего `167` вершин).
    Второй шаг начинается с `5` вершины (`1993+12-2000=5`), поэтому закрашиваются вершины вида `12k+5`: `5, 17,..., 12*166+5=1997` (всего `167` вершин).
    Третий шаг начинается с `9` вершины, закрашиваются вершины вида `12k+9`: `9, 21,...,12*165+9=1989` (всего `166` вершин).
    После этого снова попадаем на первую вершину (`1989+12-2000=1`), и каждый следующий раз попадаем уже на закрашенную вершину. Цикл замкнулся.
    Всего закрашенных вершин `167+167+166=500`, не закрашенных `1500`.

    Ответ: `1500`.

Рассылка решений заочных туров олимпиад по математике