Рассылка решений заочных туров олимпиад по математике

Подписывайтесь на нашу рассылку решений заочных туров всех олимпиад по математике: Ломоносов, Покори Воробьевы горы, Высшая проба, Физтех 2018 и другие перечневые олимпиады.

Олимпиада САММАТ 2014 / Задания и решения отборочного этапа по математике


  • Сезон олимпиад 2016-2017 открыт!
    Идет запись на наши курсы подготовки к олимпиадам по математике с гарантированным результатом.
    image
    1. Индивидуальные занятия и консультации.
    2. Помощь в прохождении заочных туров олимпиад. Одна олимпиада 1-5 тыс. руб.
    3. Помощь эксперта на очных турах олимпиад. Одна олимпиада от 30 тыс. руб.
    4. Гарантия успешного результата (курсы ведутся пятый сезон).

    Стоимость курсов от 3000 до 25000 руб. в месяц. Стандартный курс - 10000 руб. в месяц. Длительность курсов - 6 месяцев.
    В составе стандартного курса заочные туры 10 олимпиад и очные туры 2 олимпиад.
    Посмотреть тарифные планы и подробную информацию по курсам подготовки.

    Олимпиада САММАТ 2014. Задания и решения отборочного этапа по математике.

    Олимпиада САММАТ находится в перечне олимпиад с 2009 года. В прошлом учебном году (2012-2013) ей присвоили третий уровень.
    В этом году САММАТ тоже в перечне, ожидается 2-3 уровень.

    САММАТ олимпиада. Отборочный этап по математике.


    Отборочный этап олимпиады САММАТ проводится в очной и заочной форме.
    Очный этап прошел 17 ноября, заочный (в дистанционной форме) проходит с 17 ноября.
    В отличие от прошлого года, дается 10 задач различной сложности. Если вы проходите отборочный этап в заочной форме, то достаточно ввести ответы. Ниже решения одного из вариантов. В остальных вариантах задания либо совпадают полностью, либо идентичны.
    Для прохождения на заключительный этап (очный тур) скорее всего хватит 6-7 правильных ответов.

    Олимпиада САММАТ 2014. Заключительный этап по математике.


    Очный тур (заключительный этап) традиционно проводится в первое или второе воскресенье марта. В прошедшем учебном году заключительный этап был проведен 3 марта.
    САММАТ 2013 - задания и решения очного тура по математике.
    Дается 10 задач, все олимпиадного характера. Олимпиада считается одной из наиболее сложных. Но это компенсируется низкими критериями получения диплома. В прошедшем учебном году для диплома 3 степени было достаточно решить 3 или 4 задачи из 10, для второй степени - 5 задач из 10. Для первой степени - 6 задач или больше.

    Полезная информация


    Перечень олимпиад школьников на 2013-2014 год - с уровнями.
    Олимпиады для школьников 2013-2014 - основная информация.
  • Задача №1 (олимпиада САММАТ 2014 - отборочный этап по математике)
    Найдите `c^a`, если `b^c=25, c^c=36, b^a=5`

    Решение:
    1. Из этой задачи неявно следует, что `a,b,c>0`.
    2. `b^c=25, b^a=5 => b^(2a)=b^c`
    `b=1` (невозможно, т.к. `b^a=5`) или `2a=c`.
    3. Тогда `36=c^c=c^(2a) => c^a=+-6`. Выкидываем по некоторым соображениям отрицательное значение.

    Ответ: `6`.

  • Задача №2 (олимпиада САММАТ 2014 - отборочный этап по математике)
    Решите уравнение `(cos3x)/(sin(x+pi/6))=-1` и найдите сумму `S` всех решений, принадлежащих отрезку `[-pi;2pi]`. В ответе укажите `(2S)/(pi)`.

    Решение:
    1. ОДЗ: `sin(x+pi/6)!=0 => x+pi/6!=pik, k in ZZ => x!=-pi/6+pik, k in ZZ`.
    2. `cos3x=-sin(x+pi/6) iff cos3x+sin(x+pi/6)=0`
    `sin(pi/2+3x)+sin(x+pi/6)=0`
    `2sin(2x+pi/3)cos(x-pi/6)=0`
    3. `sin(2x+pi/3)=0 => 2x+pi/3=pin => x=-pi/6+(pin)/2, n in ZZ`.
    `cos(x-pi/3)=0 => x-pi/3=pi/2+pim => x=(5pi)/6+pim, m in ZZ`.
    4. Отбор корней на отрезке `[-pi;2pi]`:
    От первой серии: `-4/6pi, -pi/6, 2/6pi, 5/6pi, 8/6pi, 11/6pi`
    От второй серии: `-pi/6, 5/6pi, 11/6pi` - все эти корни есть в первой серии.
    По ОДЗ не годятся корни  `-pi/6, 5/6pi, 11/6pi`
    Тогда `S=-4/6pi+2/6pi+8/6pi=pi => (2S)/pi=2`.

    Ответ: `2`.
  • Задача №3 (олимпиада САММАТ 2014 - отборочный этап по математике)
    При каких целых `m` неравенство
    `|x+1|+|x-2|-|x-3|<m`
    имеет ровно `2013` целых решений?

    Решение:
    Пусть `f(x)=|x+1|+|x-2|-|x-3|`
    1. При `x>=3`: `f(x)=x+2`
    При `x in [2;3]`: `f(x)=3x-4`
    При `x in [-1;2]`: `f(x)=x`
    При `x< -1`: `f(x)=-x-2`.
    Строим график этой функции. Минимум получается в точке `x=-1`, при этом левее функция убывает, правее - возрастает.
    2. Функция состоит из `4` прямых, при этом `f(x)<m` если `x in (x_1;x_2)` где `x_1,x_2` - две точки пересечения. Точек пересечения может быть меньше, но тогда нет целых решений нер-ва, а должно быть `2013`. Легко заметить, что столько решений будет если прямая `y=m` пересекает ломаную `y=f(x)` в левой части и самой правой. Тогда можем найти `x_1` и `x_2`.
    `-x-2=m => x_1=-m-2`
    `x+2=m => x_2=m-2`
    `x in (-m-2;m-2)` - в этот интервал должно войти ровно `2013` целых точек.
    Границы интервала целые точки, но они не входят в интервал, значит целые точки из интервала следующие: `-m-1, -m,..., m-4, m-3`.
    Их количество равно `m-3-(-m-1)+1=2m-1=2013 => 2m=2014 => m=1007`.

    Ответ: `1007`.
  • Задача №4 (САММАТ олимпиада - отборочный тур по математике)
    Найдите площадь четырехугольника,ограниченного прямыми `5x-y/2=10`, `5x-y/2=5` и осями координат.

    Решение:
    `y_1=10x-20`
    `y_2=10x-10`
    Прямые параллельны, поэтому получаем трапецию, где боковые стороны - оси координат, большее основание - прямая `y=10x-20`, меньшее основание - прямая `y=10x-10`.
    Легко посчитать площадь этой фигуры следующим образом:
    Заметим, что прямая `y=10x-20` образует с осями координат прямоугольный треугольник с площадью `S_1`, а прямая `y=10x-10` прямоугольный треугольник с площадью `S_2`. Тогда наша искомая площадь равна `S=S_1-S_2`.
    Посчитаем `S_1`: точки пересечения прямой `y=10x-20` с осями координат равны `(2;0), (0,-20)`, поэтому катеты равны `2` и `20 => S_1=1/2*2*20=20`.
    Аналогично, `S_2=1/2*1*10=5`
    `S=20-5=15`.

    Ответ: `15`.
  • Задача №5 (САММАТ олимпиада 2013-2014 - отборочный тур по математике)
    Сколько раз встречается единица в записи суммы
    `9+99+...+99...99` (`2013` девяток)

    Решение:
    Обозначим `S=9+99+...+99...99`
    Тогда `S=10-1+10^2-1+...+10^2013-1=10^2013+..+10^2+1-2013`
    `S=11...11110` (`2013` единичек) `-2013=11...1109097` (`2009` единичек)

    Ответ: `2009`.
  • Задача №6 (олимпиада САММАТ 2014)
    Найдите четырехзначное натуральное число, в котором цифра тысяч, цифра сотен и двузначное число, составленное из его двух последних цифр, образуют геометрическую прогрессию, а произведение цифр искомого числа принимает максимально возможное значение при этих условиях.

    Решение:
    Пусть `bar(abcd)` - искомое число. При этом `a!=0`.
    Тогда `a,b` и `10c+d` составляют геом. прогрессию.
    Три числа составляют геом. прогрессию `iff` произведение крайних равно квадрату центрального.
    `a(10c+d)=b^2`.
    В условии явно не сказано, может `c=0` или нет. Но можем не рассматривать `c=0`, т.к. в этом случае получаем, что `abcd=0`, а мы ищем такую четверку `a,b,c,d`, что из произведение максимально.
    Тогда `a(10c+d)>=1*10 => b^2>=10 => b>=4`. Дальше только перебор.
    `b=9`: `a(10c+d)=81`. `81` делится только на `2` двузначных числа - `27` и `81`.
    Тогда `a=1, c=8, d=1` или `a=3, c=2, d=7`.
    `abcd=72, 378`.
    `b=8`: `a(10c+d)=64`. `64` делится на `64, 32, 16`.
    `(a,c,d)=(1,6,4), (2,3,2), (4,1,6)`.
    `abcd=192, 96, 192`
    `b=7`: `a(10c+d)=49`. `49` делится только на `49` (среди двузначных чисел).
    `(a,c,d)=(1,4,9)`
    `abcd=252`
    `b=6`: `a(10c+d)=36`. `36` делится на `36, 18` и `12`.
    `(a,c,d)=(1,3,6), (2,1,8), (3,1,2)`.
    `b=5: a(10c+d)=25`.
    `(a,c,d)=(1,2,5)`.
    `b=4 => (a,c,d)=(1,1,6)`.
    Видим, что `abcd_max=378` при `(a,b,c,d)=(3,9,2,7)`.

    Ответ: `3927`.

  • Задача №7
    Из пункта `A` по прямолинейной дороге выехал автомобиль, а через некоторое время следом за ним - мотоциклист. Догнав автомобиль, он повернул обратно и вернулся в пункт `A`, причем автомобиль в момент возвращения находился на расстоянии в три раза большем от `A`, нежели в момент выезда мотоциклиста. Найдите отношение скоростей мотоциклиста и автомобиля.

    Решение:
    Пусть `x` - скорость автомобилиста и `y` - скорость мотоциклиста. Надо найти, чем равно `y/x`.
    Точка `B` - точка, в которой мотоциклист догнал автомобилиста.
    Точка `C` - точка автомобилиста в момент выезда мотоциклиста.
    Точка `D` - точка автомобилиста в момент возвращения мотоциклиста.
    Тогда `AD=3AC => AC+CD=3AC => CD=2AC`.
    `(BC)/x=(BA)/y`
    `(DB)/x=(BA)/y => BC=DB => BC=DB=AC=S`.
    Тогда `S/x=(2S)/y => y/x=2`.

    Ответ: `2`.

  • Задача №8
    Решите систему уравнений
    `{(x^2-y^2=5),(x^2-xy+y^2=7):}`
    В ответе укажите минимальное значение выражения `x+y`, где `(x,y)` - решение системы уравнений.

    Решение:
    Такие системы сводятся к однородным уравнениям:
    `7(x^2-y^2)=5(x^2-xy+y^2)`
    `2x^2+5xy-12y^2=0`
    `y!=0` иначе `x=0`, тогда из первого уравнения системы `0=5`.
    Делим на `y^2` и вводим замену `x/y=t`:
    `2t^2+5t-12=0`
    `D=121=11^2, t_1=-4, t_2=3/2`.
    `{(x/y=-4),(x^2-y^2=5):} iff {(x=-4y),(15y^2=5):}`
    `y^2=1/3 iff y=+-sqrt(1/3) => x=-+4sqrt(1/3)`
    `{(x/y=3/2),(x^2-y^2=5):} iff {(x=3/2y),(5/4y^2=5):}`
    `y^2=4 iff y=+-2 => x=+-3`.
    Среди `4` пар решений минимальное значение `x+y` равно `-5`.

    Ответ: `-5`.
  • Задача №9
    Найдите координаты точки `C(x;y;z)`, симметричной середине отрезка `AB` относительно начала координат, если `A(2;3;4)`; `B(-2,5;6,2;-5,3)`. В ответе укажите `(x^2+y^2+z^2)*200`.
  • Задача №10
    В противолежащих боковых гранях четырехугольной призмы, основания которой - параллелограммы, расположены два отрезка `KL` и `MN`. Найдите наибольшее из возможных значений объема тетраэдра `KLMN`, если объем призмы равен `216`.

Рассылка решений заочных туров олимпиад по математике