ОММО 2019
Условия и ответы ОММО (все варианты).
info@olympiads.biz - почта для подключения следующих олимпиад.

Олимпиада САММАТ 2014 / Задания и решения отборочного этапа по математике
  • Задача №2 (вариант 2)
    Найти сумму `S` всех решений уравнения `5sin2x-11(sinx+cosx)+7=0`
    принадлежащих отрезку `[-5/4pi;3/4pi]`. В ответе укажите `(4S)/pi`.

    Решение:
    1. `5sin2x+5-11(sinx+cosx)+2=0`
    `5(sinx+cosx)^2-11(sinx+cosx)+2=0`
    Замена `sinx+cosx=t`
    `5t^2-11t+2=0`
    `D=121-40=81`
    `t_1=1/5`
    `t_2=2` - не годится, т.к. `|t|<=sqrt2`.
    `sinx+cosx=1/5`
    `sin(x+pi/4)=1/(5sqrt2)`
    `x+pi/4=(-1)^n*arcsin(1/(5sqrt2))+pin, n in ZZ`
    `x=-pi/4+(-1)^n*arcsin(1/(5sqrt2))+pin, n in ZZ`
    В отрезок `[-5/4pi; 3/4pi]` войдут корни при `n=0` и `1`.
    `x_1=-pi/4+arcsin(1/(5sqrt2)), x_2=3/4pi-arcsin(1/(5sqrt2))`
    `S=pi/2 => (4S)/pi=2`.

    Ответ: `2`.

    2S
  • Задача №3
    При каких натуральных `m` неравенство `|2n-4|+m>|3n+3|+|n-1|` имеет ровно `2013` натуральных решений.

    Решение:
    `|3n+3|+|n-1|-|2n-4|<m`
    `f(n)=|3n+3|+|n-1|-|2n-4|`
    `n>=2`: `f(n)=2n+6`
    `n in [1;2]`: `f(n)=6n-2`
    `n in [-1;1]`: `f(n)=4n`
    `n< -1`: `f(n)=-2n-6`
    `f_min=f(-1)=-4`
    Чтобы было `2013` натуральных решений, прямая `y=m` должна пересечь нашу ломаную `y=f(n)` в левой части и правой. Найдем точки пересечения:
    `2n+6=m => n=(m-6)/2`
    `-2n-6=m => n=(-m-6)/2`
    Решение нашего нер-ва `n in ((-m-6)/2; (m-6)/2)`
    Чтобы в него вошло `2013` натуральных точек, необходимо выполнение следующего условия
    `(m-6)/2>2013 => m-6>4026 => m>4032 => m>=4033` т.к. m - целый.
    `m=4033` годится т.к. тогда будут натуральные решения `1,2,...,2013`
    `m=4034` тоже годится, т.к. тогда будут те же решения.

    Ответ: `4033` и `4034`.
  • Задача №5 (вариант 2)
    Пусть цифра `a` встречается `n` раз (чаще всего) в сумме `6+66+...+66...66` (`2013` единичек).
    Чему равно `a+n`?

    Решение:
    Пусть `S_1=6+66+...+66...66`, тогда `S_1=2/3S`, где `S` - число из другого варианта этого номера (на предыдущей странице темы), с девятками.
    Тогда `S_1=2/3*111...1109097` (`2009` единичек)
    `S/3=370370370...370369399` - `2013` цифр
    `2/3S=740740740...740739398` - `2013` цифр
    Наиболее часто встречается цифра `7`: `669+1=670` раз.
    `a=7, n=670 => a+n=677`.

    Ответ: `677`.
     
  • Задача №6 (вариант 2)
    Среднее геометрическое двух положительных чисел на `12` больше меньшего из этих чисел, а среднее арифметические этих же чисел на `24` меньше большего числа. Найдите большее из этих чисел.

    Решение:
    Искомые числа `a>b>0`.
    `sqrt(ab)=b+12`
    `(a+b)/2=a-24`
    `a+b=2a-48 => a=b+48`
    `ab=(b+12)^2`
    `b(b+48)=(b+12)^2`
    `b^2+48b=b^2+24b+144 => 24b=144 => b=6 => a=b+48=54`.

    Ответ: `54`.

  • Задача №8 (вариант 2)
    Решите систему уравнений
    `{(x2=3x+4y),(y^2=4x+3y):}`
    В ответе укажите максимальное значение выражения `x+y`, где `(x,y)` - решение системы уравнений.

    Решение:
    Вычтем из первого ур-я второе:
    `x^2-y^2=y-x`
    `(x-y)(x+y+1)=0`
    `x-y=0 или x+y+1=0`
    `{(x=y),(x^2=3x+4y):}`
    `x^2=7x => x=0; 7 => y=0; 7`.
    `{(x+y+1=0),(x^2=3x+4y):}`
    `y=-x-1`
    `x^2=3x-4x-4`
    `x^2+x+4=0 =` корней нет.
    `(x+y)_max=14`.

    Ответ: `14`.
  • Задача №7 (вариант 2, про точки)
    Две точки начинают одновременно двигаться равномерно по прямым `Ox` и `Oy`, пересекающихся под прямым углом. Первая точка движется со скоростью `4` м/с по прямой `Ox` от точки `A` к точке `O`, находящейся на расстоянии `100` метров от точки `A`. Вторая точка движется со скоростью `3` м/с по прямой `Oy` от точки `B` к точке `O`, находящейся на расстоянии `125` м от точки `B`. Через сколько секунд после начала движения расстояние между точками будет наименьшим?

    Решение:
    Будем считать, что точки движутся непрерывно, т.е. не останавливаются в точке `O` (начало координат), и проходят через нее.
    Пусть `x` - количество секунд с начала движения точек.
    Тогда расстояние между ними выражается функцией
    `f(x)=(100-4x)^2+(125-3x)^2=25x^2-1550x+25625`.
    `x_min=31`.

    Если же точки движутся только до точки `O`, тогда минимальное расстояние будет после `25` секунд, когда первая точка прибудет в точку `O`.

    Ответ: `31`.
  • Задача №10 (вариант 2)
    В сфере, радиус которой равен `10`, проведены две хорды длиной `12` и `16`.
    Найдите наибольшее из возможных значений объема тетраэдра, вершинами
    которого являются концы данных хорд.

    Решение:
    Есть такая формула `V=1/6abdsinalpha`, где `a,b` скрещивающиеся ребра (как раз наши хорды) `d` - расстояние между ними  `alpha`
    - угол между прямыми, содержащими эти ребра.
    Объем будет максимальным, при угле в `90^0` и максимальном расстоянии, которое достигается когда `ОМ` и `ОК` лежат на одной прямой.
    `ОМ=sqrt(OA^2-AM^2)=sqrt(R^2-(1/2AB)^2)=6`
    `OK=sqrt(OC^2-CK^2)=sqrt(R^2-(1/2CD)^2)=8`
    `d_max=OM+OK=14`
    `V_max=1/6AB*CD*MK*sin(AB;CD)=1/6*16*12*(8+6)sin90^0=448`


    Ответ: `448`.
  • Задача №3 (вариант 3)
    При каких целых `m` неравенство
    `|x-1|+|x+2|-|x-3|<m`
    имеет ровно `2013` целых решений?

    Решение:
    Пусть `f(x)=|x-1|+|x+2|-|x-3|`
    1. При `x>=3`: `f(x)=x+4`
    При `x in [1;3]`: `f(x)=3x-2`
    При `x in [-2;1]`: `f(x)=x`
    При `x< -2`: `f(x)=-x-4`.
    Строим график этой функции. Минимум получается в точке `x=-2`, при этом левее функция убывает, правее - возрастает.
    2.
    Функция состоит из `4` прямых, при этом `f(x)<m` если `x in
    (x_1;x_2)` где `x_1,x_2` - две точки пересечения. Точек пересечения
    может быть меньше, но тогда нет целых решений нер-ва, а должно быть
    `2013`. Легко заметить, что столько решений будет если прямая `y=m`
    пересекает ломаную `y=f(x)` в левой части и самой правой. Тогда можем
    найти `x_1` и `x_2`.
    `-x-4=m => x_1=-m-4`
    `x+4=m => x_2=m-4`
    `x in (-m-4;m-4)` - в этот интервал должно войти ровно `2013` целых точек.
    Границы интервала целые точки, но они не входят в интервал, значит целые точки из интервала следующие: `-m-3, -m,..., m-4, m-5`.
    Их количество равно `m-5-(-m-3)+1=2m-1=2013 => 2m=2014 => m=1007`.

    Ответ: `1007`.

Рассылка решений заочных туров олимпиад по математике