Рассылка решений заочных туров олимпиад по математике

Подписывайтесь на нашу рассылку решений заочных туров всех олимпиад по математике: Ломоносов, Покори Воробьевы горы, Высшая проба, Физтех 2018 и другие перечневые олимпиады.

Олимпиада Покори Воробьевы горы 2013-2014 - 2 тур отборочного этапа - задания и решения


  • Сезон олимпиад 2016-2017 открыт!
    Идет запись на наши курсы подготовки к олимпиадам по математике с гарантированным результатом.
    image
    1. Индивидуальные занятия и консультации.
    2. Помощь в прохождении заочных туров олимпиад. Одна олимпиада 1-5 тыс. руб.
    3. Помощь эксперта на очных турах олимпиад. Одна олимпиада от 30 тыс. руб.
    4. Гарантия успешного результата (курсы ведутся пятый сезон).

    Стоимость курсов от 3000 до 25000 руб. в месяц. Стандартный курс - 10000 руб. в месяц. Длительность курсов - 6 месяцев.
    В составе стандартного курса заочные туры 10 олимпиад и очные туры 2 олимпиад.
    Посмотреть тарифные планы и подробную информацию по курсам подготовки.

    Олимпиада Покори Воробьевы горы 2015-2016 - задания и решения отборочного этапа по математике.
    Задания и решения третьего тура отборочного этапа по математике (по ссылке) - третий тур выложен в другой теме!



    Решения первого тура отборочного этапа и основная тема олимпиады Покори Воробьевы горы.
  • На следующей странице темы ответы на задания других вариантов.
    Задача №1
    (олимпиада Покори Воробьевы горы 2014 - 2 тур)
    Найдите наибольший отрицательный корень уравнения `sinpix=-sqrt2sin((pix)/2)`

    Решение:
    `(pix)/2=y`: `2sinycosy+sqrt2siny=0`
    `sqrt2siny(sqrt2cosy+1)=0`
    `siny=0 => y=pik, k in ZZ, x=2k, k in ZZ`
    `cosy=-1/sqrt2 => y=+-3/4pi+2pin, n in ZZ, x=+-3/2+4n, n in ZZ`
    Наибольший отрицательный корень равен `-3/2`, при `n=0`.

    Ответ: `-1.5`

  • Задача №2 (олимпиада Покори Воробьевы горы 2014 - 2 тур)
    Дневная смена мастера длится на `10%` дольше, чем смена ученика. Если бы ученик работал столько времени, сколько мастер, а мастер – столько, сколько ученик, они изготовили бы одинаковое количество деталей. На сколько процентов деталей в день делает мастер больше, чем ученик?

    Решение:
    Пусть `x` деталей в день делает мастер.
    `y` деталей в день делает ученик.
    `t` - длительность смены ученика, значит `1,1t` - длительность смены мастера.
    `v_м=x/(1,1t)`
    `v_у=y/t`
    Если им поменяют время, то они сделают одинаковое кол-во деталей:
    `v_м*t=v_у*1,1t`
    `x/(1,1)=y*1,1 => x/y=1,21 =>` мастер делает за смену на `21%` деталей больше.

    Ответ:
    `21`.
  • Задача №3 (2 тур отборочного этапа по математике)
    Найдите сумму всех двузначных чисел, у каждого из которых сумма квадратов цифр на `37` больше произведения тех же цифр.

    Решение:
    `bar(ab)` - искомое число.
    `a^2+b^2=ab+37`
    `ab=37-(a-b)^2 => ab=1,12,21,28,33,36`.
    С другой стороны, `(a+b)^2=3ab+37=40,73,100,121,136,145`.
    Точные квадраты только `100` и `121`.
    Получили все пары `(a,b)=(3;7), (4;7), (7;3), (7;4)`
    Сумма всех таких чисел `bar(ab)` равна `37+73+47+74=231`.

    Ответ: `231`.
  • Задача №4 (олимпиада Покори Воробьевы горы 2013-2014)
    Отрезок, соединяющий боковые стороны трапеции и параллельный ее основаниям, равным `3` и `21`, делит трапецию на две части равной площади. Найдите длину этого отрезка.

    Решение:
    `x` - искомый отрезок, `a,b` - высоты внутренних трапеций.
    `S` - площадь главной трапеции.
    Тогда `S=1/2(3+21)(a+b)=12(a+b)`
    `S/2=1/2a(x+3)=1/2b(x+21)`
    `12(a+b)=a(x+3)=b(x+21)`
    Используя `1` и `2`, а также `1` и `3` выражения, получаем:
    `x=(12a)/b-9=(12b)/a+9 => a/b=2`
    Используя `2` и `3` выражения, получим:
    `(x+21)/(x+3)=a/b=2 => x+21=2x+6 => x=15`.

    Ответ: `15`.
  • Задача №5
    Найдите сумму всех целых значений аргумента `x`, при которых соответствующие значения функции
    `y=x^2+x(log_2 18 - log_3 12) - log_3 16 - 4log_2 3`
    не превосходят `8`.

    Решение:
    `x^2+x(log_2 18 - log_3 12) - log_3 16 - 4log_2 3<=8`
    `x^2+2x(log_2 3 - log_3 2)-4(log_3 2+log_2 3+2)<=0`
    `(x+log_2 3 - log_3 2)^2<=(log_2 3 - log_3 2)^2+4(log_3 2+log_2 3+2)`
    Обозначим `log_2 3=t`:
    `(x+t-1/t)^2<=t^2+1/t^2+4(t+1/t)+6`
    `(x+t-1/t)^2<=(t+1/t)^2+4(t+1/t)+4`
    `(x+t-1/t)^2<=(t+1/t+2)^2`
    `-t-1/t-2<=x+t-1/t<=t+1/t+2` (в силу положительности `t+1/t+2`)
    `-2t-2<=x<=2/t+2`
    `-2log_2 3-2<=x<=2log_3 2+2`
    `-log_2 36<=x<=log_3 36`
    `x in ZZ => x in [-5;3]`
    Сумма `-5-4-3-2-1+0+1+2+3=-9`.

    Ответ:
    `-9`.
  • Задача №6
    Три пирата Джо, Билл и Том нашли клад, содержащий `70` одинаковых золотых монет, и хотят разделить их так, чтобы каждому из них досталось не менее `10` монет. Сколько существует способов это сделать?

    Решение:
    За `x,y,z` обозначим кол-во монет трех пиратов.
    Тогда `x+y+z=70, x,y,z>=10`. Надо найти количество решений этого уравнения.
    `Deltax` - количество целых `x` на отрезке.
    `z=10`: `x+y=60 => x in [10;50], Deltax=41`
    `z=11`: `x+y=59 => x in [10;49], Deltax=40`
    `z=50`: `x+y=20 => x in [10;10], Deltax=1`
    `z=k, k in [10;50]`: `x+y=70-k => x in [10;60-k], Deltax=50-k+1`
    Всего способов `s=41+40+...+1`
    Каждое слагаемое вида `a_k=k(51-k)=51k-k^2, где k in [10;50]`
    `s=(41*42)/2=861`

    Ответ: `861`.
  • Задача №7
    Найдите сумму цифр числа `sqrt(111...11-22...2)` (если оно не целое, то впишите в ответ `0`).
    Под корнем `2012` единичек и `1006` двоек.

    Решение:
    Обозначим за `x` число под корнем.
    Тогда `x=(10^2012-1)/9-2(10^1006-1)/9=(10^2012-2*10^1006+1)/9=((10^2006-1)/3)^2`
    `sqrtx=(10^1006-1)/3=(99...9)/3=33...3` (`1006` троек).
    Значит сумма цифра `sqrtx` равна `3*1006=3018`.

    Ответ: `3018`.
  • Задача №8
    Укажите целое число, ближайшее к большему из корней уравнения
    `arctan(((2x)/7+7/(8x))^2)-arctan(((2x)/7-7/(8x))^2)=pi/4`

    Решение:
    `((2x)/7+7/(8x))^2=a, ((2x)/7-7/(8x))^2=b`
    Тогда `arctan a in [0;pi/2), arctan b in [0;pi/2)`.
    `tan(arctan a - arctan b)=1` (*)
    `(a-b)/(1+ab)=1`
    `a-b=1+ab`
    `4/7x*14/(8x)=1+(4/49x^2-49/(64x^2))^2`
    `4/49x^2=49/(64x^2)`
    `x^4=7^4/4^4`
    `x=+-7/4`

    Необходимо сделать проверку, т.к. (*) не является эквивалентным переходом.
    `x=7/4: arctan((1/2+1/2)^2)+arctan((1/2-1/2)^2)=pi/4`
    `x=-7/4` - тоже годится.
    Ближайшее к `7/4` целое число равно `2`.

    Ответ: `2`.
  • Задача №9
    В треугольной пирамиде `SABC` ребра `SB`, `AB` перпендикулярны и `/_ ABC=120^0`. Точка `D` на ребре `AC` такова, что отрезок `SD` перпендикулярен по меньшей мере двум медианам треугольника `ABC` и `CD=AB=52root(3)4`. Найдите `AD` (если ответ окажется не целочисленным, округлите его до сотых).
  • Задача №10
    Для функции `f(x)=2013+sin2pix-8x^3-12x^2-18x-a` найдите количество целых значений `a`, при каждом из которых уравнение
    `f(f(...f(x)...))=2x+1` (функцию `f` взяли `2013` раз)
    на отрезке `[49,50]` имеет единственное решение.

    Решение:
    Обозначим `g(x)=f(f(...f(x)...))` (функцию `f` взяли `2013` раз), `h(x)=2x+1`
    `f'(x)=2picos2pix-24x^2-24x-18<0` для всех `x in RR => f(x)` всегда убывает.
    `2013` нечетное число `=> g(x)` всегда убывает.
    С другой стороны `h(x)` всегда возрастает, поэтому у уравнения `g(x)=h(x)` может быть максимум одно решение. Из условия следует, что решение существует и лежит на отрезке `[49;50]`.
    Это эквивалентно системе неравенств `{(g(49)>=99),(g(50)<=101):}`
    Лемма: если `f(x)=alphax+beta, где alpha=root(2013)2, beta=(alpha-1)/(alpha^2013-1)`
    тогда `h(x)=2x+1`.
    При этом функция `t(x)=alphax+beta` тоже строго возрастает.
    Если `x_0` - корень уравнения `f(x)=t(x) => x_0` - корень уравнения `g(x)=h(x)`.
    Поэтому на уравнение `f(x)=t(x)` можно наложить аналогичные условия.
    `{(f(49)>=t(49)),(f(50)<=t(50)):}`
    `{(2013-8*49^3-12*49^2-18*49-a>=49alpha+beta),(2013-8*50&3-12*50^2-18*50-a<=50*alpha+beta):}`
    `-1028887-50alpha-beta <= a <= -968873-49alpha-beta`
    `t(49) in (49;50), t(50) in (50;51)`
    поэтому `a` принимает все целые значения из отрезка `[-1028937;-968923]`
    Всего целых `a`: `1028937-968923+1=60015`.

    Ответ: `60015`.

    На следующей странице темы ответы на задания других вариантов.

Рассылка решений заочных туров олимпиад по математике