Рассылка решений заочных туров олимпиад по математике

Подписывайтесь на нашу рассылку решений заочных туров всех олимпиад по математике: Ломоносов, Покори Воробьевы горы, Высшая проба, Физтех 2017 и другие перечневые олимпиады.

Задания и решения всех вариантов очного тура олимпиады ОММО 2013


  • Сезон олимпиад 2016-2017 открыт!
    Идет запись на наши курсы подготовки к олимпиадам по математике с гарантированным результатом.
    image
    1. Индивидуальные занятия и консультации.
    2. Помощь в прохождении заочных туров олимпиад. Одна олимпиада 1-5 тыс. руб.
    3. Помощь эксперта на очных турах олимпиад. Одна олимпиада от 30 тыс. руб.
    4. Гарантия успешного результата (курсы ведутся пятый сезон).

    Стоимость курсов от 3000 до 25000 руб. в месяц. Стандартный курс - 10000 руб. в месяц. Длительность курсов - 6 месяцев.
    В составе стандартного курса заочные туры 10 олимпиад и очные туры 2 олимпиад.
    Посмотреть тарифные планы и подробную информацию по курсам подготовки.


    Задания и решения всех вариантов очного тура олимпиады ОММО 2013 (Объединенная Межвузовская Математическая Олимпиада).

    Задача №1 (Варианты 1 и 4)
    Ученикам 11 "А" класса на выбор предложили пройти тестирование ровно по одному из предметов,
    химии, информатике или физике. Трое ребят приняли участие в тестировании по химии; более `40%`.
    но менее половины учеников проходили тестирование по информатике и ровно треть по физике.
    Сколько ребят участвовало в тестировании по информатике, если в классе присутствовало более `12` учеников.

    Решение:
    1. `x` - всего учеников, `x/3` писало физику `=> x=3y, y in ZZ. y>4` т.к. `x>12` (по условию).
    2. `z` - писало информатику `=> 2/5*3y< z< 1/2*3y` (1)
    3. `3+z+y=3y => z=2y-3`, подставляем в (1):
    `{(6/5y< 2y-3),(2y-3< 3/2y):} iff {(4/5y>3),(y/2< 3):} iff {(y>15/4),(y< 6):}`
    4. `y in (15/4;6), y in ZZ, y>4 => y=5`,
    `z=2y-3=7`.
    Ответ: `7`.
    В вариантах 2-3, задача была схожая, ответ такой же - `7`.

    Задача №2 (Вариант 4)
    В автомобильном пробеге Санкт-Петербург-Арбатов-Санкт-Петербург участвовало несколько (одинаковых по численности)
    делегаций автолюбителей. Некоторые из этих делегаций заняли все места в 7-местных "Линкольнах"
    и одном 6-местном "Испано-Сьюиза", а остальные делегации предпочли занять все места в 5-местных "Кадиллаках"
    и одном 3-местном "Изотта-Фраскини". Сколько автолюбителей было в делегации, если "Линкольнов" в пробеге
    оказалось на 2 больше, чем в "Кадиллаков".

    Решение:
    1. `x in NN` - число автолюбителей в каждой делегации.
    `y in NN` - число Кадиллаков `=> y+2` - число Линкольнов.
    `p` делегаций село в Линкольны и Испано-Сьюизу, `q` село в остальные автомобили.
    2. `px=7(y+2)+6 iff px=7y+20`,
    `qx=5y+3`.
    3. `{(5px=35y+100),(7qx=35y+21):} => 5px-7qx=79`,
    `x(5p-7q)=79` - простое число `=> x=1` ИЛИ `x=79`.
    4. `x!=1`, т.к. в делегации не может быть одного человека `=> x=79`.
    `5p-7q=1`, есть решение `p=3, q=2 => y=51`.

    Ответ: `79`.
    Ответы на другие варианты:
    Вариант 1: `41`.
    Вариант 2: `61`.
    Вариант 3:


    Задача №3 (Варианты 1 и 4)
    Докажите, что число `4^2013+1` можно представить в виде произведения трех натуральных чисел, больших `1`.

    Решение:
    1. `4^2013=(5-1)^2013-=(-1)^2013= -1 mod 5 => 4^2013+1 vdots 5`.
    2. `4^2013=64^671+1=(65-1)^671-=(-1)^671= -1 mod 65 => 4^2013+1 vdots 65=5*13`.
    (первый пункт можно вообще опустить).
    3. `4^2013+1=5*13*A, A in NN`,
    `A=(4^2013+1)/65>1` - очевидно. Чтд.

    В вариантах 2-3 было другое число `2^2014+1`. Условие такое же.
    `2^2014+1=4^1007+1=(4^19)^53+1=((4^19+1)-1)^53+1 vdots 4^19+1`.
    `4^19+1 vdots 5 => 4^19+1=5A => 2^2014+1=(4^19+1)B=5AB`, где `A,B>1` - доказать легко.

    Задача №4 (Все варианты)
    В выпуклом четырехугольнике `ABCD` прямые `AD` и `BC` перпендикулярны, а длина отрезка, соединяющего
    середины диагоналей `BD` и `AC` равна `2012`. Найдите длину отрезка, соединяющего середины сторон `CD` и `AB`.

    Решение:
    1. `M` - середина `AB, N` - середина `CD, P` - середина `AC, Q` - середина `BD`.
    2. `MQ || AD || PN, MQ=PN=1/2AD` (средние линии треугольников) `=> MNPQ` - параллелограмм.
    3. `NQ || BC, NP || AD, BC` перпендикулярна `AD => NQ` перпендикулярна `NP => MNPQ` - прямоугольник.
    `PQ=MN=2012`.
    Ответ: `2012`.


    Задача №5 (Варианты 1 и 4)
    Решите систему уравнений:
    `{(tan^2x+cottan^2x=2sin^2y),(sin^2y+cos^2z=1):}`

    Решение:
    1. `tan^2x+cottan^2x>=2 iff (tanx-1/tanx)^2>=0`,
    `2sin^2y<=2 => 2>=2sin^2y=tan^2x+cottan^2x>=2 => 2=2sin^2y=tan^2x+cottan^2x=2 iff
    `iff |siny|=|tanx|=1`.
    2. `cos^2z=0 => cosz=0`.
    Ответ: `x=+-pi/4+pik, k in ZZ, y=+-pi/2+2pim, m in ZZ, z=pi/2+pin, n in ZZ`.

    В вариантах 2-3 условие отличалось только тем, что `tan^2x+cottan^2x=2siny`.
    Ответ будет такой же, только `y=pi/2+2pim, m in ZZ`.

    Задача №6 (Вариант 4)
    Пусть `S_n=f(0)+f(1/n)+...+f((n-1)/n)+f(1)`. Найдите `S_2013` для
    `f(x)=(16^x)/(16^x+4)`.

    Решение:
    1. В других вариантах было такое же условие, только функция `f(x)` отличалась.
    Сделаем решение для всех таких функций `f(x)=(a^(2x))/(a^(2x)+a)`, где `a=3,4,5,6` (в зависимости от варианта).
    2. `S_2013=(f(0)+f(1))+(f(1/2013)+f(2012/2013))+...+(f(1006/2013)+f(1007/2013))`.
    3. `f(x)+f(1-x)=(a^(2x))/(a^(2x)+a)+(a^(2-2x))/(a^(2-2x)+a)=1`. Докажите сами.
    4. `S_2013=1007`.
    Ответ: `1007`.
    Во всех вариантах ответ `1007`.

    Задача №7 (Вариант 4)
    На плоскости задана точка `P`. Рассматриваются различные равносторонние треугольники `ABC`, такие что
    `PA=5, PB=6`. Какое максимальное значение может принимать длина отрезка `CP`?

    Решение:
    1. Нер-во Птолемея: `AP*x+BP*x>=CP*x`, где `x=AB=BC=CA` - стороны равностороннего треугольника `ABC`.
    2. `CP<=AP+BP=11`.
    3. `CP=11` - достигается, докажите сами.
    Ответ: `11`.
    В других вариантах все аналогично, ответом будет `AP+BP`.


    Задача №8 (Вариант 1)
    При каких значениях параметра `a` уравнение `2x^4-7ax+5a^2` имеет хотя бы один целый корень?

    Решение:
    1. Пусть `EE a => a` - корень уравнения `5a^2-7xa+2x^4=0`.
    2. `D=49x^2-40x^4>=0 => x^2(x^2-49/40)<=0 => x^2 in [0;49/40]`.
    3. `x in ZZ => x^2=0,1 => x=0,+-1`.
    4. Подставляем различные значения `x=0,+-1`, для каждого находим значения `a`.
    Ответ: `a=0, +-1, +-2/5`.
    В других вариантах ответы следующие:
    Вариант 2: `0, +-1, +-3/2`.
    Вариант 3: `0, +-1, +-2/7`.
    Вариант 4: `0, +-1, +-5/2`.


    Задача №9 (Вариант 4)
    Коробка конфет имеет форму правильной шестиугольной призмы со стороной основания `10` и высотой `5sqrt3`.
    Из двух разных вершин коробки `ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1` одновременно с одной и той же скоростью
    начинают двигаться две мухи, меняя направление движения только в вершинах. Одна муха начинает движение
    в вершине A и двигается только по ребрам призмы, другая - только по диагоналям оснований и боковых граней.
    Через некоторое время мухи встречаются. В каких вершинах коробки может произойти встреча.

    Решение:
    1. Путь первой мухи: `S_1=10x+5sqrt3y`, где `x,y in NN`.
    Пусть второй мухи: `S_2=10sqrt3z+5sqrt7t+20w`, где `z,t in NN`.
    2. `t_1=t_2` (мухи вышли в одно время), `v_1=v_2` (по условию) `=> S_1=S_2`.
    `10x+5sqrt3y=10sqrt3z+5sqrt7t+20w`,
    `2x+sqrt3(y-2z)=tsqrt7+4w`,
    `2x-4w=(y-2z)sqrt3-tsqrt7` (1)
    3. Возвдодим в квадрат, получаем: `2t(y-2z)sqrt21=A in ZZ => t(y-2z)=0`.
    `t=0 =>` из (1): `y-2z=0` и наборот. Итого, `t=y-2z=0`.
    4. `x=2w, t=0, y=2z`.
    5. Легко получить все искомые точки - `A, C, E`.
    Ответ: `A, C,E`.


    Задача №10 (вариант 4)
    Единичный куб `ABCDA_1B_1C_1D_1` повернут на `90^0` вокруг прямой, проходящей через середины противоположенных
    ребер `AD` и `B_1C_1`. Найдите объем общей части исходного куба и повернутого.

    Ответ: `2/3`.
  • разве в 9 задаче точка А не будет так-же входить в ответ?
    мне показалось, что её можно чуть проще рассудить, через длины отрезков, по которым могут ползать мухи
  • и в 8 задании четвёртого варианта последняя пара корней у меня другой получилась
  • Будет входить. Проще рассуждать нельзя, суть решения - поле чисел `a+bsqrt3+csqrt7`.
    В 8 задании скорее всего перепутали 4 и 1 варианты. Выложено условие не 1, а 4 варианта.

Рассылка решений заочных туров олимпиад по математике