Рассылка решений заочных туров олимпиад по математике

Подписывайтесь на нашу рассылку решений заочных туров всех олимпиад по математике: Ломоносов, Покори Воробьевы горы, Высшая проба, Физтех 2018 и другие перечневые олимпиады.

Олимпиада Ломоносов 2013-2014 / 2 тур отборочного этапа по математике / Задания и решения


  • Сезон олимпиад 2016-2017 открыт!
    Идет запись на наши курсы подготовки к олимпиадам по математике с гарантированным результатом.
    image
    1. Индивидуальные занятия и консультации.
    2. Помощь в прохождении заочных туров олимпиад. Одна олимпиада 1-5 тыс. руб.
    3. Помощь эксперта на очных турах олимпиад. Одна олимпиада от 30 тыс. руб.
    4. Гарантия успешного результата (курсы ведутся пятый сезон).

    Стоимость курсов от 3000 до 25000 руб. в месяц. Стандартный курс - 10000 руб. в месяц. Длительность курсов - 6 месяцев.
    В составе стандартного курса заочные туры 10 олимпиад и очные туры 2 олимпиад.
    Посмотреть тарифные планы и подробную информацию по курсам подготовки.

    Олимпиада Ломоносов 2015-2016 - задания и решения отборочного этапа по математике.
    Олимпиада Ломоносов 2013-2014. 2 тур отборочного этапа по математике. Задания и решения

    Первый тур выложен в другой теме - Олимпиада Ломоносов 2013-2014 (1 тур).

    Задания и решения выложены для предварительного ознакомления, перед тем, как начнете решать свой вариант.
  • Задача №1 (олимпиада Ломоносов 2013-2014 - 2 тур отборочного этапа по математике)
    Сколько страниц в книжке, если для полной нумерации ее страниц (от первой до последней) потребовалось `996` цифр?

    Решение:
    Есть однозначные страницы, двузначные и трехзначные.
    Всего однозначных страниц `9` штук, они используют `9` цифр.
    Двузначных страниц `90` штук, они используют `2*90=180` цифр.
    Пусть у нас `x` трехзначных страниц, тогда они используют `3x` цифр.
    `3x+180+9=996 => 3x=807 => x=269`.
    Значит всего страниц `x+90+9=269+99=368`.

    Ответ: `368`.

  • Задача №2 (олимпиада Ломоносов 2013-2014 - 2 тур отборочного этапа по математике)
    Найдите сумму всех таких целых значений `a`, принадлежащих отрезку `[-2012; 2013]`, при которых уравнение
    `(a+2)x^2+2(2+a)x+(a-2)/(a+7)=0`
    имеет хотя бы одно решение.

    Решение:
    `a=-2`: `-4/5=0` - решений нет.
    `a!=-2 => D/4=(2+a)^2-((a+2)(a-2))/(a+7)>=0`
    `(a+2)*(a+2-(a-2)/(a+7))>=0`
    `(a+2)*(a^2+8a+16)/(a+7)>=0`
    `((a+2)(a+4)^2)/(a+7)>=0`
    `a in (-oo;-7)uu{-4}uu[-2;+oo)`
    С учетом того, что `a!=-2` получаем `a in (-oo;-7)uu{-4}uu(-2;+oo)`
    На отрезке `[-2012;2013]` получаем следующие `a`, сразу выпишем их сумму:
    `S=-2012-2011-...-9-8-4-1+0+1+2+...+2013=2013+7+6+5+3+2=2036`.

    Ответ: `2036`.
  • Задача №3 (олимпиада Ломоносов 2013-2014 - 2 тур отборочного этапа по математике)
    Из сосуда, до краев наполненного вкусным `100`-процентным соком, пятиклассница Маша за день отпила `1` литр сока, а вечером долила в сосуд `1` литр воды. На следующий день после тщательного перемешивания она выпила `1` литр смеси и вечером долила `1` литр воды. На третий день, снова перемешав смесь, она выпила `1` литр этой смеси и вечером долила `1` литр воды.

    Утром следующего дня родители выяснили, что объем оставшегося в сосуде сока на `1,5` литра меньше объема воды.

    Сколько литров сока осталось в сосуде? Если ответ на вопрос задачи неоднозначен, укажите сумму всех возможных значений искомой величины.

    Решение:
    Начало: `x>1` литров сока, `0` литров воды.
    `1` день: `x-1` сока, `1` литр воды. `(x-1)/x` - доля сока, `1/x` - доля воды.
    `2` день: `x-1-(x-1)/x=(x-1)^2/x` - сока, `1+(x-1)/x=(2x-1)/x` - воды. `(x-1)^2/x^2` - доля сока, `(2x-1)/x^2` - доля воды.
    `3` день: `(x-1)^2/x-(x-1)^2/x^2` сока и `(2x-1)/x+(x-1)^2/x^2` воды. 
    Тогда `(2x-1)/x+2(x-1)^2/x^2-(x-1)^2/x^2=1.5`
    `x(2x-1)+2(x-1)^2-x(x-1)^2=1.5x^2`
    `(2x-1)(x^2-4x+4)=0 => x=2` т.к. `x>1`.

    Пусть осталось y литров сока, тогда `2-y-y=1.5 => y=0.25`

    Ответ: `0.25`.
  • Задача №4 (олимпиада Ломоносов 2013-2014 - 2 тур отборочного этапа по математике)
    Точка `O` является точкой пересечения высот остроугольного треугольника `ABC`.
    Найдите `OA`, если  `BC = 9`  и  `sin/_A=15/17`.

    Решение:
    `A A_1, B B_1, C C_1` - высоты.
    `Delta AB_1O` - прямоугольный `=> AO=(AB_1)/(cos/_CAO)=(AB_1)/(cos(pi/2-/_C))=(AB_1)/(sin/_C)`
    `Delta AB B_1` - прямоугольный `=> AB_1=AB*cos/_A=c*cos/_A`
    `AO=(AB_1)/(sin/_C)=c*(cos/_A)/(sin/_C)=a*(cos/_A)/(sin/_A)=9*(8/17)/(15/17)=24/5=4.8`

    Ответ: `4.8`.

  • Задача №5
    Найдите наибольшее четное число `N`, не превышающее `2013`, при котором дробь `(13N-10)/(19N-9)` сократима.

    Решение:
    `d>1` - число, на которое сокращается дробь.
    `13N-10 vdots d => 19*13N-190 vdots d` (1)
    `19N-9 vdots d => 13*19n-127 vdots d` (2)
    Из (2) вычтем (1): `73 vdots d`, `73` - простое, `d>1 => d=73`.
    `{(13N-10=73a),(19N-9=73b):}`
    Тогда `13b-19a=1`
    `19a+1 vdots 13 => 6a-12 vdots 13 => a-2 vdots 13 => a=13t+2`
    `b=19t+3 => N=73t+12`
    `N` - четно `=> t=2s => N=146s+12`
    `146s+12<=2013`
    `146s<=2001 => s<=13 => N_max=1910`

    Ответ: `1910`.
  • Задача №6
    Найдите площадь фигуры, заданной на координатной плоскости неравенством
    `sqrt(arccos(x/6))>=sqrt(arcsin(y/6))`
    В ответе укажите целое число, ближайшее к найденному значению площади.

    Решение:
    Фигура состоит из двух частей - квадрат `6` на `6` и четверть круга с радиусом `6`.
    `S_1=36, S_2=1/4pi*36=9pi => S=36+9pi`.
    `pi~3.14 => S~36+28.26=64.26`
    Ближайшее целое число равно `64`.

    Более подробное решение:
    `arccos(x/6)>=0` - верно при всех `x in [-6;6]`
    `arcsin(y/6)>=0 => y in [-6;6]` и `y/6>=0 => y in [0;6]`
    Возводим в квадрат: `arccos(x/6)>=arcsin(y/6)`
    `y/6 in [0;1] => arcsin(y/6)=arccos(sqrt(1-y^2/36))`
    Тогда `arccos(x/6)>=arccos(sqrt(1-y^2/36))`
    Арккосинус всегда убывает, поэтому `x/6<=sqrt(1-y^2/36)`.
    Если `x<=0` - нер-во выполняется всегда, получаем квадрат.
    Если `x>=0 => x^2/36<=1-y^2/36 iff x^2+y^2<=36` - четверть круга.

    Ответ: `64`.
  • Задача №7
    Даны две различные геометрические прогрессии, первые члены которых равны `1`, а сумма знаменателей равна (`-1`).
    Найдите сумму пятых членов этих прогрессий, если сумма шестых членов равна (`-31`).
    Если ответ на вопрос задачи неоднозначен, укажите сумму всех возможных значений искомой величины.

    Решение:
    `p!=q` - знаменатели наших прогрессий.
    Достаточно легко получить систему уравнений
    `{(p^5+q^5=-31),(p+q=-1):}`
    Требуется найти значение выражения `p^4+q^4`.
    Чтобы найти значение данного выражения, нет необходимости решать систему, но тогда можно получить комплексные решения, поэтому проще систему решить.
    `q=-p-1 => p^4+2p^3+2p^2+p-6=0`
    `p_1=-2, p_2=1` - других решений нет.
    Получили две пары `(p,q)=(-2;1), (1,-2) => p^4+q^4=17`.
    Значение выражения `p^4+q^4` нашлось однозначно, поэтому в ответ пишем `17`.
    Замечание: одна прогрессия получилась со знаменателем равным `1`, это спорный момент, но можно посчитать, что это тоже прогрессия.

    Ответ: `17`.
  • Задача №8
    Найдите наибольшее значение выражения
    `(sin(x+pi/4))/(2sqrt2(sinx+cosx)cos4x-cos8x-5)`

    Решение:
    `F=(sin(x+pi/4))/(2sqrt2(sinx+cosx)cos4x-cos8x-5)=(sin(x+pi/4))/(4sin(x+pi/4)cos4x-cos8x-5)`
    `cos8x=2cos^2 4x-1 => F=(sin(x+pi/4))/(4sin(x+pi/4)cos4x-2cos^2 4x-4)`
    Пусть `sin(x+pi/4)=-a, cos4x=b => F=a/(2(b^2+2ba+2))`
    `F=a/(2((b+a)^2+2-a^2))`
    Понятно, что знаменатель всегда положительный, поэтому имеет смысл искать `F_max` при `a>0`.
    Если знаменатель примет минимальное значение, а числитель максимальное, тогда все хорошо.
    Неожиданно это оказывается возможным при `a=1, b=-1 => F_max=1/2`.
    Осталось проверить возможность этого, т.е. решить систему `{(sin(x+pi/4)=-1),(cos4x=-1):}`
    Эта система имеет решение, например, `x=-(3pi)/4`.

    Ответ: `0.5`
  • Задача №9
    Хорды `A A', B B'` и `C C'` одной сферы пересекаются в общей точке `S`. Найдите сумму `SA' + SB' + SC'`,  если `AS = 10, BS = 5, CS = 2`, а объемы пирамид `SABC` и `SA'B'C'` относятся как `5 : 4`.
    Если в ответе получится не целое число, округлите его до сотых.

    Решение:
    `SA'=x, SB'=y, SC'=z`
    По теореме о длине отрезков хорд и секущих:
    `10x=5y=2z => y=2x, z=5x`
    `SA'+SB'+SC'=x+2x+5x=8x`
     С другой стороны наши тетраэдры имеют равные трехгранные углы, поэтому
    `(SA'*SB'*SC')/(SA*SB*SC)=4/5`
    `(10x^3)/(5^2*4)=4/5`
    `x^3=8`
    `x=2 => 8x=16`.

    Ответ: `16`.

  • Задача №10
    Найдите сумму всех таких целых `a in [0;800]`, при каждом из которых уравнение
    `x^4-10x^2+16=sin((pia)/400)-2[x^2]`
    имеет ровно шесть корней.
    Здесь используется стандартное обозначение: `[t]` - целая часть числа `t` (наибольшее целое число, не превосходящее `t`).

    Решение:
    `x^2=y>=0, sin((pia)/400)=b in [-1;1] => y^2-10y+16=b-2[y]` (*)
    Исходное уравнение имеет `6` решений `iff` уравнение (*) имеет `3` положительных решения.
    `[y]=y-{y}=y-t`, где `t in [0;1)`
    `y^2-10y+16=b-2y+2t iff (y-4)^2=b+2t`
    `b+2t< 3 => |y-4| < sqrt3 => y in (4-sqrt3; 4+sqrt3) => [y]=2,3,4,5`
    `[y]=2 => y=2+t=> (t-2)^2=b+2t iff (t-3)^2=b+5 => t=3+-sqrt(b+5)`
    Т.к. `t in [0;1)`, выкидываем больший корень, остается `t_1=3-sqrt(b+5)`
    `[y]=3 => y=3+t => (t-1)^2=b+2t iff (t-2)^2=b+3 => t_2=2-sqrt(b+3)`
    `[y]=4 => y=4+t => t^2=b+2t => (t-1)^2=b+1 => t_3=1-sqrt(b+1)`
    `[y]=5 => y=5+t => (t+1)^2=b+2t => t^2=b-1`
    В последнем случае может быть корень только при `b=1`, рассмотрим этот случай отдельно.
    `b=1 => t_4=0, t_3=1-sqrt2, t_2=0, t_1=3-sqrt6` - что дает `3` положительных `y` (из них два целых).
    `b<1 =>` получаем три возможных `t`. Чтобы они дали три положительных `y`, необходимо и достаточно, чтобы `t_(1,2,3) in [0;1)`
    `0<=3-sqrt(b+5)<1 iff 2 < sqrt(b+5) <=3 => -1< b <=4`
    `0<=2-sqrt(b+3) < 1 iff 1< sqrt(b+3) <=2 => -2< b <=1`
    `0<= 1-sqrt(b+1) <1 iff 0< sqrt(b+1) <=1 => -1 < b <=0`
    Итак, получили `b in (-1;0]uu{1}`
    `-1 <= sin((pia)/400) <=0`
    `-pi + 2pin <= (pia)/400 <= 2pin, n in ZZ`
    `-1+2n<=a/400<=2n`
    `-400+800n<=a<=800n`
    `n=0`: `a in [-400;0]`
    `n=1`: `a in [400;800]`
    `b!=-1, b=1 => a!=600, a=400`

    `S=400+...+800=(400+800)/2*401-600+200= 240200`

    Ответ: `240200`.


    Первый тур выложен в другой теме - Олимпиада Ломоносов 2013-2014 (1 тур).


    Задания и решения выложены для предварительного ознакомления, перед тем, как начнете решать свой вариант.
    Вы можете заказать индивидуальные решения своего варианта. Стоит это 5000 руб. и ни центом меньше. Количество мест ограничено. Решения оформим за несколько часов.
    Также вы можете связаться с нами по почте и запросить более подробные (и бесплатные) решения данного (не вашего) варианта. В теме выложены относительно краткие решения. Запросы на бесплатные подробные решения начнем обрабатывать только с понедельника (23 декабря).

Рассылка решений заочных туров олимпиад по математике