ОММО 2019
Условия и ответы ОММО (все варианты).
info@olympiads.biz - почта для подключения следующих олимпиад.

Олимпиада Ломоносов 2013-2014 / 2 тур отборочного этапа по математике / Задания и решения
  • Ответы

    Задача №1 (олимпиада Ломоносов 2013-2014 - 2 тур отборочного этапа по математике)
    Сколько страниц в книжке, если для полной нумерации ее страниц (от первой до последней) потребовалось `996` цифр?
    Ответ: `368`.

    Задача №1 (олимпиада Ломоносов 2013-2014 - 2 тур отборочного этапа по математике)
    Сколько страниц в книжке, если для полной нумерации ее страниц (от первой до последней) потребовалось `900` цифр?
    Ответ: `336`.

    Задача №1 (олимпиада Ломоносов 2013-2014 - 2 тур отборочного этапа по математике)
    Сколько страниц в книжке, если для полной нумерации ее страниц (от первой до последней) потребовалось `804` цифр?
    Ответ: `304`.

    Задача №1 (олимпиада Ломоносов 2013-2014 - 2 тур отборочного этапа по математике)
    Сколько страниц в книжке, если для полной нумерации ее страниц (от первой до последней) потребовалось `708` цифр?
    Ответ: `272`.

    Задача №2 (олимпиада Ломоносов 2013-2014 - 2 тур отборочного этапа по математике)
    Найдите сумму всех таких целых значений `a`, принадлежащих отрезку `[-2012; 2013]`, при которых уравнение
    `(a-1)x^2+2(1-a)x+(a-5)/(a+4)=0`
    имеет хотя бы одно решение.
    Ответ: `2021`.

    Задача №2 (олимпиада Ломоносов 2013-2014 - 2 тур отборочного этапа по математике)
    Найдите сумму всех таких целых значений `a`, принадлежащих отрезку `[-2012; 2013]`, при которых уравнение
    `(a-3)x^2+2(3-a)x+(a-7)/(a+2)=0`
    имеет хотя бы одно решение.
    Ответ: `2011`.

    Задача №2 (олимпиада Ломоносов 2013-2014 - 2 тур отборочного этапа по математике)
    Найдите сумму всех таких целых значений `a`, принадлежащих отрезку `[-2012; 2013]`, при которых уравнение
    `(a+2)x^2+2(2+a)x+(a-2)/(a+7)=0`
    имеет хотя бы одно решение.
    Ответ: `2036`.

    Задача №2 (олимпиада Ломоносов 2013-2014 - 2 тур отборочного этапа по математике)
    Найдите сумму всех таких целых значений `a`, принадлежащих отрезку `[-2012; 2013]`, при которых уравнение
    `(a+1)x^2+2(1+a)x+(a-3)/(a+6)=0`
    имеет хотя бы одно решение.
    Ответ: `2031`.

    Задача №3 (олимпиада Ломоносов 2013-2014 - 2 тур отборочного этапа по математике)
    Из
    сосуда, до краев наполненного вкусным `100`-процентным соком,
    пятиклассница Маша за день отпила `2` литра сока, а вечером долила в
    сосуд `2` литра воды. На следующий день после тщательного перемешивания
    она выпила `2` литра смеси и вечером долила `2` литра воды. На третий
    день, снова перемешав смесь, она выпила `2` литра этой смеси и вечером
    долила `2` литр воды.

    Утром следующего дня родители выяснили, что объем оставшегося в сосуде сока на `3` литра меньше объема воды.

    Сколько
    литров сока осталось в сосуде? Если ответ на вопрос задачи
    неоднозначен, укажите сумму всех возможных значений искомой величины.
    Ответ: `0,5`.

    Задача №3 (олимпиада Ломоносов 2013-2014 - 2 тур отборочного этапа по математике)
    Из
    сосуда, до краев наполненного вкусным `100`-процентным соком,
    пятиклассница Маша за день отпила `1` литр сока, а вечером долила в
    сосуд `1` литр воды. На следующий день после тщательного перемешивания
    она выпила `1` литр смеси и вечером долила `1` литр воды. На третий
    день, снова перемешав смесь, она выпила `1` литр этой смеси и вечером
    долила `1` литр воды.

    Утром следующего дня родители выяснили, что объем оставшегося в сосуде сока на `1,5` литра меньше объема воды.

    Сколько
    литров сока осталось в сосуде? Если ответ на вопрос задачи
    неоднозначен, укажите сумму всех возможных значений искомой величины.
    Ответ: `0,5`.

    Задача №3 (олимпиада Ломоносов 2013-2014 - 2 тур отборочного этапа по математике)
    Из
    сосуда, до краев наполненного вкусным `100`-процентным соком,
    пятиклассница Маша за день отпила `0,5` литр сока, а вечером долила в
    сосуд `0,5` литр воды. На следующий день после тщательного перемешивания
    она выпила `0,5` литр смеси и вечером долила `0,5` литр воды. На третий
    день, снова перемешав смесь, она выпила `0,5` литр этой смеси и вечером
    долила `0,5` литр воды.

    Утром следующего дня родители выяснили, что объем воды в сосуде на `0,75` литра больше объема оставшегося сока.

    Сколько
    литров сока было первоначально в сосуде? Если ответ на вопрос задачи
    неоднозначен, укажите сумму всех возможных значений искомой величины.
    Ответ: `1`.

    Задача №3 (олимпиада Ломоносов 2013-2014 - 2 тур отборочного этапа по математике)
    Из
    сосуда, до краев наполненного вкусным `100`-процентным соком,
    пятиклассница Маша за день отпила `1` литр сока, а вечером долила в
    сосуд `1` литр воды. На следующий день после тщательного перемешивания
    она выпила `1` литр смеси и вечером долила `1` литр воды. На третий
    день, снова перемешав смесь, она выпила `1` литр этой смеси и вечером
    долила `1` литр воды.

    Утром следующего дня родители выяснили, что объем оставшегося в сосуде сока на `1,5` литра меньше объема воды.

    Сколько
    литров сока в итоге выпила Маша? Если ответ на вопрос задачи
    неоднозначен, укажите сумму всех возможных значений искомой величины.
    Ответ: `1,75`.


    Задача №4 (олимпиада Ломоносов 2013-2014 - 2 тур отборочного этапа по математике)
    Точка `O` является точкой пересечения высот остроугольного треугольника `ABC`.
    Найдите `OC`, если  `AB = 4`  и  `sin/_C=5/13`.
    Ответ: `9,6`.

    Задача №4 (олимпиада Ломоносов 2013-2014 - 2 тур отборочного этапа по математике)
    Точка `O` является точкой пересечения высот остроугольного треугольника `ABC`.
    Найдите `OA`, если  `BC = 9`  и  `sin/_A=15/17`.
    Ответ: `4,8`.

    Задача №4 (олимпиада Ломоносов 2013-2014 - 2 тур отборочного этапа по математике)
    Точка `O` является точкой пересечения высот остроугольного треугольника `ABC`.
    Найдите `OC`, если  `AB = 12`  и  `sin/_C=8/17`.
    Ответ: `22,5`.

    Задача №4 (олимпиада Ломоносов 2013-2014 - 2 тур отборочного этапа по математике)
    Точка `O` является точкой пересечения высот остроугольного треугольника `ABC`.
    Найдите `OA`, если  `BC = 6`  и  `sin/_A=12/13`.
    Ответ: `2,5`.

    Задача №5
    Найдите наибольшее нечетное число `N`, не превышающее `2013`, при котором дробь `(15N-7)/(22N-5)` сократима.
    Ответ: `1907`.

    Задача №5
    Среди чисел, превышающих `2013`, найдите наименьшее четное `N`, при котором дробь `(15N-7)/(22N-5)` сократима.
    Ответ: `2144`.

    Задача №5
    Среди чисел, превышающих `2013`, найдите наименьшее нечетное число `N`, при котором дробь `(13N-10)/(19N-9)` сократима.
    Ответ: `2129`.

    Задача №5
    Найдите наибольшее четное число `N`, не превышающее `2013`, при котором дробь `(13N-10)/(19N-9)` сократима.
    Ответ: `1910`.

    Задача №6
    Найдите площадь фигуры, заданной на координатной плоскости неравенством
    `sqrt(arccos(x/6))>=sqrt(arcsin(y/6))`
    В ответе укажите целое число, ближайшее к найденному значению площади.
    Ответ: `64`.

    Задача №6
    Найдите площадь фигуры, заданной на координатной плоскости неравенством
    `sqrt(arcsin(x/5))<=sqrt(arccos(y/5))`
    В ответе укажите целое число, ближайшее к найденному значению площади.
    Ответ: `45`.

    Задача №6
    Найдите площадь фигуры, заданной на координатной плоскости неравенством
    `sqrt(arcsin(x/3))<=sqrt(arccos(y/3))`
    В ответе укажите целое число, ближайшее к найденному значению площади.
    Ответ: `16`.

    Задача №6
    Найдите площадь фигуры, заданной на координатной плоскости неравенством
    `sqrt(arccos(x/8))>=sqrt(arcsin(y/8))`
    В ответе укажите целое число, ближайшее к найденному значению площади.
    Ответ: `114`.

    Задача №7
    Даны две различные геометрические прогрессии, первые члены которых равны `1`, а сумма знаменателей равна (`-1`).
    Найдите сумму пятых членов этих прогрессий, если сумма шестых членов равна (`-61`).
    Если ответ на вопрос задачи неоднозначен, укажите сумму всех возможных значений искомой величины.
    Ответ: `31`.

    Задача №7
    Даны две различные геометрические прогрессии, первые члены которых равны `1`, а сумма знаменателей равна `3`.
    Найдите сумму пятых членов этих прогрессий, если сумма шестых членов равна `573`.
    Если ответ на вопрос задачи неоднозначен, укажите сумму всех возможных значений искомой величины.
    Ответ: `161`.

    Задача №7
    Даны две различные геометрические прогрессии, первые члены которых равны `1`, а сумма знаменателей равна (`-1`).
    Найдите сумму пятых членов этих прогрессий, если сумма шестых членов равна (`-31`).
    Если ответ на вопрос задачи неоднозначен, укажите сумму всех возможных значений искомой величины.
    Ответ: `17`.

    Задача №7
    Даны две различные геометрические прогрессии, первые члены которых равны `1`, а сумма знаменателей равна `2`.
    Найдите сумму пятых членов этих прогрессий, если сумма шестых членов равна `242`.
    Если ответ на вопрос задачи неоднозначен, укажите сумму всех возможных значений искомой величины.
    Ответ: `82`.

    Задача №7
    Даны две различные геометрические прогрессии, первые члены которых равны `1`, а сумма знаменателей равна (`-4`).
    Найдите сумму пятых членов этих прогрессий, если сумма шестых членов равна (`-724`).
    Если ответ на вопрос задачи неоднозначен, укажите сумму всех возможных значений искомой величины.
    Ответ: `194`.

    Задача №8
    Найдите наибольшее значение выражения
    `(sin(x+pi/4))/(2sqrt2(sinx+cosx)cos4x-cos8x-5)`
    Ответ: `0,5`.

    Задача №8
    Найдите наименьшее значение выражения
    `(sin(x-pi/6))/(2(sqrt3sinx-cosx)cos3x-cos6x-7)`
    Ответ: `-0,25`.

    Задача №8
    Найдите наименьшее значение выражения
    `(sin(x+pi/6))/(2(sqrt3sinx+cosx)cos6x-cos12x-5)`
    Ответ: `-0,5`.

    Задача №8
    Найдите наибольшее значение выражения
    `(sin(x-pi/3))/(2(sinx-sqrt3cosx)cos6x-cos12x-7)`
    Ответ: `0,25`

    Задача №9
    Хорды `A A', B B'` и `C C'` одной сферы пересекаются
    в общей точке `S`. Найдите сумму `SA' + SB' + SC'`,  если `AS = 6, BS
    =3 , CS = 2`, а объемы пирамид `SABC` и `SA'B'C'` относятся как `2 : 9`.
    Если в ответе получится не целое число, округлите его до сотых.
    Ответ: `18`.

    Задача №9
    Хорды `A A', B B'` и `C C'` одной сферы пересекаются
    в общей точке `S`. Найдите сумму `SA' + SB' + SC'`,  если `AS = 10, BS
    =4 , CS = 2`, а объемы пирамид `SABC` и `SA'B'C'` относятся как `4 : 5`.
    Если в ответе получится не целое число, округлите его до сотых.
    Ответ: `17`.

    Задача №9
    Хорды `A A', B B'` и `C C'` одной сферы пересекаются
    в общей точке `S`. Найдите сумму `SA' + SB' + SC'`,  если `AS = 10, BS
    =5 , CS = 2`, а объемы пирамид `SABC` и `SA'B'C'` относятся как `5 : 4`.
    Если в ответе получится не целое число, округлите его до сотых.
    Ответ: `16`.

    Задача №9
    Хорды `A A', B B'` и `C C'` одной сферы пересекаются
    в общей точке `S`. Найдите сумму `SA' + SB' + SC'`,  если `AS = 9, BS
    =6, CS = 3`, а объемы пирамид `SABC` и `SA'B'C'` относятся как `9 : 2`.
    Если в ответе получится не целое число, округлите его до сотых.
    Ответ: `11`.

    Задача №10
    Найдите сумму всех таких целых `a in [0;800]`, при каждом из которых уравнение
    `x^4-10x^2+16=sin((pia)/400)-2[x^2]`
    имеет ровно шесть корней.
    Здесь используется стандартное обозначение: `[t]` - целая часть числа `t` (наибольшее целое число, не превосходящее `t`).
    Ответ: `240200`.

    Задача №10
    Найдите сумму всех таких целых `a in [0;800]`, при каждом из которых уравнение
    `x^4-12x^2+25=cos((pia)/400)-2[x^2]`
    имеет ровно шесть корней.
    Здесь используется стандартное обозначение: `[t]` - целая часть числа `t` (наибольшее целое число, не превосходящее `t`).
    Ответ: `160800`.

    Задача №10
    Найдите сумму всех таких целых `a in [0;400]`, при каждом из которых уравнение
    `x^4-6x^2+4=sin((pia)/200)-2[x^2]`
    имеет ровно шесть корней.
    Здесь используется стандартное обозначение: `[t]` - целая часть числа `t` (наибольшее целое число, не превосходящее `t`).
    Ответ: `60100`.

    Задача №10
    Найдите сумму всех таких целых `a in [0;600]`, при каждом из которых уравнение
    `x^4-8x^2+9=cos((pia)/300)-2[x^2]`
    имеет ровно шесть корней.
    Здесь используется стандартное обозначение: `[t]` - целая часть числа `t` (наибольшее целое число, не превосходящее `t`).
    Ответ: `90600`.

Рассылка решений заочных туров олимпиад по математике