Рассылка решений заочных туров олимпиад по математике

Подписывайтесь на нашу рассылку решений заочных туров всех олимпиад по математике: Ломоносов, Покори Воробьевы горы, Высшая проба, Физтех 2018 и другие перечневые олимпиады.

Отборочный этап олимпиады Высшая проба по математике 2013-2014 / Задания и решения


  • Сезон олимпиад 2016-2017 открыт!
    Идет запись на наши курсы подготовки к олимпиадам по математике с гарантированным результатом.
    image
    1. Индивидуальные занятия и консультации.
    2. Помощь в прохождении заочных туров олимпиад. Одна олимпиада 1-5 тыс. руб.
    3. Помощь эксперта на очных турах олимпиад. Одна олимпиада от 30 тыс. руб.
    4. Гарантия успешного результата (курсы ведутся пятый сезон).

    Стоимость курсов от 3000 до 25000 руб. в месяц. Стандартный курс - 10000 руб. в месяц. Длительность курсов - 6 месяцев.
    В составе стандартного курса заочные туры 10 олимпиад и очные туры 2 олимпиад.
    Посмотреть тарифные планы и подробную информацию по курсам подготовки.

    Олимпиада Высшая проба 2015-2016 - задания и решения отборочного этапа по математике.
    Отборочный этап олимпиады Высшая проба по математике 2013-2014. Задания и решения.

    Задача №2 (10 класс)

    `sqrt(asqrt(asqrta)) in NN, a>1, a_min` - ?
    Найти наименьшее натуральное `a`, для которого `sqrt(asqrt(asqrta))` - натуральное число.

    Решение:
    `sqrt(asqrt(asqrta))=sqrt(asqrt(a^(3/2)))=sqrt(a*a^(3/4))=sqrt(a^(7/4))=a^(7/8)`
    `a^(7/8)=n in NN`
    `a^7=n^8`
    `a=k^8, n=k^7 => a>=2^8=256`.

    Ответ: `256`.
  • Задача №6 (10 класс)
    `x^4-2^121x^2+121=0`
    `x_1< x_2< x_3< x_4`
    `-((11+x_1)(11+x_3))/((1+x_2)(1+x_4))` -?

    Решение:
    `2^120=t`, тогда корни легко выразить и упорядочить следующим образом:
    `x_1=-sqrt(t+sqrt(t^2-121))`
    `x_2=-sqrt(t-sqrt(t^2-121))`
    `x_3=sqrt(t-sqrt(t^2-121))`
    `x_4=sqrt(t+sqrt(t^2-121))`
    Тогда `f=-((11+x_1)(11+x_3))/((1+x_2)(1+x_4))=11`

    Ответ: `11`.
  • Задача №4 (10 класс)
    В магазине фрукты продаются только в упаковках двух видов: упаковка из `7` яблок и `17` груш стоит `100` рублей, упаковка из `18` яблок и `4` груш стоит `120` рублей. Требуется купить одинаковое (ненулевое) количество яблок и груш. Какую минимальную цену (в рублях) придётся заплатить?

    Решение:
    `x` купили упаковок первого типа.
    `y` второго типа.
    Тогда яблок всего `7x+18y`, груш `17x+4y`.
    `7x+18y=17x+4y, x,y in NN`
    При таком условии надо найти `min(100x+120y)`
    `14y=10x`
    `7y=5x`
    `y=5k, x=7k => f=100x+120y=700k+600k=1300k`
    `f>=1300`

    Ответ: `1300`.

  • Задача №3 (11 класс)
    В магазине фрукты продаются только в упаковках двух видов: упаковка из `23` яблок и `9` груш стоит `500` рублей, упаковка из `7` яблок и `19` груш стоит `350` рублей. Требуется купить одинаковое (ненулевое) количество яблок и груш. Какую минимальную цену (в рублях) придётся заплатить?

    Решение:
    `x` купили упаковок первого типа.
    `y` второго типа.
    Тогда яблок всего `23x+7y`, груш `9x+19y`.
    `23x+7y=9x+19y, x,y in NN`
    При таком условии надо найти `min(500x+350y)`
    `14x=12y`
    `7x=6y`
    `x=6k, y=7k => f=500x+350y=3000k+2450k=5450k`
    `f>=5450`

    Ответ: `5450`.

  • Задача №4 (11 класс)
    `1<=n<=10^12, НОК(16,n)=16n`
    Найти количество таких натуральных `n`

    Решение:
    `НОК(a,b)=ab iff НОД(a,b)=1`
    `НОД(n,16)=1 iff n` - нечетно
    Нечетных чисел на отрезке `[1;10^12]` ровно половина, т.е. `10^12/2=500000000000` (`11` нулей).

    Ответ: `500000000000`.
  • Задача №3 (10 класс)
    Три мотоциклиста едут по кругу с постоянными, но разными скоростями, первый и второй - по часовой стрелке, третий — против часовой стрелки, причём скорость второго больше, чем скорость первого. Они стартуют одновременно из точки `A`. В момент, когда второй мотоциклист проехал ровно `8` кругов (т.е. в `8`-й раз вернулся в точку `A` ), состоялась его `3`-я встреча с первым мотоциклистом и `20`-я встреча с третьим. Какая по счёту встреча первого и третьего мотоциклистов произошла в этот момент?(Встречи отсчитываются после начала движения. Пребывание мотоциклистов в точке `A` в начальный момент времени встречей не считается.)

    Решение:
    С каждой встречей первого и второго, второй проходит на круг больше.
    Значит, количество кругов первого равно `8-3=5`.
    Второй и третий едут навстречу друг другу, при каждой встрече они проходят суммарно ровно `1` круг.
    Если они `20` раз встретились, значит прошли суммарно `20` кругов, значит третий проехал `20-8=12` кругов.
    Третий с первым проехали `12+5=17` кругов суммарно, поэтому встретились `17` раз.

    Ответ: `17`.
  • Задача №5 (11 класс)
    Три мотоциклиста едут по кругу с
    постоянными, но разными скоростями, первый и второй - по часовой
    стрелке, третий — против часовой стрелки, причём скорость второго
    больше, чем скорость первого. Они стартуют одновременно из точки `A`. В
    момент, когда второй мотоциклист проехал ровно `7` кругов (т.е. в `7`-й
    раз вернулся в точку `A` ), состоялась его `3`-я встреча с первым
    мотоциклистом и `21`-я встреча с третьим. Какая по счёту встреча первого
    и третьего мотоциклистов произошла в этот момент?(Встречи отсчитываются
    после начала движения. Пребывание мотоциклистов в точке `A` в начальный
    момент времени встречей не считается.)

    Решение:
    С каждой встречей первого и второго, второй проходит на круг больше.
    Значит, количество кругов первого равно `7-3=4`.
    Второй и третий едут навстречу друг другу, при каждой встрече они проходят суммарно ровно `1` круг.
    Если они `21` раз встретились, значит прошли суммарно `21` круг, значит третий проехал `21-7=14` кругов.
    Третий с первым проехали `14+4=18` кругов суммарно, поэтому встретились `18` раз.

    Ответ: `18`.
  • Задача №2 (11 класс)
    В двух ящиках лежат белые и чёрные шары. Если из каждого ящика вынуть по одному шару, то вероятность того, что они оба окажутся белыми, равна `0.115`, а вероятность того, что оба окажутся чёрными - `0.405`. В одном из ящиков все чёрные шары перекрасили в белый цвет, а все белые перекрасили в чёрный цвет, после чего из каждого ящика вынули по шару. Найти вероятность того, что эти шары будут одного цвета. (Дробную часть ответа отделяйте от целой части точкой).


    Решение:
    Изначально в первом ящике было `x` белых и `y` черных шаров.
    Во втором `z` белых и `t` черных.
    Тогда `x/(x+y)*z/(z+t)=0.115`
    `y(x+y)*t/(z+t)=0.405`

    После перекрашивания (например первого ящика), наша искомая вероятность
    `p=y/(x+y)*z/(z+t)+x/(x+y)*t/(z+t)`
    Заметим, что `p+0.115+0.405=(xz+yt+yz+xt)/(xz+xt+yt+yz)=1`
    Значит `p=1-0.52=0.48`.

    Ответ: `0.48`.

  • Задача №1 (10 класс)
    В двух ящиках лежат белые и чёрные шары. Если из каждого ящика вынуть по одному шару, то вероятность того, что они оба окажутся белыми, равна `0.147`, а вероятность того, что оба окажутся чёрными - `0.377`. В одном из ящиков все чёрные шары перекрасили в белый цвет, а все белые перекрасили в чёрный цвет, после чего из каждого ящика вынули по шару. Найти вероятность того, что эти шары будут одного цвета. (Дробную часть ответа отделяйте от целой части точкой).

    Решение:
    Изначально в первом ящике было `x` белых и `y` черных шаров.
    Во втором `z` белых и `t` черных.
    Тогда `x/(x+y)*z/(z+t)=0.147`
    `y(x+y)*t/(z+t)=0.377`

    После перекрашивания (например первого ящика), наша искомая вероятность
    `p=y/(x+y)*z/(z+t)+x/(x+y)*t/(z+t)`
    Заметим, что `p+0.147+0.377=(xz+yt+yz+xt)/(xz+xt+yt+yz)=1`
    Значит `p=1-0.524=0.476`.

    Ответ: `0.476`.

  • Задача №7 (10 класс)
    `T_1=2, T_n=2^(T_(n-1))`
    `T_1+T_2+...+T_255` - какой остаток при делении на `255`.

    Решение:
    `T_2=2^2`
    `T_3=2^4`
    `T_4=2^16=256^2`
    Очевидно, что `T_n=256^k`, при всех `n>=4`, легко доказать по индукции.
    Тогда `T_n` дает остаток `1` при делении на `255` при всех таких `n`.
    Тогда сумма дает остаток `2+4+16+252=274` - дает остаток `19` при делении на `255`.

    Ответ:
    `19`.


  • Задача №9 (10 класс)
    В выражении `f(x)=(1+x)(1+x^2)...(1+x^2000)` раскрыли все скобки и привели подобные слагаемые. Сколько слагаемых получилось?

    Решение:
    Пусть `g(x)=1+x+x^2+...+x^k`
    `h(x)=1+x^n`
    Тогда `g(x)*h(x)` даст ровно `k+n+1` слагаемых (после приведения подобных).
    Значит для нашего `f(x)` получим `1+2+3+...+2000+1=(2000*2001)/2+1=2001001` слагаемых.

    Ответ: `2001001`.

Рассылка решений заочных туров олимпиад по математике