Рассылка решений заочных туров олимпиад по математике

Подписывайтесь на нашу рассылку решений заочных туров всех олимпиад по математике: Ломоносов, Покори Воробьевы горы, Высшая проба, Физтех 2018 и другие перечневые олимпиады.

Олимпиада Покори Воробьевы горы 2013-2014/ 3 тур отборочного этапа/ Задания и решения


  • Сезон олимпиад 2016-2017 открыт!
    Идет запись на наши курсы подготовки к олимпиадам по математике с гарантированным результатом.
    image
    1. Индивидуальные занятия и консультации.
    2. Помощь в прохождении заочных туров олимпиад. Одна олимпиада 1-5 тыс. руб.
    3. Помощь эксперта на очных турах олимпиад. Одна олимпиада от 30 тыс. руб.
    4. Гарантия успешного результата (курсы ведутся пятый сезон).

    Стоимость курсов от 3000 до 25000 руб. в месяц. Стандартный курс - 10000 руб. в месяц. Длительность курсов - 6 месяцев.
    В составе стандартного курса заочные туры 10 олимпиад и очные туры 2 олимпиад.
    Посмотреть тарифные планы и подробную информацию по курсам подготовки.

    Олимпиада Покори Воробьевы горы 2015-2016 - задания и решения отборочного этапа по математике.
    Олимпиада Покори Воробьевы горы 2013-2014. 3 тур отборочного этапа по математике. Задания и решения.

    1 тур отборочного этапа - задания и решения.
    2 тур отборочного этапа - задания и решения.

  • Задача №1 (3 тур олимпиады Покори Воробьевы горы 2013-2014)
    Боря заметил, что скорый поезд проходит платформу станции длиной `450` метров за `27` секунд и пересекает отметку стоящего рядом километрового столба за `12` секунд. Найдите длину поезда (в метрах), считая, что его скорость остается одной и той же в течение всего времени наблюдения.

    Решение:
    `v` (метров в секунду) - скорость поезда. `x` - длина поезда в метрах. Тогда `x=12v`.
    Если поезд проходит платформу, это значит, что он проезжает расстояние `x+450`.
    `x+450=27v => (x+450)/x=27/12=9/4`
    `4x+1800=9x iff 5x=1800 iff x=360`

    Ответ: `360`.
  • Задача №2 (3 тур олимпиады Покори Воробьевы горы 2013-2014)
    Найдите `f(2014)`, если для любых действительных `x` и `y` справедливо равенство
    `f(x-y)=f(x)+f(y)-2xy`

    Решение:
    `y=x => f(0)=2f(x)-2x^2 => f(x)=x^2+(f(0))/2=x^2+c`
    Тогда `(x-y)^2+c=x^2+c+y^2+c-2xy => c=2c iff c=0`
    `f(x)=x^2 => f(2014)=2014^2=4056196`

    Ответ: `4056196`.

  • Задача №3 (3 тур олимпиады Покори Воробьевы горы 2013-2014)
    Вычислите сумму
    `S=2014/(3*7) + 2014/(7*11) + 2014/(11*15) +...+2014/(2011*2015)`
    В ответе укажите остаток от деления на `5` натурального числа, ближайшего к полученному значению `S`.

    Решение:
    `1/((4k-1)(4k+3))=1/4(1/(4k-1)-1/(4k+3))`
    `S=2014/4(1/3-1/7+1/7-1/11+...+1/2011-1/2015)=1007/2*(1/3-1/2015)`
    `S=1007/2*2012/(3*2015)=(1006*1007)/(3*2015)=167,58...`
    `168` - ближайшее целое число.
    `168 -= 3` `mod` `5`.

    Ответ: `3`.
  • Задача №4 (3 тур олимпиады Покори Воробьевы горы 2013-2014)
    Окружность касается сторон угла в точках `A` и `B`. Расстояние от лежащей на окружности точки `C` до прямой `AB` равно `8`. Найдите сумму расстояний от точки `C` до сторон угла, если известно, что одно из этих расстояний на `30` меньше другого.

    Решение:
    Сначала доказывается, что точка `C` лежит между хордой `AB` и вершиной угла.
    Далее, есть формула `sqrt(x*(x+30))=8`.
    `x(x+30)=64 => x=2`.
    Значит сумма расстояний равна `34`.

    Ответ: `34`.
  • Задача №5
    Решите неравенство
    `sqrt(6x-13) - sqrt(3x^2 - 13x + 13) >= 3x^2 - 19x + 26`
    В ответе укажите сумму всех удовлетворяющих неравенству целых значений `x`.

    Решение:
    `sqrt(6x-13)=a, sqrt(3x^2-13x+13)=b, a,b>=0 => 3x^2-19x+26=b^2-a^2`
    `a-b>=b^2-a^2 iff (a-b)(a+b+1)>=0 => a-b>=0 => a>=b`
    Использовали то, что `a+b+1>0` при `a,b>=0`
    `sqrt(6x-13)>=sqrt(3x^2-13x+13) iff {(6x-13>=3x^2-13x+13),(3x^2-13x+13>=0):}`
    `x in [2;13/3] и x in (-oo;(13-sqrt13)/6]uu[(13+sqrt13)/6;+oo) => x in [(13+sqrt13)/6;13/3]`
    `x=3,4`
    `3+4=7`

    Ответ: `7`.


  • Задача №6
    Из двенадцати школьников и трёх учителей нужно составить школьный комитет, в состав которого войдет девять человек. При этом в нём должен участвовать хотя бы один учитель. Сколькими способами может быть составлен комитет?

    Решение:
    Учителей назовем `a,b,c`.
    Пусть в комитет входит учитель `a`, тогда остальные `8` человек надо набрать из `12+2=14` человек в произвольном порядке, т.е. всего способов `C_14^8` (при которых везде есть учитель `a`).
    Теперь выкидываем учителя `a` и действуем аналогично с учителем `b`. Получаем `C_13^8`.
    Итого `C_14^8+C_13^8+C_12^8=3003+1287+495=4785`

    Ответ: `4785`.
  • Задача №7
    Найдите делимое, если каждый знак * в приведённой записи деления чисел <<в столбик>> обозначает какую-либо цифру:

    image

    Решение:
    Понятно, что делимое - двузначное число `y`
    `bar(***8**)` - частное. Третья цифра `= 0`. Предпоследняя тоже.
    `bar(**080*)`
    `x` - делитель `=> x=10^4n+m=10000n+m`, где `n,m vdots y`
    `bar(80*)*y=m, bar(**08)*y=n`
    Рассмотрим первую делимость `bar(80*)*y=m`, где `m` четырехзначное число.
    `1000a+100b+10c+d=(800+e)*(10f+g)`
    `1000a+100b+10c+d=8000f+800g+10fe+eg`
    Очевидно, что `f=1, g<=2`, иначе справа будет пятизначное число.
    Пусть `g=0 =>` противоречие, т.к. кол-во цифр делителя и частного должно отличаться на `1`, а не на `2`.
    Пусть `g=1 => bar(abcd)=8800+10e+e=bar(88ee) => a=b=8, c=d=e`.
    Но это входит в противоречие со схемой. Получается, что `88` делится на `11`, а на схеме есть остаток.
    Поэтому `g=2`.

    Ответ: `12`.

    Замечание:
    Приведенное выше решение сложное, есть и более простое решение.
    Если вопрос задачи - делимое, а не то, что помечено знаком вопроса, тогда ответ `11889708`.
  • Задача №8
    Найдите все общие точки графиков
    `y=8cospix*cos^2 2pix*cos 4pix` и `y=cos 9pi x`
    с абсциссами, принадлежащими отрезку `x in [0;1]`. В ответе укажите сумму абсцисс найденных точек.

    Решение:
    `pix=t in [0;pi] => 8cost*cos^2 2t*cos4t=cos9t`
    Пусть `t=0 => 8=1`, решений нет.
    Пусть `t=pi => -8=-1` - решений нет.
    Пусть `t in (0;pi) => sint !=0`, можем умножить наше уравнение на `sint`:
    `8sintcost*cos^2 2t*cos4t=sint*cos9t`
    `4sin2t*cos^2 2t*cos4t=sint*cos9t`
    `2sin4t*cos2t*cos4t=sint*cos9t`
    `sin8t*cos2t=sint*cos9t`
    `2sin8t*cos2t=2sint*cos9t`
    `sin6t+sin10t=sin(-8t)+sin10t`
    `sin6t+sin8t=0`
    `2sin7t*cost=0`
    `t=(pin)/7, t=pi/2+pik, n,k in ZZ`
    `t in (0;pi) => t=pi/7, 2/7pi, 3/7pi, 4/7pi, 5/7pi, 6/7pi, pi/2`
    `x=1/7, 2/7, 3/7, 4/7, 5/7, 6/7, 1/2`
    `1/7+2/7+3/7+4/7+5/7+6/7+1/2=3.5`

    Ответ: `3.5`
  • Задача №9
    Найдите все положительные `a`, при которых уравнение
    `(2pia+arcsin(sinx)+2arccos(cosx)-ax)/(tg^2x+1)=0`
    имеет ровно три различных решения, принадлежащих множеству `(-oo;7pi]`.
    В ответе укажите сумму всех найденных `a` (если таких `a` не существует, то укажите `0`; если число `a` не целое, то округлите его до сотых).

    Решение:
    Кратко. Рассмотрим уравнение `arcsin(sinx)+2arccos(cosx)=a(x-2pi)`
    Легко построить графики функций слева и справа.
    Также легко вычислить, что три точки пересечения будут при `a=2/3`, график ниже.
    image

    Чтобы решить исходную задачу, необходимо еще разобраться с возможными другими случаями.
    Если `a<2/3`, могут быть `4` или больше решений, часть из которых уберутся по ОДЗ (`x!=pi/2+pik`), и тогда останется три решения.
    Понятно, что при `a>2/3` будет `2` решения или `1` решение (кроме особого случая `a=3`, когда решений бесконечно много).

    Ответ: `1.60`.
  • Задача №10
    В основании пирамиды `SABCD` лежит трапеция `ABCD` с основаниями `BC` и `AD`.
    Точки `P_1, P_2, P_3` принадлежат стороне `BC`, причем `BP_1 < BP_2 < BP_3 < BC`.
    Точки `Q_1, Q_2, Q_3` принадлежат стороне `AD`, причем `AQ_1 < AQ_2 < AQ_3 < AD`.
    Обозначим точки пересечения `BQ_1` с `AP_1, P_2Q_1` с `P_1Q_2, P_3Q_2 с P_2Q_3, CQ_3` с `P_3D` через `R_1, R_2, R_3` и `R_4` соответственно.
    Известно, что сумма объёмов пирамид `(SR_(1)P_(1)R_(2)Q_(1))` и `(SR_(3)P_(3)R_(4)Q_(3))` равна `78`.
    Найдите минимальное значение величины
    `V_(SABR_1)^2+V_(SR_(2)P_(2)R_(3)Q_(2))^2+V_(SCDR_(4))^2`.
    В ответе укажите целое число, наиболее близкое к найденному значению.

    Решение:
    Надо найти `min(1/2x^2+y^2)` при заданном значении выражения `x+y`.

    Ответ: `2028`.

    <font size="3"><a href="mailto:info@olympiads.biz">Заказать индивидуальные решения первого тура по математике (6000 руб.)</a></font>
    (срок оформления полных решений - 3 часа)

Рассылка решений заочных туров олимпиад по математике