Рассылка решений заочных туров олимпиад по математике

Подписывайтесь на нашу рассылку решений заочных туров всех олимпиад по математике: Ломоносов, Покори Воробьевы горы, Высшая проба, Физтех 2018 и другие перечневые олимпиады.

Отборочный этап олимпиады школьников СПбГУ по математике 2013-2014 / Задания и решения


  • Сезон олимпиад 2016-2017 открыт!
    Идет запись на наши курсы подготовки к олимпиадам по математике с гарантированным результатом.
    image
    1. Индивидуальные занятия и консультации.
    2. Помощь в прохождении заочных туров олимпиад. Одна олимпиада 1-5 тыс. руб.
    3. Помощь эксперта на очных турах олимпиад. Одна олимпиада от 30 тыс. руб.
    4. Гарантия успешного результата (курсы ведутся пятый сезон).

    Стоимость курсов от 3000 до 25000 руб. в месяц. Стандартный курс - 10000 руб. в месяц. Длительность курсов - 6 месяцев.
    В составе стандартного курса заочные туры 10 олимпиад и очные туры 2 олимпиад.
    Посмотреть тарифные планы и подробную информацию по курсам подготовки.

    Олимпиада СПбГУ 2015-2016 - задания и решения отборочного этапа по математике.
    Отборочный этап (заочный тур) олимпиады школьников СПбГУ по математике 2013-2014. Задания и решения некоторых вариантов.
  • Задача №1 (1)
    Диктант по французскому языку писали `N` учеников городской гимназии. При проверке оказалось, что один ученик сделал `13` ошибок, а все остальные меньше. При каком значении `N` всегда найдутся три работы с одинаковым количеством ошибок?

    Решение:
    Все остальные сделали от `0` до `12` ошибок, т.е. всего `13` вариантов.
    Пусть на каждый вариант приходится `2` ученика, тогда всего учеников `13*2+1=27`.
    Если найдется еще `1` ученик, тогда всегда найдутся три ученика с одинаковым количеством ошибок.
    Если учеников будет `27` или меньше, можно ошибки распределить таким образом, что на каждую ошибку будет `2` ученика или меньше.
    `N>=28`.

    Ответ: `N>=28` (или можно записать, как `N>27`).
  • Задача №2 (1)
    Из чисел `1,2,...,225` выбраны `112` чисел. Докажите, что сумма каких-либо двух выбранных чисел равна `225`, либо одно из чисел является квадратом натурального числа.

    Решение:
    Предположим, что не выбрали числа `1` и `225` - точные квадраты.
    Остальные числа разобьем по парам: `(2,223),(3,222),...,(112,113)` и также остается число `224`.
    Всего пар `111` (сумма каждой пары равна `225`). Чтобы сумма не получилась равной `225`, в каждой паре могут взять только `1` число. Тогда взяли число `224` тоже, чтобы всего чисел было `112`.
    Но есть пара `(81,144)`, где каждый элемент является точным квадратом, значит среди выбранных чисел нашелся точный квадрат.

  • Задача №4 (1)
    Целые числа `m,n,k`, большие `1`, взаимно просты в совокупности. Могло ли так случиться, что наибольший общий делитель чисел `m^2n+n^2k+k^2m` и `mn^2+nk^2+km^2` равен `2013`?

    Решение:
    `f=m^2n+n^2k+k^2m vdots 2013`
    `g=mn^2+nk^2+km^2 vdots 2013`
    `m^2n+n^2k+k^2m-(mn^2+nk^2+km^2) vdots 2013`
    `(m-n)(n-k)(m-k) vdots 2013`
    Будем считать, что `m-n vdots 2013` и будем искать искомые `m,n` среди чисел вида
    `m=2013a, n=2013b`
    Также скажем, что `k=2`
    Тогда `f=2013(2013^2a^2b+2013*2b+4a)`
    `g=2013(2013^2ab^2+2013*2a+4b)`
    Если `a,b` взаимно простые и нечетные, тогда выражения в скобках скорее всего взаимно-простые.
    Доказывать нет необходимости, достаточно подобрать пример.
    `a=1,b=3` - годится
    Итак, `m=2013, n=6039, k=2`
    Тогда `f=2013*73*166693`
    `g=2013*19*41*15607`
    `НОД(f,g)=2013`

    Ответ: да.
  • Задача № 3 (2)
    У ювелира есть два сплава из золота и серебра. В первом сплаве отношения золота к серебру составляет `2 : 7`, а во втором сплаве – `7 : 3`. Клиент желает купить украшение, в котором золото и серебро находятся в одинаковом соотношении. Во сколько раз больше второго сплава нужно взять ювелиру для украшения, чтобы выполнить заказ?

    Решение:
    Сложность задачи в том, что не известно, в чем берется отношение - масса, объем, стоимость и т.д.
    Поэтому будем считать, что не важно в чем выражается отношение.
    Пусть второго сплава взяли в `k` раз больше, чем первого сплава.
    Тогда золота всего `2+7k` у.е. (условные единицы). В у.е. будем считать отношение.
    Серебра всего `7+3k` у.е.
    `2+7k=7+3k`
    `4k=5 => k=5/4=1.25`
    Поэтому второго сплава взяли в `1.25` раз больше.
    Предположим, что отношение измеряется в граммах.
    Всего грамм первого сплава взяли `9x`, второго сплава `10y`.
    Тогда золото и серебро распределено, как `2x, 7x` и `7y,3y`.
    Значит масса золота `2x+7y`, масса серебра `7x+3y`
    Массы приравниваем `2x+7y=7x+3y`
    `4y=5x => y/x=5/4`
    Найдем отношение масс сплавов: `(10y)/(9x)10/9*y/x=10/9*5/4=50/36`
    Но это мы взяли отношение масс сплавов, а если взять отношение самих сплавов, то оно будет равно `1.25`

    Ответ: `1.25`
  • Задача №2 (2)
    Найдите целые неотрицательные решения уравнения `x^2 − xy + y^2 − x− y = 0`.

    Решение:
    `x=0 => y=0;1`
    `y=0 => x=0;1`
    `x=1 => y=0;2`
    `y=1 => x=0;2`
    Пусть `x,y>=2`
    `x^2-xy+y^2=x+y`
    `(x-y)^2+xy=x+y => x+y>=xy`
    `1/x+1/y=1, но x>=2,y>=2 => 1/x+1/y<=1/2+1/2=1 => x=y=2`
    Получили все решения.

    Ответ: `(x,y)=(0;0), (1;0), (0;1), (2;1), (1;2), (2;2)`.
  • Задача №2 (3)
    Найдите целые неотрицательные решения уравнения `x^3 − 3xy + y^3 + 1 = 0`.

    Решение:
    Можно сразу через нер-во Коши:
    `x^3+y^3+1>=3root(3)(x^3*y^3*1)=3xy`, при этом равенство достигается лишь при `x^3=y^3=1 => x=y=1`
    А теперь распишем.
    `x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)=(x+y)((x-y)^2+xy)>=(x+y)*xy`
    Значит `-1=x^3+y^3-3xy>=xy(x+y-3)`
    Если `x+y>=3` - противоречие, значит `x+y<=2`
    `x=0 => y=-1`, нет решений.
    `y=0` - аналогично.
    `x>=1,y>=1`, но `x+y>=2`, значит `x=y=1` - единственное решение, и оно подходит.

    Ответ: `(x,y)=(1,1)`.
  • Задача №1 (2)
    В уравнении `x^2 + ax− 2 = 0` сумма квадратов корней равна `5`. Выберите верное утверждение:
    1) сумма подходящих значений параметра `a` равна `0`;
    2) сумма подходящих значений параметра `a` положительна;
    3) условию задачи удовлетворяет единственное значение параметра `a`.

    Решение:
    `x_1^2+x_2^2=5`
    `(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=5`
    Т. Виета: `x_1+x_2=-a, x_1x_2=-2`
    `a^2+4=5`
    `a^2=1`
    `a=+-1`, при это оба значения a годятся, т.к. при них будут корни, дискриминант положительный.
    `D=a^2+8=9`.
    Значит пункт `2` не подходит, сумма значений `a` равна `0`.
    Пункт `3` тоже не подходит. Подходит пункт `1`.

    Ответ: первое утверждение.
  • Задача №1 (3)
    На координатной плоскости изображена линия, заданная уравнением `|x|+ y^2 = 4`. Выберите верное утверждение:
    1) линия ограничивает симметричную фигуру;
    2) площадь фигуры, ограниченной линией, меньше `4pi`;
    3) линия не является замкнутой.
     
    Решение:
    `|x|<=4 => x in [-4;4]`
    `y^2<=4 => y in [-2;2]`
    `|x|=4-y^2 => x=4-y^2` (при `x>=0`) или `x=y^2-4` (при `x<=0`)
    Строим график (посчитав ось x за ось ординат), получаем симметричную фигуру.
    Фигура состоит из четырех одинаковых частей, площадь каждой части больше площади прямоугольного треугольника с катетами `2` и `4`, т.е. больше `4>pi`.
    Значит площадь фигуры больше `4pi`.
    Подходит только первое утверждение.

    Ответ: первое утверждение.
  • Задача №4 (2)
    У каждого из чисел от `1` до `1 000 000` выписан наибольший нечётный делитель. Каких среди выписанных чисел больше: дающих остаток `1` или дающих остаток `3` при делении на `4`?

    Решение:
    Пусть речь идёт о числах от `1` до `n`. Обозначим через `f(n)` разность между количеством чисел вида `4k+1` и количеством чисел вида `4k+3`, о которых говорится в условии задачи. Рассмотрим случай, когда `n` кратно четырём. Тогда среди нечётных чисел имеется поровну тех и других, а для чётных чисел результат будет равен `f(n/2)`. Если `n` даёт в остатке `1` при делении на `4`, то само число `n` вносит в `f(n)` вклад `1`, и далее можно перейти к числу `n−1`, а поскольку оно делится на `4`, то к `(n−1)/2`. Если `n` даёт в остатке `2` при делении на `4`, то есть `n=4m+2`, то `4n+1` вносит в `f(n)` вклад `1`, у остальных нечётных чисел они одинаковый, а для анализа вклада чётных чисел надо перейти к числу `2m+1=n/2`. Наконец, если `n` даёт в остатке `3` при делении на `4`, то есть `n=4m+3`, то у нечётных чисел вклад в `f(n)` нулевой, а для анализа вклада чётных чисел надо перейти к числу `2m+1=(n−1)/2`.

    Итоговый вклад числа `n`, то есть значение `f(n)`, проще всего прослеживается через двоичное представление числа `n`. Для `n=106` оно таково: `11110100001001000000`. Идём справа, и если на конце `00`, то последний из нулей списываем. Если на конце `01`, то добавляем `1` к "счётчику", и `1` списываем, переходя к `(n−1)/2`. Если на конце `10`, то также добавляем `1` к "счётчику", и последний `0` списываем. Наконец, если на конце `11`, то переходим к числу `(n−1)/2`, списывая последнюю цифру `1`.

    Из описания понятно, что `f(n)>=0` для всех чисел, а применительно к миллиону описанная выше процедура даёт `f(106)=8`. Жирным шрифтом выделены те цифры, при списывании которых мы добавляли `1` к значению `f(n)`: `11110100001001000000`. Их ровно восемь.

    Ответ: больше делителей, дающих остаток `1`.
  • Задача №2 (4)
    Из чисел `1,2,...,289` выбраны `144` чисел.
    Докажите, что сумма каких-либо двух выбранных чисел равна `289`, либо
    одно из чисел является квадратом натурального числа.

    Решение:
    Предположим, что не выбрали числа `1` и `289` - точные квадраты.
    Остальные числа разобьем по парам: `(2,287),(3,286),...,(144,145)` и также остается число `288`.
    Всего
    пар `143` (сумма каждой пары равна `289`). Чтобы сумма не получилась
    равной `289`, в каждой паре могут взять только `1` число. Тогда взяли
    число `288` тоже, чтобы всего чисел было `144`.
    Но есть пара `(64,225)`, где каждый элемент является точным квадратом, значит среди выбранных чисел нашелся точный квадрат.

Рассылка решений заочных туров олимпиад по математике