ОММО 2019
Условия и ответы ОММО (все варианты).
info@olympiads.biz - почта для подключения следующих олимпиад.

Отборочный этап олимпиады школьников СПбГУ по математике 2013-2014 / Задания и решения
  • Задача №2 (5)
    Докажите, что если целые числа `k,s,v` удовлетворяют равенству
    `(k+5)^2+(s-12)^2-(v+13)^2=k^2+s^2-v^2`
    то обе части равенства - точные квадраты.

    Решение:
    Раскроем скобки и приведем подобные:
    `k^2+10k+25+s^2-24s+144-v^2-26v-169=k^2+s^2-v^2`
    `10k=24s+26v`
    `12s+13v=5k`
    Пусть `v=5a+d`, где `d` - остаток при делении на `5`.
    Тогда `2s+3d` делится на `5`, значит `s=5b+d`
    `5k=60b+65a+25d => k=12b+13a+5d`
    Тогда `f=k^2+s^2-v^2=(12b+13a+5d)^2+(5b+d)^2-(5a+d)^2=`
    `=169b^2+144a^2+25d^2+2*12*13ab+2*13*5bd+2*12*5ad=(13b+12a+5d)^2`
    Что и требовалось доказать.
  • Задача №1 (4)
    В тёмном помещении хранятся `10` красных табуреток, `20` чёрных табуреток и `28` оранжевых табуреток одинаковой формы. Сколько табуреток нужно взять из этого помещения, чтобы среди них заведомо оказались `4` табуретки одного цвета?

    Решение:
    Мы можем взять случайно по три табуретки каждого цвета (всего `9`), тогда нет четырех табуреток одного цвета.
    Докажем, что если взять `10` или больше табуреток, то среди них заведомо окажутся `4` одинакового цвета.
    `a+b+c>=10`
    Пусть `a>=b>=c => 3a>=10 => a>=4`, но тогда получаем, что табуреток цвета a четыре или больше.

    Ответ: `10`.

  • Задача №1 (5)
    На одной полке шкафа хранятся `7` пар желтых носков, `10` пар коричневых носков и `17` пар фиолетовых носков. Сколько носков нужно взять с полки в темноте, чтобы на свету заведомо из них можно было составить `3` пары носков (цвета пар носков не важны)?

    Решение:
    Левые или правые носки - роли не играет.
    Случайно могли взять `7` носков, `5` одного цвета и по `1` других цветов. Получается только `2` пары.
    Докажем, что если взяли `8` носков, тогда всегда будут `3` пары
    `a+b+c=8`
    Пусть `a>=b>=c => 3a>=8 => a>=3`
    Если `a>=6`, тогда получили `3` пары.
    Пусть `a=3 => b+c=5`, если `b>=4`, тогда всего `3` пары.
    Если `b=3 => c=2` - опять `3` пары.
    Пусть `a=4 => b=c=4 => b>=2` - три пары.
    Если `a=5 => b+c=3 => b>=2` - три пары.

    Ответ: `8`.
  • Задача №2 (6)
    Докажите, что если целые числа `k,s,v` удовлетворяют равенству
    `(k+6)^2+(s+8)^2-(v+10)^2=k^2+s^2-v^2`
    то обе части равенства - точные квадраты.

    Решение:
    Раскроем скобки и приведем подобные:
    `k^2+12k+36+s^2+16s+64-v^2-20v-100=k^2+s^2-v^2`
    `3k+4s=5v`
    Пусть `k=5a+d`, где `d` - остаток при делении на `5`.
    Тогда `-s+3d` делится на `5`, значит `s=5b+3d`
    `5v=15a+20b+15d => v=3a+4b+3d`
    Тогда `f=k^2+s^2-v^2=(5a+d)^2+(5b+3d)^2-(3a+4b+3d)^2=`
    `16a^2+9b^2+d^2-8ad+6bd-24ab=(4a-3b-d)^2`
    Что и требовалось доказать.
  • Задача №4 (3)
    Вася расставляет трёхзначные числа, в записи каждого из которых по одной единице, одной двойке и одной тройке, в вершины правильного `50`-угольника таким образом, чтобы в каждой вершине оказалось по одному числу и любые два числа, стоящие в соседних вершинах, совпадали ровно в одном разряде. Докажите, что после этого будут совпадать ровно в одном разряде и любые два числа, стоящие в противоположных вершинах.

    Решение:
    Выпишем все такие числа: `123, 132, 213, 231, 312, 321` - всего `6` чисел.
    Каждое число может совпасть ровно в одном разряде с тремя числами и с двумя не совпасть вообще.
    Числа могут совпадать либо в одном разряде, либо в трех, либо вообще не совпадать.
    Все вершины обозначим за `A_1,A_2,...,A_50`
    Возьмем противоположные (чтобы между ними оставалось по `24` вершины) вершины `A_1` и `A_26`.
    Докажем более общее утверждение - вершины с индексами разной четности совпадают ровно в одном разряде.
    Для `A_1` и `A_2` это следует из условия.
    Пусть в вершине `A_1` находится число `a`, остальные числа обозначим за `(b,c,d) in M` - совпадают в `1` разряде и `(e,f) in N` - не совпадают вообще.
    Легко заметить, что любой элемент из `M` совпадает с любым из `N` ровно в `1` разряде.
    Тогда `A_2 in M => A_3=a` или `A_3 in N`.
    `A_3=a => A_4 in M`
    `A_3 in N => A_4 in M` (поскольку для любого элемента из `N` все соотв. тройки лежат в `M`)
    Итак, `A_4` совпадает с `A_1` ровно в `1` разряде.
    Продолжая по индукции, получаем, что `A_26` тоже совпадает с `A_1` ровно в `1` разряде.
    У противоположных вершин разная четность индексов.
    Доказано.
  • Задача №3 (3)
    Нечестный бармен отлил из `20`-литрового бочонка пива некоторое количество пива и добавил в бочонок столько же воды. На следующий день он снова отлил из того же бочонка такое же количество жидкости и долил бочонок водой. Проверка показала, что содержание пива в бочонке составило 64%. Сколько жидкости отливал бармен из бочонка за раз.

    Решение:
    `x` литров отливал бармен за раз.
    `20-x` пива и `x` воды после первого отлива.
    Тогда доля пива в смеси равна `(20-x)/20`, доля воды `x/20`
    В `x` литров смеси пива будет `x*(20-x)/20`
    После второго отлива пива осталось `20-x-x*(20-x)/20`
    Проверка показала, что пива осталось `64%`, т.е. `0.64*20=12.8`
    `(20-x)(1-x/20)=0.64*20`
    `(20-x)^2=0.64*20^2`
    `20-x=+-0.8*20=+-16`
    `x=4` или `x=36` - не годится.

    Ответ: `4` литра.
  • Задача №1 (6)
    В тёмном помещении хранятся `10` красных табуреток и `20` чёрных табуреток одинаковой формы. Сколько табуреток нужно взять из этого помещения, чтобы среди них заведомо оказались `4` табуретки одного цвета и `2` табуретки другого?

    Решение:
    Случайно могли взять `20` черных табуреток и `1` красную, тогда всего табуреток `21`, при этом условие задачи не выполняется.
    Докажем, что `22` табуреток будет достаточно.
    `a+b=22`.
    Табуреток одного цвета не больше `20`, поэтому `a,b>=2`.
    Если `a>=b => 2a>=22 => a>=11`, значит есть `4` табуретки цвета `a`, и две табуретки цвета `b`, поскольку `b>=2`.

    Ответ: `22`.
    Примечание: ответы к этому задания указаны неверные (из ответов нужно выбрать `7`). Решение прикрепить нельзя. Поэтому необходимо поступить так: решение вставить в решение другой задачи, а ответ выбрать `7`.
  • Задача №2 (7)
    Докажите, что если целые числа `k,s,v` удовлетворяют равенству
    `(k+7)^2+(s+24)^2-(v+25)^2=k^2+s^2-v^2`
    то обе части равенства - точные квадраты.

    Решение:
    Раскроем скобки и приведем подобные:
    `k^2+14k+49+s^2+48s+576-v^2-50v-625=k^2+s^2-v^2`
    `7k+24s=25v`
    Пусть `k=25a+d`, где `d` - остаток при делении на `25`.
    Тогда `-s+7d` делится на `25`, значит `s=25b+7d`
    `25v=7*25a+24*25b+25*7d => v=7a+24b+7d`
    Тогда `f=k^2+s^2-v^2=(25a+d)^2+(25b+7d)^2-(7a+24b+7d)^2=`
    `576a^2+49b^2+d^2-48ad+14bd-2*7*24ab=(24a-7b-d)^2`
    Что и требовалось доказать.
  • Задача №4 (4)
    Пусть `b > 0`. Рассмотрим последовательность, заданную следующим образом: `b_1 = 0, b_(n+1) = (b_n+b)^(1/2)` для всякого натурального `n`. Докажите, что в этой последовательности встретится бесконечно много иррациональных чисел.

    Решение:
    Предположим обратное. Пусть последний иррациональный член последовательности равен `b_k`.
    Значит `b_n in QQ` для всех `n>=k+1`
    `b_(k+1), b_(k+2) in QQ => b=b_(k+2)^2-b_(k+1)^2 in QQ`
    С другой стороны, `b_k` - иррациональный `=> b_(k+1)^2=b_k+b` иррациональный `=> b_(k+1)` иррациональный. Противоречие.
    Итак, если предположить обратное, получаем, что все члены должны быть рациональными, начиная с первого.
    `b_1=sqrt(b), b_2=sqrt(b+sqrt(b))`
    `b_2>b_1` и `b_(n+1)>b_n`. Последовательность строго возрастает.
    `sqrtb=u/v`, где `(u,v)=1`.
    Тогда получаем возрастающую последовательность натуральных чисел `u_n`:
    `u_0=u, u_(n+1)=sqrt(u^2+v*u_n)`
    `b_n=(u_n)/v => b_(n+1)=(u_(n+1))/v`
    `b_(n+1) in QQ`, поэтмоу если `u_n in NN => u_(n+1) in QQ` и в то же время является квадратом целого числа, т.е. тоже целым числом.
    `u_0 in NN`, тогда по индукции `u_n=v*b_n`, или `u_n` - строго возратсающая последовательность натуральных чисел, значит, не ограничена.
    Для достаточно большим `n, u_n` может быть каким угодно большим.
    Пусть `b_n=v*u_n>(1+sqrt(1+4b))/2`
    Тогда `b < ((2b_n-1)^2-1)/4=b_n^2-b_n, b_(n+1)=sqrt(b+b_n) < b_n`
    Противоречие.
    Доказано.
  • Задача №1 (7)

    На координатной плоскости изображена линия, заданная уравнением
    `(x-1)(x+1)+(y-1)(y+1)=2(|x|+|y|)`

    Выберите верное утверждение:
    1 .линия ограничивает симметричную фигуру
    2. площадь фигуры,ограниченной линией ,меньше `4pi`
    3. линия не является замкнутой

    Решение:
    `x^2+y^2-2=2|x|+2|y|`
    `(|x|-1)^2+(|y|-1)^2=4`
    Если `x>=0, y>=0` (первая четверть), получаем окружность
    `(x-1)^2+(y-1)^2=4`
    Если `x>=0, y<=0` (вторая четверть), получаем окружность
    `(x-1)^2+(y+1)^2=4`
    В других четвертях получаем другие окружности.
    Центр каждой окружности находится в своей четверти, на расстоянии `sqrt2` от начала координат и на расстоянии `1` от осей. Значит фигура симметрична относительно начала координат.
    Понятно, что фигура замкнута, точки замыкания `(sqrt3+1;0), (-sqrt3-1;0), (0;sqrt3+1), (0;-sqrt3-1)`
    Площадь фигуры больше площади окружности с радиусом `sqrt3+1`, поэтому площадь больше `pi*(sqrt3+1)^2>4pi`.
    Годится только первое утверждение.

    Ответ: `1`.

Рассылка решений заочных туров олимпиад по математике