ОММО 2019
Условия и ответы ОММО (все варианты).
info@olympiads.biz - почта для подключения следующих олимпиад.

Отборочный этап олимпиады школьников СПбГУ по математике 2013-2014 / Задания и решения
  • Задача №4 (5)
    Докажите, что `(a+b+c)^2/3 <= a^2+b^2+c^2+2(a–b+1)` для любых вещественных `a, b` и `c`.

    Решение:
    Пусть `f=3(a^2+b^2+c^2)+6(a-b+1)-(a+b+c)^2`
    `f=2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca+6(a-b+1)`
    `f=(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2+6(a-b+1)`
    `a-b=x, b-c=y => f=x^2+y^2+(x+y)^2+6(x+1)`
    `f(x)=2x^2+2x(y+3)+2y^2+6`
    Дискрминант `D/4=(y+3)^2-2(2y^2+6)=y^2+6y+9-4y^2-12=-3y^2+6y-3`
    `D/4=-3(y-1)^2<=0` при всех `y in RR => f(x)>=0` при всех `x,y in RR`
    Доказано.

    Более простое доказательство:
    `(a+b+c)^2/3<=(a+1)^2+(b-1)^2+c^2`
    `a+1=x, b-1=y, c=z`
    `(x+y+z)^2/3<=x^2+y^2+z^2`
    `x^2+y^2+z^2-(x+y+z)^2/3=1/3((x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2)>=0`
  • Задача №1 (8)
    Из двухсторонних карточек, имеющих на одной стороне букву, а на другой цифру, выложили надпись "СПБГУ1978", использовав `9` карточек. Сколько и каких карточек необходимо перевернуть, чтобы проверить истинность утверждения, что у нечётных чисел на обороте всегда гласная буква?
    4 карточки: У, 1, 9, 7.
    3 карточки: 1, 9, 7.
    8 карточек: С, П, Б, Г, У, 1, 9, 7.
    7 карточек: С, П, Б, Г, 1, 9, 7.

    Решение:
    Достаточно перевернуть и проверить карточки `1,9,7`. В зависимости от того, что у них на обороте, проверяется истинность утверждения.
    Переворачивать У нет необходимости, поскольку утверждение не взаимно-обратное, т.е. не говорит о том, что на обороте гласной буквы имеется нечетное число. Наличие четного числа на обороте У не влияет на истинность утверждения.

    Ответ: `3` карточки, `1,9,7`.
  • Задача №2 (8)
    Докажите, что если целые числа `k,s,v` удовлетворяют равенству
    `(k-8)^2+(s+15)^2-(v-17)^2=k^2+s^2-v^2`
    то обе части равенства - точные квадраты.

    Решение:
    Раскроем скобки и приведем подобные:
    `k^2-16k+64+s^2+30s+225-v^2-34v-289=k^2+s^2-v^2`
    `16k+34v=30s`
    `8k+17v=15s`
    Пусть `k=15a+d`, где `d` - остаток при делении на `15`.
    Тогда `2v+8d` делится на `15`, значит `v=15b-4d`
    `15s=8*15a+17*15b-60d => s=8a+17b-4d`
    Тогда `f=k^2+s^2-v^2=(15a+d)^2+(8a+17b-4d)^2-(15b-4d)^2=`
    `289a^2+64b^2+d^2-34ad-16bd+2*8*17ab=(17a+8b-d)^2`
    Что и требовалось доказать.
  • Задача №2 (9)
    Из чисел `1,2,...,625` выбраны `312` чисел.
    Докажите, что сумма каких-либо двух выбранных чисел равна `625`, либо
    одно из чисел является квадратом натурального числа.

    Решение:
    Предположим, что не выбрали числа `1` и `625` - точные квадраты.
    Остальные числа разобьем по парам: `(2,623),(3,622),...,(312,313)` и также остается число `624`.
    Всего
    пар `311` (сумма каждой пары равна `625`). Чтобы сумма не получилась
    равной `625`, в каждой паре могут взять только `1` число. Тогда взяли
    число `624` тоже, чтобы всего чисел было `312`.
    Но есть пара `(49,576)`, где каждый элемент является точным квадратом, значит среди выбранных чисел нашелся точный квадрат.
  • Задача №4 (6)
    Ненулевые вещественные числа `x,y` удовлетворяют условию `x^3+y^3+3x^2y^2=x^3y^3`. Найдите все значения, которые может принимать выражение `1/x+1/y`.

    Решение:
    Поделим равенство на `x^3y^3`:
    `1/(x^3)+1/(y^3)+3/(xy)=1`
    Пусть `1/x+1/y=a, 1/(xy)=b`
    `a(a^2-3b)+3b=1`
    `a^3-1-3b(a-1)=0`
    `(a-1)(a^2+a+1-3b)=0`
    `a=1` или `a^2+a+1-3b=0`
    `a^2+a+1=3b`
    `(a+1/2)^2=3b-3/4 => b>=1/4 => xy in (0;4]`
    `|a|>=2/sqrt(xy)>=1`
    Но если `a>=0 => a^2+a+1>=4b+a+1>3b` - противоречие.
    Значит `a<0 => a<=-1`
    Пусть `b=1/4+t, t>=0`
    `(a+1/2)^2=3t => a=-1/2+-sqrt(3t)` - больший корень не годится под условие `a<=-1`
    Значит `a=-1/2-sqrt(3t)`
    По т. Виета, `1/x` и `1/y` являются корнями уравнения `p^2+p(1/2+sqrt(3t))+1/4+t=0`
    `D=(1/2+sqrt(3t))^2-1-4t=-t+sqrt(3t)-3/4=-(sqrt(t)-sqrt(3)/2)^2<=0`
    Есть корни только при `D=0 => t=3/4 => a=-2`

    Ответ: `a=-2` или `1`.
  • Задача №1 (9)
    Диктант по французскому языку писали `N`
    учеников городской гимназии. При проверке оказалось, что один ученик
    сделал `10` ошибок, а все остальные меньше. При каком значении `N`
    всегда найдутся четыре работы с одинаковым количеством ошибок?

    Решение:
    Все остальные сделали от `0` до `9` ошибок, т.е. всего `10` вариантов.
    Пусть на каждый вариант приходится `3` ученика, тогда всего учеников `10*3+1=31`.
    Если найдется еще `1` ученик, тогда всегда найдутся четыре ученика с одинаковым количеством ошибок.
    Если учеников будет `31` или меньше, можно ошибки распределить таким образом, что на каждую ошибку будет `3` ученика или меньше.
    `N>=32`

    Ответ: `N>=32` (или еще можно записать, как `N>31`).
  • Задача №2 (10)
    Докажите, что если целые числа `k,s,v` удовлетворяют равенству
    `(k+9)^2+(s-12)^2-(v+15)^2=k^2+s^2-v^2`
    то обе части равенства - точные квадраты.

    Решение:
    Раскроем скобки и приведем подобные:
    `k^2+18k+81+s^2-24s+144-v^2-30v-225=k^2+s^2-v^2`
    `18k=24s+30v`
    `4s+5v=3k`
    Пусть `v=3a+d`, где `d` - остаток при делении на `3`.
    Тогда `s+2d` делится на `3`, значит `s=3b+d`
    `3k=12b+15a+9d => k=4b+5a+3d`
    Тогда `f=k^2+s^2-v^2=(4b+5a+3d)^2+(3b+d)^2-(3a+d)^2=`
    `=25b^2+16a^2+9d^2+40ab+24ad+30bd=(5b+4a+3d)^2`
    Что и требовалось доказать.
  • Задача №1 (10)
    Из двухсторонних карточек, имеющих на одной
    стороне букву, а на другой цифру, выложили надпись "EXP271828",
    использовав `9` карточек. Сколько и каких карточек необходимо
    перевернуть, чтобы проверить истинность утверждения, что у нечётных
    чисел на обороте всегда гласная буква?
    6 карточек: E, X, P, 7, 1.
    2 карточки: 7, 1.
    3 карточки: E, 7, 1.
    5 карточек: X, P, 7, 1.

    Решение:
    Достаточно
    перевернуть и проверить карточки `1,7`. В зависимости от того, что у
    них на обороте, проверяется истинность утверждения.
    Переворачивать E
    нет необходимости, поскольку утверждение не взаимно-обратное, т.е. не
    говорит о том, что на обороте гласной буквы имеется нечетное число.
    Наличие четного числа на обороте E не влияет на истинность утверждения.

    Ответ: `2` карточки, `1,7`.
  • Задача №1 (11)
    В тёмном помещении хранятся `10` красных
    табуреток и `20` чёрных табуреток одинаковой формы. Сколько табуреток
    нужно взять из этого помещения, чтобы среди них заведомо оказались `2` красных
    табуретки и `2` черных табуретки?

    Решение:
    Случайно могли взять `20` черных табуреток и `1` красную, тогда всего табуреток `21`, при этом условие задачи не выполняется.
    Докажем, что `22` табуреток будет достаточно.
    `a+b=22`.
    Табуреток одного цвета не больше `20`, поэтому `a,b>=2`.

    Ответ: `22`.
  • Задача №2 (11)
    Докажите, что если целые числа `k,s,v` удовлетворяют равенству
    `(k-5)^2+(s-12)^2-(v-13)^2=k^2+s^2-v^2`
    то обе части равенства - точные квадраты.

    Решение:
    Раскроем скобки и приведем подобные:
    `k^2-10k+25+s^2-24s+144-v^2+26v-169=k^2+s^2-v^2`
    `-10k=24s-26v`
    `12s-13v=-5k`
    Пусть `-v=5a+d`, где `d` - остаток при делении на `5`.
    Тогда `2s+3d` делится на `5`, значит `s=5b+d`
    `-5k=60b+65a+25d => -k=12b+13a+5d`
    Тогда `f=k^2+s^2-v^2=(12b+13a+5d)^2+(5b+d)^2-(5a+d)^2=`
    `=169b^2+144a^2+25d^2+2*12*13ab+2*13*5bd+2*12*5ad=(13b+12a+5d)^2`
    Что и требовалось доказать.

Рассылка решений заочных туров олимпиад по математике