ОММО 2019
Условия и ответы ОММО (все варианты).
info@olympiads.biz - почта для подключения следующих олимпиад.

Отборочный этап олимпиады школьников СПбГУ по математике 2013-2014 / Задания и решения
  • Задача №3 (10)
    В прямоугольнике `ABCD` с большей стороной `AD` точка `E` — середина стороны `AB`, a `M` — основание перпендикуляра, опущенного из вершины `D` на отрезок `CE`. Докажите, что треугольник `MAD` — равнобедренный.

    Решение:
    Пусть `/_BEC=/_ECD=alpha`, тогда `/_CDM=90^@-alpha` и `/_MDA=90^@-(90^@-alpha)=alpha`. Пусть `EB=AE=x`, тогда `DC=2x`. Из прямоуг. `DeltaEBC` имеем `BC=x*tg(alpha)=AD` Из прямоуг. `DeltaMDC` имеем `MD=2x*sin(alpha)` Тогда по т. косинусов `AM^2=4x^4*sin^2(alpha)+x^2*tg^2(alpha)-2*cos(alpha)*2xsin(alpha)*xtg(alpha)=x^2tg^2(alpha)`, `rArr AM=x*tg(alpha)` Т.е `AM=AD`, `rArr DeltaAMD` - равнобедренный. ч.т.д.

Рассылка решений заочных туров олимпиад по математике