Рассылка решений заочных туров олимпиад по математике

Подписывайтесь на нашу рассылку решений заочных туров всех олимпиад по математике: Ломоносов, Покори Воробьевы горы, Высшая проба, Физтех 2018 и другие перечневые олимпиады.

Олимпиада Ломоносов 2013-2014 / Третий тур отборочного этапа по математике / Задания и решения


  • Сезон олимпиад 2016-2017 открыт!
    Идет запись на наши курсы подготовки к олимпиадам по математике с гарантированным результатом.
    image
    1. Индивидуальные занятия и консультации.
    2. Помощь в прохождении заочных туров олимпиад. Одна олимпиада 1-5 тыс. руб.
    3. Помощь эксперта на очных турах олимпиад. Одна олимпиада от 30 тыс. руб.
    4. Гарантия успешного результата (курсы ведутся пятый сезон).

    Стоимость курсов от 3000 до 25000 руб. в месяц. Стандартный курс - 10000 руб. в месяц. Длительность курсов - 6 месяцев.
    В составе стандартного курса заочные туры 10 олимпиад и очные туры 2 олимпиад.
    Посмотреть тарифные планы и подробную информацию по курсам подготовки.

    Олимпиада Ломоносов 2015-2016 - задания и решения отборочного этапа по математике.
    Олимпиада Ломоносов 2013-2014. Третий тур отборочного этапа по математике. Задания и решения.
  • Задача №1
    Маша задумала `10`-значное число и сообщила Васе, что остаток от деления этого числа на `9` равен `3`. Потом Маша зачеркнула одну цифру и сказала Васе, что остаток от деления на `9` получившегося `9`-значного числа равен `7`.
    Помогите Васе угадать цифру, которую зачеркнула Маша. Запишите эту цифру в ответ.

    Решение:
    Задуманное число `n=bar(a_1...a_10)`
    По признаку делимости на `9`: `s=a_1+...+a_10-=n-=3` `mod` `9`
    Пусть вычеркнули цифру `a_i`.
    Тогда по тому же признаку: `s-a_i-=7` `mod` `9`
    Значит, `a_i -= s-7 -= -4 -=5` `mod` `9`
    Только цифра `5` может давать остаток `5` при делении на `9 => a_i=5`

    Ответ: `5`.
  • Задача №2
    Около трапеции  `ABCD`  с основанием  `AD = 12`  описана окружность. Касательная к окружности в точке  `A`  пересекает прямые  `BD`  и  `CD`  в точках  `M`  и  `N`  соответственно.
    Найдите  `MD`,  если  `AB _|_ MD`  и  `ND = 20`.

    Решение:
    `DeltaABD` - прямоугольный и вписан в нашу окружность, значит `AD` - диаметр.
    `AD_|_AN => DeltaAND` - прямоугольный `=> AN=sqrt(20^2-12^2)=sqrt256=16`
    По теореме о секущей и касательной: `AN^2=NC*ND => NC=256/20=64/5 => CD=36/5`
    Трапеция равнобедренная, поскольку ее можно вписать в окружность.
    Пусть `/_A=alpha => BD=12sinalpha, AB=CD=12cosalpha`
    `12cosalpha=36/5 => cosalpha=3/5 => sinalpha=4/5 => BD=12*4/5=48/5`
    Прямоугольный `DeltaAMD`: `AM^2=MD^2-AD^2=MD^2-144`
    Теор. о секущей и касательной: `AM^2=MB*MD`
    `MB*MD=MD^2-144 => MD*(MD-MB)=144 => MD*BD=144`
    `MD*48/5=144 => MD=15`

    Ответ: `15`.
  • Задача №3
    Парабола  `y = x^2`  пересекается с прямой  `y = 25`. На отрезке между точками пересечения параболы и прямой как на диаметре построена окружность.
    Найдите площадь выпуклого многоугольника, вершины которого - точки пересечения данной окружности и параболы. В ответе укажите ближайшее к величине этой площади целое число.

    Решение:
    Найдем точки пересечения параболы и прямой: `x^2=25 iff x=+-5, y=25`
    Значит радиус `R=5`, центр окружности `O(0;25)`
    Уравнение окружности `x^2+(y-25)^2=25`
    Решим систему `{(y=x^2),(x^2+(y-25)^2=25):}`
    `y+(y-25)^2=25`
    `y^2-49y+600=0 => y=24, y=25 => x=+-sqrt(24), +-5`
    Точки `(-5;25), (-sqrt(24);24), (sqrt(24);24), (5;25)`
    Получили трапецию, где высота `h=25-24=1.`
    Основания `a=2sqrt(24), b=10`
    `S=1/2h*(a+b)=sqrt(24)+5 in (9.5;10)`

    Ответ: `10`.
  • Задача №4
    Решите уравнение
    `(x^2-4x+7)^(x^2-4x+6)=625`
    В ответе укажите сумму квадратов всех его корней. Если корней нет, поставьте `0`.

    Решение:
    `x^2-4x+7>0` при всех `x in RR`, поэтому проблем с ОДЗ нет.
    `x^2-4x+7=(x-2)^2+3=y`, где `y>=3`.
    `y^(y-1)=625`
    `f(y)=y^(y-1)` функция возрастающая при `y>=3`, т.к. если `a>b>=3 => a^(a-1)>a^(b-1)>b^(b-1)`.
    Значит решение может быть максимум 1, его легко подобрать, `y=5`.
    `x^2-4x+7=5 iff x^2-4x+2=0` - есть два корня.
    По т. Виета `x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=12`.

    Ответ: `12`.

  • Задача №5
    Вычислите:
    `(1*2+2*3+3*4+...+2014*2015)/((1+2+3+...+2014)*1/4)`
    В случае необходимости ответ округлите с точностью до сотых.

    Решение:
    `S_n=(1*2+2*3+...+n(n+1))/((1+2+...+n)*1/4)=(4f(n))/(g(n))`
    `f(n)=a_1+a_2+...+a_n`, где `a_k=k(k+1)=k^2`
    `f(n)=1+2+...+n+1^2+2^2+...+n^2=(n(n+1))/2+(n(n+1)(2n+1))/6=`
    `=(n(n+1))/6(3+2n+1)=(n(n+1)(n+2))/3`
    `(4f(n))/(g(n))=4*2/3(n+2)=8/3(n+2)`
    `S_2014=8/3*2016=5376`

    Ответ: `5376`.
  • Задача №6
    Найдите наименьший корень уравнения
    `|sin(2pix)+cos(pix)|=||sin(2pix)|-|cos(pix)||`
    принадлежащий промежутку `(-2;-1/4)`.

    Решение:
    `|a+b|=||a|-|b||`
    Имеем право возвести в квадрат, обе части положительны.
    `a^2+2ab+b^2=a^2-2|ab|+b^2 iff |ab|=-ab iff ab<=0`
    `sin(2pix)*cos(pix)<=0`
    `2sin(pix)*cos^2(pix)<=0`
    `sin(pix)<=0 или cos(pix)=0`
    `-pi+2pin<=pix<=2pin` или `pix=pi/2+pik, n,k in ZZ`
    `2n-1<=x<=2n` или `x=k+1/2, n, k in ZZ`
    На промежутке `(-2;-1/4)` получаем решения `x in (-1;-1/4)` и `x=-3/2``

    Ответ: `-1.5`.
  • Задача №7
    Команда спортсменов, третья часть которых - сноубордисты, спустилась с горы. При этом некоторые из них сели в вагон фуникулера, вмещающий не более `10` человек, а все остальные спустились самостоятельно, причём их число оказалось больше `45%`, но меньше `50%` от общего количества.
    Определите количество сноубордистов (если оно определяется из условия задачи неоднозначно, то впишите в ответ сумму всех возможных его значений).

    Решение:
    Кол-во всех спортсменов делится на `3`, поскольку треть сноубордистов.
    Пусть `3n` - всего спортсменов.
    В вагон сели `k<=10` спортсменов, остальные `3n-k` спустились сами.
    `45/100 *3n < 3n-k < 50/100 *3n`
    `27/20n < 3n-k < 3/2n`
    `3/2n < k < 33/20n`
    `k <=10 => 3/2n < 10 => n < 20/3 => n<=6`
    Если `n=6 => k in (9;9.9)` - нет таких целых `k`.
    Если `n=5 => k in (15/2;33/4) => k=8`.
    `n=4 => k in (6;6.6)` - нет таких целых `k`.
    `n=3 => k in (4.5;4.95)` - тоже нет.
    `n=2 => k=(3;3.3)` - нет.
    `n=1 => k in (1.5;1.65)`
    Подошло только `n=5, k=8` - всего сноубордистов `5`.

    Ответ: `5`.
  • Задача №8
    На боковом ребре `SB` правильной шестиугольной пирамиды `SABCDEF` выбрана точка `P` так, что `SP` в `10` раз больше, чем `PB`. Пирамиду рассекли на две части плоскостью, проходящей через точку `P` параллельно ребрам `SE` и `FE`.
    Найдите отношение объема большей из этих частей к объему меньшей части. В случае необходимости ответ округлите с точностью до сотых.

  • Задача №9
    Найдите количество корней уравнения
    `arctan(tansqrt(35pi^2+4pix-4x^2))=arcsin(sinsqrt((35pi^2)/4+pix-x^2))`
  • Задача №10
    Найдите сумму всех целых значений `a`, принадлежащих отрезку  `[-6;11]`,  при каждом из которых из двойного неравенства  `-1<=x<=0`   следует неравенство
    `-5ax+3a^2+2a+12 > a^2sqrt(5x+9)`

Рассылка решений заочных туров олимпиад по математике