Рассылка решений заочных туров олимпиад по математике

Подписывайтесь на нашу рассылку решений заочных туров всех олимпиад по математике: Ломоносов, Покори Воробьевы горы, Высшая проба, Физтех 2018 и другие перечневые олимпиады.

ОММО 2014 / Задания и решения очного тура / Объединенная межвузовская математическая олимпиада


  • Сезон олимпиад 2016-2017 открыт!
    Идет запись на наши курсы подготовки к олимпиадам по математике с гарантированным результатом.
    image
    1. Индивидуальные занятия и консультации.
    2. Помощь в прохождении заочных туров олимпиад. Одна олимпиада 1-5 тыс. руб.
    3. Помощь эксперта на очных турах олимпиад. Одна олимпиада от 30 тыс. руб.
    4. Гарантия успешного результата (курсы ведутся пятый сезон).

    Стоимость курсов от 3000 до 25000 руб. в месяц. Стандартный курс - 10000 руб. в месяц. Длительность курсов - 6 месяцев.
    В составе стандартного курса заочные туры 10 олимпиад и очные туры 2 олимпиад.
    Посмотреть тарифные планы и подробную информацию по курсам подготовки.

    ОММО 2014. Задания и решения очного тура. Объединенная межвузовская математическая олимпиада.


    image

    image

    image

    image
  • Задача №1 (вариант 3)
    В бесконечной числовой последовательности `x_1,x_2,...x_n,...`, не все члены равны между собой. Для всех `n>=2` сумма `x_(n+1)+x_(n-1)` вдвое больше числа `x_n`. Найдите отношение `(x_(2n)-x_n)/(x_(n+2)-x_(n+1))`.

    Решение:
    По условию, `x_(n+1)+x_(n-1)=2x_n`
    `x_(n+1)-x_n=x_n-x_(n-1)` - при всех `n>=2`
    Пусть `x_2-x_1=d => x_3-x_2=x_4-x_3=...=d`
    Значит сумма двух любых соседних членов последовательности равна `d`
    Если `d=0 =>` все числа равны между собой, но это противоречит условию, поэтому `d!=0`
    Значит расстояние между двумя любыми соседними числами одинаково и равно `d!=0`
    Это определение арифметической прогрессии.
    Значит, `x_(2n)-x_(n)=(x_1+(2n-1)d)-(x_1+(n-1d))=nd`
    `x_(n+2)-x_(n-2)=4d`
    `f=(x_(2n)-x_n)/(x_(n+2)-x_(n+1))=(nd)/(4d)=0.25n`

    Ответ: `0.25n`.
  • Задача №2 (вариант 3)
    Даны `2014` положительных чисел. Известно, что произведение любых сорока из них меньше `1`. Докажите, что произведение всех данных чисел меньше единицы.

    Решение:
    Числа обозначим, как `a_1,a_2,...a_2014`, где `a_i>0` при всех `i=1,2,...2014`
    Будем брать произведения групп из `40` чисел следующим образом:
    `b_1=a_1*...*a_40`
    `b_2=a_2*...*a_41`
    ...
    `b_1975=a_1975*...*a_2014`
    `b_1976=a_1976*...*a_2014*a_1`
    ...
    `b_2014=a_2014*a_1*...*a_39`
    При этом `b_i<1` при всех `i=1,2,...,2014`
    Перемножим все `b_i`:
    `b_1*...*b_2014=(a_1*...*a_2014)^40` (очевидно, что каждый `a_i` повстречается ровно `40` раз)
    По условию `b_1*...*b_2014<1 => (a_1*...*a_2014)^40 < 1 => a_1*...*a_2014 < 1`

    Доказано.

  • Задача №3 (вариант 3)
    Натуральное `67`-значное число `A` записывается только цифрами `2,3` и `4`. При этом двоек на `22` больше, чем четверок. Найдите остаток от деления числа `A` на `9`.

    Решение:
    `n` - количество троек, `k` - кол-во четверок, тогда `n+k+k+22=67`
    `n+2k=45 => n=45-2k`
    Пусть `A=bar(a_1...a_67) и S=a_1+...+a_67`
    По признаку делимости на `9`: `A-=S` `mod` `9`
    `S=3n+2(k+22)+4k=3(45-2k)+6k+44=179`
    `179 -=1 8 mod 9 => A-=S-=8` `mod` `9`

    Ответ: `8`.

  • Задача №4 (вариант 3)
    Дан выпуклый пятиугольник `ABCDE`. Точки `M,N,P` и `Q` - середины сторон `AB, BC, CD` и `DE` соответственно, точки `H` и `K` - середины `MN` и `NQ` соответственно. Найдите длину отрезка `HK`, если `AE=75`.

    Решение:
    1. `vec(HK)=1/2(vec(MN)+vec(PQ))`
    2. `vec(MN)=vec(MB)+vec(BN), vec(PQ)=vec(PD)+vec(DQ)`
    3. `vec(MB)=1/2vec(AB), vec(BN)=1/2vec(BC), vec(PD)=1/2vec(CD), vec(DQ)=1/2vec(DE)`
    4. `vec(AB)+vec(BC)+vec(CD)+vec(DE)=vec(AE)=75`
    Следовательно, `vec(HK)=1/2*1/2*75=75/4=18.75`

    Ответ: `18.75`
  • Задача №5 (вариант 3)
    Найдите все решения уравнения
    `(y(x-1))^2+(x-1)^2+y^2+1-4y|x-1|=0`

    Решение:
    `(y(x-1))^2+(x-1)^2+y^2+1-4y|x-1|=0`
    `(y(x-1))^2-2y|x-1|^2+1+(x-1)^2-2y|x-1|^2+y^2=0`
    `(y|x-1|-1)^2+(|x-1|-y)^2=0`
    `{(y|x-1|=1),(|x-1|=y):}`
    `|x-1|^2=1 iff |x-1|=1 => x=0;2, y=1`

    Ответ: `(0;1), (2;1)`.
  • Задача №6 (вариант 3)
    Найдите все периодические функции `y=f(x)`, удовлетворяющие уравнению
    `f(x)-0.4f(x-pi)=sinx`
    при всех значениях `x`.

    Решение:
    Пусть `T` - наименьший период функции `f(x)`, тогда `f(x+T)=f(x)` и `f(x+T-pi)=f(x-pi)`
    Значит, `sinx=f(x)-0.4f(x-pi)=f(x+T)-0.4f(x+T-pi)=sin(x+T)`
    `sinx=sin(x+T)` при любом `x in RR`
    `x=pi/2 => sin(T+pi/2)=1 => T=2pin, n in ZZ`
    `n=1 => T=2pi` - эти условия являются и достаточными.
    `f(x)-0.4f(x-pi)=sinx` (*)
    Значит, `f(x+pi)-0.4f(x)=sin(x+pi)=-sinx`
    `f(x+pi)=f(x+pi-T)=f(x-pi)`
    `f(x-pi)-0.4f(x)=sin(x+pi)=-sinx`
    `0.4f(x-pi)-0.16f(x)=-0.4sinx`
    Сложим с (*): `0.84f(x)=0.6sinx => f(x)=60/84sinx=5/7sinx`
    Проверкой убеждаемся, что функция подходит.

    Ответ: `y=5/7sinx`.
  • Задача №7 (вариант 3)
    Диагонали трапеции взаимно перпендикулярны, а боковые стороны образуют угол `45^@`. Основания имеют длины `6` и `2`. Найдите высоту данной трапеции.

    Решение:
    image
    1. Известно, что четыре точки лежат на одной прямой - пересечение боковых сторон трапеции, пересечение диагоналей и середины оснований.
    Проведем эту прямую `EM` - медиану треугольника `AED`.
    2. `h` - высота трапеции.
    Тогда из треугольников `ABD, BCD` и треугольников `ABC, ACD`, рассматривая их площади и исплользуя то, что диагонали пересекаются под прямым углом, получаем, что диагонали делятся в отношении `3:1` (в точке пересечения диагоналей).
    Есть вверхнуюю часть одной из диагоналей обозначим за `x`, тогда через `x` выразятся остальные части обоих диагоналей:
    `sqrt(4-x^2)` (из прямоугольного треугольника), `3x`, `3sqrt(4-x^2)`
    `h=1/2*sqrt(4-x^2)*4x=2x*sqrt(4-x^2)`
    3. Тогда из боковых прямугольных треугольников трапеции получаем:
    `AB=sqrt(36-8x^2), CD=sqrt(4+8x^2)`
    4. `DeltaAED` и `DeltaBEC` подобны.
    `(a+sqrt(36-8x^2))/a=(b+sqrt(4+8x^2))/b=3`
    `a=sqrt(9-2x^2), b=sqrt(1+2x^2)`
    Из `DeltaBEC` по теор. косинусов:
    `4=a^2+b^2-sqrt2ab`
    `4=10-sqrt(2(9-2x^2)(1+2x^2))`
    `(9-2x^2)(1+2x^2)=18`
    `2x^2=t`: `(t-9)(t+1)+18=0 iff t^2-8t+9=0`
    `t=4+-sqrt7`
    `2x^2=4+-sqrt7`, в обоих случаях получается одинаковый `h`.
    `h=2x*sqrt(4-x^2)=sqrt(2x^2(8-2x^2))=sqrt((4+sqrt7)(4-sqrt7))=3`

    Ответ: `3`.

  • Задача №8 (вариант 3)
    Найдите все значения параметра `a`, при которых уравнение
    `|ln|x+1||=a(x+1)`
    имеет ровно три решения.

    Решение:
    Пусть `x+1=y => |ln|y||=ay`
    Понятно, что каждое решение `y` дает ровно одной решение `x`, поэтому на полученное уравнение накладываем такое же условие - три решения.
    Функция `f(y)=|ln|y||` симметрична относительно оси ординат (`y` у нас аргумент)
    Построим схематический график функции при `y>0`.
    Внешний модуль функции отображает отрицательную часть `g(y)=|lny|` в положительную полуплоскость (над осью абсцисс). В силу того, что `h(y)=lny` возрастает при всех `y>0`, получаем схематический график функции `g(y)` - убывает при `y in (0;1]`, возрастает при `y in[1;+oo), y_min=1`.
    Для построения `f(y)` симметрично отображаем `g(y)` относительно оси ординат.

    Функция `t(y)=ay` - прямая, которая проходит через начало координат.
    Понятно, что `t(y)` и `f(y)` пересекутся в `3` точках, если `t(y)` пересечет `f(y)` до точки минимума (`|y|=1`) и далее еще в двух точках.
    Крайний случай - когда `t(y)` касается `f(y)` при `|y|>1`. Тогда будет два решения.
    Найдем значения `a`, при которых происходит это касание.
    Достаточно рассмотреть функцию `h(y)=lny`
    `h'(y)=1/y =>` через уравнение касательно найдем, что точка касания `y=e => h(e)=1 => a=1/e`
    Значит, при `a< 1/e` получаем три корня.
    С учетом четвертой четверти получаем, что `|a|< 1/e`, также учтем, что `a!=0`.

    Ответ: `a in (-1/e;0)uu(0;1/e)`.

    Рисунок
    image
  • Задача №9 (вариант 3)
    В городе `200` жителей. Часть из них - рыцари, всегда говорящие правду, остальные лжецы, которые всегда лгут. Каждый горожанин живет в одном из четырех кварталов (А, Б, В и Г). Каждому задали `4` вопроса: "Вы живете в квартале А?", "Вы живете в квартале Б?", "Вы живете в квартале В?", "Вы живете в квартале Г?". На первый вопрос утвердительно ответили `42` жителей, на второй - `100`, на третий - `80` и на четвертый - `68`. В каком квартале рыцарей живет меньше, чем лжецов, и на сколько?

    Решение:
    Пусть `x,y,z,t` и `a,b,c,d` кол-во рыцарей и лжецов в городах А,Б,В и Г соответственно.
    Пусть `m=x+y+z+t, n=a+b+c+d`
    Всего ответов `4*200=800`, из них `42+100+80+68=290` положительных и `800-290=510` отрицательных.
    Каждый рыцарь дает `1` положительный и `3` отрицательных ответа.
    Каждый лжец дает `3` положительных и `1` отрицательный ответ.
    Получаем систему `{(m+3n=290),(3m+n=510):}`
    `m+n=200 => m=200-m => 200+2n=290 iff n=45, m=155`
    Учтем кол-во положительных ответов по каждому кварталу:
    `{(x+b+c+d=42),(y+a+c+d=100),(z+a+b+d=80),(t+a+b=c=68):}`
    `{(x+n=42+a),(y+n=100+b),(z+n=80+c),(t+n=68+d):}`
    `{(a-x=-3),(b-y=55),(c-z=35),(d-n=23):}`
    Поэтому, рыцарей было меньше лжецов только в квартале А и ровно на `3` штуки.

    Ответ: в квартале А рыцарей на `3` меньше.
  • Задача №10 (вариант 3)
    В прямоугольном параллелепипеде `ABCDA_1B_1C_1D_1` с ребрами `AB=6, AD=15` и `A A_1=8` проведены два сечения - плоскостью, проходящей через диагональ `A_1C` и плоскостью, проходящей через диагональ `B_1D`. Найдите наибольшее возможное значение суммы площадей поверхностей многогранников, на которые эти сечения разбивают данный параллелепипед.
    image

Рассылка решений заочных туров олимпиад по математике