Рассылка решений заочных туров олимпиад по математике

Подписывайтесь на нашу рассылку решений заочных туров всех олимпиад по математике: Ломоносов, Покори Воробьевы горы, Высшая проба, Физтех 2017 и другие перечневые олимпиады.

Задания и решения всех вариантов очного тура олимпиады "Высшая проба" НИУ ВШЭ по математике


  • Сезон олимпиад 2016-2017 открыт!
    Идет запись на наши курсы подготовки к олимпиадам по математике с гарантированным результатом.
    image
    1. Индивидуальные занятия и консультации.
    2. Помощь в прохождении заочных туров олимпиад. Одна олимпиада 1-5 тыс. руб.
    3. Помощь эксперта на очных турах олимпиад. Одна олимпиада от 30 тыс. руб.
    4. Гарантия успешного результата (курсы ведутся пятый сезон).

    Стоимость курсов от 3000 до 25000 руб. в месяц. Стандартный курс - 10000 руб. в месяц. Длительность курсов - 6 месяцев.
    В составе стандартного курса заочные туры 10 олимпиад и очные туры 2 олимпиад.
    Посмотреть тарифные планы и подробную информацию по курсам подготовки.

    Олимпиада Высшая проба 2015-2016 - задания и решения отборочного этапа по математике.
    Задача 1:
    Найдите все целочисленные решения `(x,y)` уравнения `3x^2-y^2=3^(x+y)` и докажите, что других нет.

    Краткое решение:
    `3x^2-y^2=3^(x+y)`.
    1. Если `x+y` - четно, т.е. `x+y=2n, n in ZZ^+`,
    то методом спуска наше уравнение сводится к уравнению вида
    `a^2+1=3b^2, a,b in ZZ`, где мы получаем противоречие по модулю `3`.
    2. Если `x+y=2n+1`, где `n in ZZ^+`,
    то методом спуска получаем уравнение
    `a^2-3b^2=1`,
    где `{(x+y=2n+1),(x=3^na),(y=3^(n+1)b):}`, `a,b in ZZ`
    3. `3^n(a+3b)=2n+1`,
    `a+3b in ZZ, a+3b=(2n+1)/(3^n)`, где `n in ZZ^+ => a+3b>0 => a+3b>=1`,
    следовательно `2n+1>=3^n`.
    Легко доказать, что `2n+1<3^n AA n>=2`, например по индукции:
    `n=2`: `5<9`,

    `n=k`: `2k+1<3^k`,

    `n=k+1`: `3^(k+1)>3(2k+1)=6k+3>2k+3`, ЧТД.
    4. Следовательно `n<=1`.

    `n=0,1` - находим все `4` пары решений.
    Ответ: `(x,y)=(-2;3), (1;0), (-6;9), (3;0)`.

    Задача 2:
    Триномом степени `p` называется функция вида `f(x)=x^p+ax^q+1`, где `p,q` - натуральные числа, `q< p`,
    и `a` - произвольное вещественное число (быть может равное `0`). Найдите все пары триномов, которые дают в произведении трином степени `15`.

    Решение:
    Схематическое решение, полное решение выложим потом.
    `(x^p+ax^q+1)(x^(p_1)+a_1x^(q_1)+1)=x^15+a_2x^(q_2)+1`,
    для определенности `p>=p_1`.
    1. Очевидно, что `p+p_1=15 => p>=8, p_1<=7`,
    `a_1x^(p+q_1)+x^p+ax^(q+p_1)+aa_1x^(q+q_1)+ax^q+x^(p_1)+a_1x^(q_1)=a_2x^(q_2)`.
    2. Возможны следующие варианты:
    `a_1=0`,
    `p+q_1=q+p_1=q_2, a_1+a=a_2`,
    `p+q_1=q+p_1, a_1=-a`,
    `p+q_1=q_2, a_1=a_2`.
    3. `a_1=0`,
    `x^p+ax^(q+p_1)+ax^q+x^(p_1)=a_2x^(q_2)`
    Достаточно легко получаем пару триномов `(x^10-x^5+1)*(x^5+1)=x^15+1`, других в этом случае нет.
    4. `p+q_1=q+p_1, a_1=-a`,
    Тут легко найти, что триномов нет.
    5. `p+q_1=q+p_1=q_2, a_1+a=a_2`,
    Тоже нет.
    6. `p+q_1=q_2, a_1=a_2`,
    Есть пара триномов `(x^9-x^3+1)(x^6+x^3+1)=x^15+x^12+1`.
    Ответ: `x^9-x^3+1`, `x^6+x^3+1`. `x^10-x^5+1`, `x^5+1`. `1-x^6+x^9, 1+x^3+x^6`.

    Задача 4:
    Вместо крестиков в выражение `x*x+...+x*x` (`50` слагаемых) расставили числа `1,2,...100`, каждое по одному разу. Какое максимальное и минимальное значение может иметь получившееся выражение?

    Решение:
    1. `x< y, z< t` - две пары различных положительных чисел. При этом `x< z`. Эти условия мы можем поставить без ограничения общности.
    Путем перестановок сомножителей максимизируем и минимизируем выражение `f=xy+zt`.
    `f_1=xz+yt, f_2=xt+zy` - все возможные перестановки, остальные дублируются.
    `f-f_1=xy+zt-xz-yt=x(y-z)-t(y-z)=(t-x)(z-y)`,
    `t-x>0 => sign(f-f_1)=sign(z-y)`.
    Если `z>y => f>f_1`, если `y>z => f_1>f`.
    `f-f_2=xy+zt-xt-zy=x(y-t)-z(y-t)=(z-x)(t-y) => sign(f-f_2)=sign(t-y)`.
    Вывод: в последовательно возрастающей четверке различных положительных чисел `x< y < z < t`,
    сумма `f=xy+zt` является максимальной, а сумма `f_2=xt+zy` является минимальной.
    2. `f=x_1x_2+...+x_99*x_100`, где `x_i in {1,...,100}`,
    берем любые пары произведений (всего `50` пар) и максимизируем каждую такую пару,
    увеличивая таким образом `f`. В каждой паре получаем `y_1< y_2< y_3< y_4`.
    Через конечное число шагов получим, что данное условие выполняется для любой пары произведений.
    `f_max=1*2+3*4+...+99*100`, в любом другом `f` найдется пара произведений с неупорядоченными элементами.
    Аналогично `f_min=1*100+2*99+...+50*51`.
    3. Найдем числовые значения `f_min` и `f_max`.
    `f_max=sum_(k=1)^50 2k(2k-1)=sum_(k=1)^50 (4k^2-2k)=4sum_(k=1)^50 k^2 -2sum_(k=1)^50 k=169150`.
    `sum_(i=1)^n i^2 = (n(n+1)(2n+1))/6` - легко вывести разными способами.
    `f_min=85850`.
    Ответ: `169150` и `85850`.

    Задача 5:
    Пусть `x,y,z` - произвольные вещественные числа. Какое наименьшее значение может
    принимать выражение `sqrt(1+x^2)+sqrt(1+(x-y)^2)+sqrt(1+(y-z)^2)+sqrt(1+(3-z)^2)`.
    Обоснуйте свой ответ.

    Решение:
    1. Можно показать многими способами (геометрически, через производную, через нер-ва и т.д.), что
    `f(x)=sqrt(1+x^2)+sqrt(1+(x-a)^2)>=sqrt(a^2+4)`, при всех `a in RR`,
    при этом равенство достигается при `x=a/2`.
    2. `f(x)=sqrt(1+x^2)+sqrt(1+(x-y)^2)+sqrt(1+(y-z)^2)+sqrt(1+(3-z)^2)`,
    `f_min=sqrt(4+y^2)+sqrt(1+(z-y)^2)+sqrt(1+(z-3))^2=sqrt(4+y^2)+g(z)`, при `x=y/2`.
    3. Аналогично п.1, `g_min=sqrt(4+(y-3)^2)` при `z=(y+3)/2`,
    тогда `f_min>=sqrt(4+y^2)+sqrt(4+(y-3)^2)=h(y)`.
    4. Опять же аналогично п.1, `h_min=5` при `y=3/2`.
    Тогда `z=9/4, x=3/4`.
    Очевидно, что наше выражение меньше `5` быть не может, а значение `5` достигается при `(x,y,z)=(3/4,3/2,9/4)`.

    Ответ: `5` при `(x,y,z)=(3/4,3/2,9/4)`.


    Задания получены во время олимпиады, из аудитории:
    image
    image
  • Задача №3 (очный тур олимпиады "Высшая проба" 2012-2013 по математике)
    Улитка, имеющая постоянную скорость `40` см/ч, начала ползти по цилиндрической колонне из точки `А`. Каждые `15` минут она поворачивала поочередно то влево, то вправо на `90^0`, а все остальное время ползла прямо. (Углы и длины измеряются на плоской развертке колонны, см. рисунок.) Через `1` час `45` минут после начала путешествия улитка заметила, что снова оказалась в точке `А`, а через `12,5` часов после начала путешествия захотела вернуться в точку `А` по кратчайшему пути, уже никуда не сворачивая. Какое расстояние ей придется проползти?

    Решение:
    image
    Пусть `v` вектор, соединяющий начальное положение улитки (`A`) на развертке колонны с её положением на развёртке через `15` минут. По условию, длина вектора `v` равна `10` сантиметров. Пусть `u` вектор, соединяющий положение улитки через `15` минут с положением через `30` минут. Он имеет ту же самую длину и перпендикулярен `v`.
    По условию, когда улитка сместится на `4v + 3u`, произойдет целое число оборотов вокруг колонны. Заметим, что вектор `4u - 3v` перпендикулярен `4v + 3u`, потому что их скалярное произведение равно `(4u - 3v)*(4v + 3u) = 12(u*u - v*v) = 12(|u|^2-|v^2|) = 0`. Поэтому прямая, параллельная вектору `4u - 3v` на развертке, является образующей цилиндра. Также заметим, что длина вектора `4u-3v` равна `50` сантиметров, так как его скалярный квадрат равен `(4u - 3v)*(4u - 3v) = 16u*u + 9v*v = 2500`.
    Через `12,5` часов улитка сместится по развертке колонны на вектор `25u + 25v = 7(4v + 3u) + (4u - 3v)`, поэтому окажется на одной образующей цилиндра с точкой `A`, и расстояние по этой образующей от точки `A` будет равно длине вектора `4u - 3v`, то есть `50` сантиметров.

    Ответ: `50` cм.

  • Задача №6 (очный тур олимпиады "Высшая проба" 2012-2013 по математике)
    Даны два высоких цилиндрических стакана радиусов `r` и `R`, `r < R`. Широкий поставили на горизонтальный стол, а узкий всевозможными способами помещают на него так, что он опирается на кромку широкого двумя точками своей кромки и одной точкой боковой поверхности (см. рисунок). Опишите геометрическое место точек пространства, в которых может при этом оказаться верхняя точка кромки узкого стакана, соприкасающейся с широким.

    Решение:
    Докажем, что искомая точка лежит на цилиндре, являющемся продолжением боковой поверхности нижнего стакана. Обозначим общие точки кромок двух стаканов через `S` и `S'`. Заметим, прежде всего, что плоскость `П`, проходящая через середину отрезка `SS'` перпендикулярно ему, содержит оси симметрии каждого из стаканов. Действительно, для каждого из стаканов пересечение `П` с плоскостью окружности-кромки является диаметром этой окружности, то есть содержит ее центр. Кроме того, плоскость `П` перпендикулярна плоскости кромки, поэтому содержит ось симметрии стакана. Заметим, что общая точка боковой поверхности верхнего стакана и кромки нижнего стакана `P` лежит в `П`, иначе бы симметричная ей относительно `П` точка также была общей для верхнего и нижнего стакана, противореча условию. Аналогично, искомая точка Q также лежит в `П`. Обозначим оставшиеся точки пересечения `П` с кромками верхнего и нижнего стакана через `Q'` и `P'` соответственно. Пусть `O` - точка пересечения осей симметрии стаканов. Рассмотрим сферу с центром в точке `O` и радиусом `OS`. На этой сфере лежат окружности кромки каждого из стаканов. Таким образом, все точки `P,P',Q,Q',S,S'` лежат на нашей сфере.
    Обозначим через `K` и `L` проекции точек `P` и `Q`, соответственно, на ось верхнего стакана. Из равенства треугольников `OKP` и `OLQ` получаем, что точка `O` является серединой отрезка `PQ`, то есть `P` и `Q`  диаметрально противоположные точки сферы. Поэтому они равноудалены от оси нижнего стакана, то есть точка `Q` лежит на цилиндре, являющемся продолжением боковой поверхности нижнего стакана. Ясно, что высота точки `Q` над плоскостью кромки нижнего стакана меньше `2r`.
    С другой стороны, для любой точки `Q` на поверхности цилиндра, высота `h` которой над плоскостью кромки нижнего стакана удовлетворяет неравенству `0 < h < 2r`, возьмем на оси нижнего стакана точку `O`, высота которой над плоскостью кромки нижнего стакана равна `h=2`. Тогда сфера радиуса `OQ` с центром в точке `O` содержит кромку нижнего стакана, причем точка `P`, диаметрально противоположная точке `Q`, лежит на этой кромке.
    Проведем плоскость `П` через ось нижнего стакана и точку `Q`, и проведем в плоскости `П` прямую `l` через точку `O` так, чтобы ее расстояние до точки `P` (а, следовательно, и до точки `Q`) равнялось `r`, причем ближайшая к точке `P` точка пересечения `l` со сферой лежала выше кромки. Принимая `l` за ось верхнего стакана, получаем расположение стаканов, удовлетворяющее условиям задачи. Действительно, кромка верхнего стакана, имеющая своей верхней точкой `Q`, пересекает на сфере кромку нижнего стакана в двух точках `S` и `S'` (это следует из того, что высота `Q` над нижней кромкой меньше `2r`). Других же общих точек, кроме `P, S` и `S'`, стаканы не имеют, поскольку нижний стакан расположен вне сферы, а часть верхнего стакана, не возвышающаяся над кромкой нижнего, - внутри.

    Ответ: ГМТ  боковая поверхность цилиндра, у которого ось и радиус
    те же, что и у нижнего стакана, нижнее основание совпадает с кромкой
    нижнего стакана, а верхнее основание `2r` выше нижнего.

Рассылка решений заочных туров олимпиад по математике