Рассылка решений заочных туров олимпиад по математике

Подписывайтесь на нашу рассылку решений заочных туров всех олимпиад по математике: Ломоносов, Покори Воробьевы горы, Высшая проба, Физтех 2018 и другие перечневые олимпиады.

Очный тур олимпиады Высшая проба СИТ (Современные информационные технологии) 2013-3014


  • Сезон олимпиад 2016-2017 открыт!
    Идет запись на наши курсы подготовки к олимпиадам по математике с гарантированным результатом.
    image
    1. Индивидуальные занятия и консультации.
    2. Помощь в прохождении заочных туров олимпиад. Одна олимпиада 1-5 тыс. руб.
    3. Помощь эксперта на очных турах олимпиад. Одна олимпиада от 30 тыс. руб.
    4. Гарантия успешного результата (курсы ведутся пятый сезон).

    Стоимость курсов от 3000 до 25000 руб. в месяц. Стандартный курс - 10000 руб. в месяц. Длительность курсов - 6 месяцев.
    В составе стандартного курса заочные туры 10 олимпиад и очные туры 2 олимпиад.
    Посмотреть тарифные планы и подробную информацию по курсам подготовки.

    Олимпиада Высшая проба 2015-2016 - задания и решения отборочного этапа по математике.Очный тур олимпиады Высшая проба СИТ (Современные информационные технологии) 2013-3014. Задания и решения.

    image
    Задача №1
    В целых числах:
    `x^2-xy-2y^2=13`

    Решение:
    Левая часть раскладывается на множители.
    `x^2+xy-2xy-2y^2=13`
    `x(x+y)-2y(x+y)=13`
    `(x+y)(x-2y)=13`
    По условию `x,y` - целые, поэтому выражения `x+y` и `x-2y` тоже целые.
    Простое число `13` раскладывается на произведение целых чисел четырьмя способами:
    `13=1*13=13*1=(-1)*(-13)=(-13)*(-1)`
    Получаем 4 чистемы уравнений:
    `{(x+y=1),(x-2y=13):} => {(y=-4),(x=5):}`
    `{(x+y=13),(x-2y=1):} => {(y=4),(x=9):}`
    `{(x+y=-1),(x-2y=-13):} => {(y=4),(x=-5):}`
    `{(x+y=-13),(x-2y=-1):} => {(y=-4),(x=-9):}`

    Ответ: `(x,y)=(5;-4),(9;4),(-5;4),(-9;-4)`
  • Задача №3
    `log_(a-2)(x-2) > log_(a-2)(4a-2x)`

    Решение:
    `a=2.5`
    `log_(0.5)(x-2) > log_(0.5) (10-2x)`
    ОДЗ: `{(x-2>0),(10-2x>0):} => x in (2;5)`
    Основание логарифмов меньше `1`, поэтому при потенцировании знак нер-ва поменяется.
    `x-2 < 10-2x`
    `3x< 12`
    `x < 4`
    С учетом ОДЗ получаем, что `x in (2;4)`. Заметим, что в интервал входит ровно одно целочисленное решение `x=3`.

    Теперь найдем все такие `a`, при которых будет ровно одно целочисленное решение.
    `a>2, a!=3`, иначе нер-во вообще не будет иметь решений.

    Первый случай: пусть `a in (2;3) => a-2 in (0;1)`
    ОДЗ: `{(x-2>0),(2x<4a):} => {(x>2),(x<2a):}`
    `a>2 => 2a>4`, значит точка `2a` находится правее точки `2 => x in (2;2a)` - ОДЗ
    Основание логарифмов меньше `1`, поэтому при потенцировании знак нер-ва поменяется.
    `x-2 < 4a-2x`
    `3x < 4a+2`
    `x < 4/3a+2/3`
    При этом `4/3a+2/3 > 8/3+2/3=10/3 >2` и `4/3a+2/3 < 4/3a+2/3a=2a` т.к. `a in (2;3)`
    Значит точка `4/3a+2/3` лежит внутри интервала `(2;2a)`.
    Решение нер-ва будет интервал `x in (2;4/3a+2/3)`
    Чтобы в этот интервал попала ровно одна целочисленная точка (это будет точка `3`, другой быть не может),
    необходимо и достаточно, чтобы выполнялось нер-во
    `4/3a+2/3 > 3`
    `4a+2>9`
    `4a>7`
    `a>7/4`

    А также должно выполняться нер-во `4/3a+2/3<=4`
    `4a+2<=12`
    `a<=2 1/2`
    Значит, подходят значения `a in (2;2 1/2]`.

    Второй случай:
    Пусть `a >3 => a-2>1`.
    ОДЗ остается прежним `x in (2;2a)`, при этом понятно, что `2a>2`
    Но основание уже больше `1`, поэтому знак нер-во при потенцировании не поменяется:
    `x-2 > 4a-2x`
    `x > 4/3a+2/3`
    `a>3 => 4/3a+2/3>4+2/3>2 и 4/3a+2/3 < 4/3a+2/3a=2a`
    Значит решением неравенства с учетом ОДЗ будет интервал `x in (4/3a+2/3;2a)`
    Пусть `a in (3;3 1/3) => 2a in (6; 6 2/3), (4/3a+2/3) in (4 2/3; 5)`
    Значит в наш интервал войдут две целые точки `x=5;6` - не годится.
    Если `a = 3 1/3 => x in (5; 6 2/3)` - только одна целая точка `x=6` - годится.
    Пусть `a in (3 1/3; 3 1/2) => 2a in (6 2/3;7), 4/3a+2/3 in (5; 5 1/3)`.
    Значит в наш интервал войдет только одна целая точка `x=6` - годится.
    Пусть `a=3 1/2 => x in (5 1/3; 7)` - тоже годится.
    Пусть `a in (3 1/2; 4) => 2a in (7;8), 4/3a+2/3 in (5 1/3; 6)`
    Значит в наш интервал войдут две целые точки `x=6;7` - не годится.
    Пусть `a=4 => x in (6;8)` - только одна целая точка `x=7` - годится.
    Пусть `a>4`, тогда длина нашего интервала больше `2` т.к. `2a-4/3a-2/3=2/3a-2/3=2/3(a-1)>2/3*3=2`
    А если длина интервала строго больше `2`, то на этом интервале будут находиться минимум две целые точки
    Чтобы осталась только одна целая точка, необходимо, чтобы другая точка лежала на одной из границ интервала.
    `2a=9 => a=4 1/2 => x in (6 2/3;9)` - две целые точки.
    `4/3a+2/3=7 => a= 4 3/4 => x in (7;9 1/2)` - две целые точки.
    Если одна из границ интервала будет целой точкой, тогда поскольку длина интервала больше `2`, то будут еще минимум `2` целые точки.
    Кроме того случая, что вторая граница интервала тоже целая точка.
    `2a=10 => a=5 => x in (7 1/3; 10)` - две целые точки
    `4/3a+2/3=8 => a=5 1/2 => x in (8;11)` - две целые точки, несмотря на то, что обе границы целые.
    Очевидно, что дальше всегда будет больше `1` целого решения.

    Ответ: `a in (2;2 1/2]uu[3 1/3; 3 1/2]uu{4}`.
    При `a=2.5` нашли решение `x in (2;4)`.
  • Задача №2

    Сначала рисуем рисунок, он прикреплен.
    image
    Из него следует:
    `S_(ABCD) = S_(ACB)+S_(CDA)`

    `S_(ACB)` - находится просто по формуле площади треугольника:
    `AC=sqrt(9+9)=3sqrt2, BC=4, /_ACB=45^@` поскольку прямая `AC` это прямая `y=x`.
    `S_(ACB)=1/2*3sqrt2*4*sin45^@=6`

    `S_(CDA)` - принимает максимальное значение,  если `DH` - принимает максимальное значение, поскольку при движении точки `D` по параболе, основание треугольника остается незименным, меняется только высота.

    Используем формулу расстояния от точки `D(b, -b^2+4*b)` до прямой `y-x=0` (прямая `AC`):
    расстояние `DH= |b+b^2-4*b|/(sqrt 2)= |b(b-3)|/(sqrt2)=(3b-b^2)/sqrt2` т.к. `b in (0;3)`
    `3b-b^2=9/4-(3/2-b)^2 <= 9/4 => b_max=3/2` (входит в интервал `(0;3)`) - значение `b`, при котором `DH` принимает максимальное значение.
    `DH=9/(4sqrt2)`
    `CA=3sqrt2`
    Находим площадь `S_(CDA) = 1/2*3sqrt2*9/(4sqrt2)=27/8=3.375`
    `S_(ABCD)=6+3.375=9.375`.

    _____________________
    Добавление:
    `DH` можно еще найти так:
    Прямая `DH` перпендикулярна прямой `y=x`, значит, уравнение этой прямой `y=-x+c`.
    Эта прямая проходит через точку `(b;-b^2+4b)`, поэтому
    `-b^2+4b=-b+c => c=5b-b^2 => y=-x+5b-b^2`
    Точка `H` лежит на пересечении прямых `y=x, y=-x+5b-b^2`. Найдем ее координаты:
    `x=-x+5b-b^2 => x=1/2(5b-b^2) => y=1/2(5b-b^2)`
    Теперь посчитаем DH по формуле расстояния между точками:
    `DH=sqrt((x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2)=sqrt((3/2b-1/2b^2)^2+(3/2b-1/2b^2)^2)=|3b-b^2|/(sqrt2)`
    __________________

    Ответ: `9.375`.

Рассылка решений заочных туров олимпиад по математике