Рассылка решений заочных туров олимпиад по математике

Подписывайтесь на нашу рассылку решений заочных туров всех олимпиад по математике: Ломоносов, Покори Воробьевы горы, Высшая проба, Физтех 2018 и другие перечневые олимпиады.

Очный тур олимпиады школьников СПбГУ 2013-2014 по математике / Задания и решения


  • Сезон олимпиад 2016-2017 открыт!
    Идет запись на наши курсы подготовки к олимпиадам по математике с гарантированным результатом.
    image
    1. Индивидуальные занятия и консультации.
    2. Помощь в прохождении заочных туров олимпиад. Одна олимпиада 1-5 тыс. руб.
    3. Помощь эксперта на очных турах олимпиад. Одна олимпиада от 30 тыс. руб.
    4. Гарантия успешного результата (курсы ведутся пятый сезон).

    Стоимость курсов от 3000 до 25000 руб. в месяц. Стандартный курс - 10000 руб. в месяц. Длительность курсов - 6 месяцев.
    В составе стандартного курса заочные туры 10 олимпиад и очные туры 2 олимпиад.
    Посмотреть тарифные планы и подробную информацию по курсам подготовки.

    Олимпиада СПбГУ 2015-2016 - задания и решения отборочного этапа по математике.
    Очный тур олимпиады школьников СПбГУ 2013-2014 по математике. Задания и решения некоторых вариантов.
    image
    image
    image
    image
    image
    image
  • Вариант от 20 марта, задача №1.
    Найдите все семизначные квадраты натуральных чисел, содержащие в десятичной записи только цифры `4` и `0`.

    Решение:
    Первая цифра не может начинаться с `0` (иначе число не семизначное), поэтому первая цифра равна `4`.
    `x^2=bar(4abcdef)`.
    Значит `x^2 in [4000000;4444444] => x in [2000;2108]`.
    Последняя цифра `x` может быть только `0` или `2` или `8`, чтобы последняя цифра `x^2` была равна `0` или `4`.
    Проверим `x=2100, 2102, 2108`:
    `2100^2=4410000, 2102=4410484, 2108^2=4443664` - не подходят.
    Итак, `x in [2001;2099]` (число `x=2000` подходит).
    Пусть `x` оканчивается на `0`:
    `x=2000+10k, k in [1;9] => x^2=4000000+40000k+100k^2=`
    `=100(40000+400k+k^2)=100y`
    `y` должен состоять из `4` и `0`, значит выражение `400k+k^2` должно состоять из `0` и `4`.
    За последнюю цифру отвечает `k^2`, значит `k=2` или `8`.
    `k=2`: `804` - не годится.
    `k=8`: `3264` - не годится.
    Пусть `x` оканчивается на `2`:
    `x=2000+10k+2=2002+10k, k in [0;9] =>`
    `=>x^2=4008004+40040k+100k^2`
    `x^2-4=10(400800+4004k+10k^2)` - число внутри скобок должно состоять из `0` и `4`.
    За последнюю цифру этого числа отвечает `4004k`, поэтому `k=0;1;6`
    `k=0`: `x^2=4008004` - не годится.
    `k=1`: `x^2=4048144` - не годится
    `k=6`: `x^2=4251844` - не годится
    Пусть `x` оканчивается на `8`:
    `x=2008+10k, k in [0;9] => x^2=4032064+40160k+100k^2=`
    `=100(40320+401k+k^2)+60+60k+4`
    Предпоследняя цифра зависит от `60+60k=10(6k+6)`.
    `6*(k+1)` должен оканчиваться на `0` или на `4 => k=3;4;8;9`
    `k=3`: `x^2=4153444` - не годится.
    `k=4`: `x^2=4194304` - не годится.
    `k=8`: `x^2=4359744` - не годится.
    `k=9`: `x^2=4401604` - не годится.

    Ответ: `2000`.

    Вариант от 20 марта, задача №3.
    Найдите минимальное значение при положительных `a,b,c` выражения
    `f(a,b,c)=root(3)(9a+27/b)+root(3)(3b+81/c)+root(3)(c+9/a)`.

    Решение:
    Для положительных `x,y` нер-во о среднем арифметическом и среднем геометрическом:
    `x+y>=2sqrt(xy)`, при этом равенство возможно только при `x=y`.
    Для положительных `x,y,z`:
    `x+y+z>=3root(3)(xyz)`, при этом равенство возможно только при `x=y=z`.
    Док-во последнего нер-ва (заменим `x,y,z` на `m^3, n^3, k^3`)
    `m^3+n^3+k^3-3mnk=(m+n+k)(m^2+n^2+k^2-mn-nk-mk)=`
    `=1/2(m+n+k)((m-n)^2+(n-k)^2+(k-m)^2)>=0`

    Тогда `f(a,b,c)>=2^(1/3)*3^(5/6)*(a/b)^(1/6)+2^(1/3)*3^(5/6)*(b/c)^(1/6)+2^(1/3)*3^(2/6)*(c/a)^(1/6)=g(a,b,c)`
    По второму нер-ву: `g(a,b,c)>=3root(3)(2*3^2*1)=3root(3)(18)`
    Проверим возможность равенства:
    `1` условие: `9a=27/b, 3b=81/c, c=9/a`
    `ab=3, bc=27, ca=9 => abc=27 => a=1, b=3, c=9`.
    `2` условие: `9a+27/b=3b+81/c=c+9/a=18`.
    Оба условия выполнены.

    Ответ: `f_min=3root(3)(18)`.

    Вариант от 20 марта, задача №2
    В однокруговом турнире участвовало `14` шахматистов. Первые `3` набрали столько же очков, сколько последние `9`.
    Максимальное кол-во партий, которые закончились вничью?

    Решение:
    Всего игр сыграли `(14*13)/2=91`, поэтому всего разыграли `91` очко.
    Последние `9` человек только в играх между собой набрали суммарно `(9*8)/2=36` очков, вне зависимости от исхода игр.
    Значит они минимально могли набрать `36` очков, при условии, что проиграли всем остальным.
    Первые трое в играх между собой набрали `(3*2)/2=3` очка, а максимально могли набрать `3*11+3=36` очков (при условии, что выиграли у всех остальных).
    Поскольку первые трое набрали столько же очков, сколько последние `9`, тогда обе группы набрали по `36` очков, при этом первая группа выиграла у всех, вторая проиграла всем.
    Значит те, кто на `4-5` местах - выиграли у `9` и проиграли троим.
    Чтобы максимизировать кол-во ничьих, надо максимизировать кол-во ничьих внутри каждой группы. Между группами исходы игр уже понятны.
    Внутри первой группы было `3` игры, внутри второй группы `36` игр, внутри третьей группы - `1` игра.
    Значит максимум ничьих всего `= 3+36+1=40`.
    Тогда первые трое набрали по `12` очков, последние `9` - по `4` очка, `4-5` места по `9.5` очков.
    Понятно, что больше ничьих никак не может быть.

    Ответ: `40`.

    Вариант от 20 марта, задача №4
    В левом верхнем углу доски `75*75` стоит фишка. За ход можно подвинуть ее на `3` по вертикали и `1` по горизонтали или наоборот.
    Минимальное кол-во ходов, чтобы добраться по правой нижней клетки?

    Решение:
    Пусть фишка находится на клетке `(1;1)`, надо попасть на клетку `(75;75)` (горизонталь-вертикаль).
    Суммарно надо преодолеть `74+74=148` клеток. За один ход можно преодолеть максимум `3+1=4` клетки.
    Поэтому фишка должна сделать минимум `148/4=37` ходов.
    Пусть возможно за `37` ходов. Значит за каждый ход фишка двигалась на `3` вниз и `1` вправо (ход А), либо на `3` вправо и `1` вниз (ход Б), других ходов не могло быть.
    Пусть кол-во первых ходов равно `x`, кол-во вторых ходов равно `y`.
    Тогда `3x+y=74`
    `3y+x=74`
    `x+y=37`
    `2x=37` - решений нет.
    Значит ходов было не менее `38`.
    Фишка делает по `17` ходов А и `18` ходов Б и оказывается на клетке `(70;72)`.
    Далее фишка ходит на клетку `(69;75) -> (72;74) -> (75;75)`. Всего `38` ходов.

    Ответ: `38`.
  • Вариант от хх марта, задача №3
    Найдите наименьшее значение выражения
    `(sqrt(x^2+3)-x+y)^2+(sqrt(y^2+3)-y+x)^2`

    Решение:
    Пусть `sqrt(x^2+3)-x+y=a, sqrt(y^2+3)-y+x=b`
    Тогда `a+b=sqrt(x^2+3)+sqrt(y^2+3)>=sqrt3+sqrt3=2sqrt3`
    При этом равенство возможно только при `x=y=0`.

    С другой стороны,
    `a^2+b^2>=1/2(a+b)^2` при всех `a,b`
    Докажем это:
    `a^2+b^2-1/2(a+b)^2=1/2a^2+1/2b^2-ab=1/2(a-b)^2>=0`
    При этом равенство возможно только при `a=b`.

    Поэтому `a^2+b^2>=1/2(a+b)^2>=1/2(2sqrt3)^2=6`
    Нашли минимальное значение выражения `(sqrt(x^2+3)-x+y)^2+(sqrt(y^2+3)-y+x)^2`
    Минимум равен `6`, достигается при `x=y=0` и при `a=b=sqrt3`.

    Ответ: `6`.

    Вариант от хх марта, задача№1.
    Квадрат `x` - шестизначный палиндром. Может ли `x` быть палиндромом?

    Решение:
    `x^2=bar(abccba)`
    `x^2=a*10^5+b*10^4+c*10^3+c*10^2+b*10+a=a(10^5+1)+b*(10^4+10)+c*(10^3+10^2)`
    `x^2` принадлежит интервалу `[100000;999999]`, значит `x` принадлежит интервалу `[317;999]`.
    Итак, `x` - трехзначное число, где первая цифра не меньше `3`.
    Пусть `x` тоже палнидром, значит `x=bar(ded)`, где `d>=3`.
    `d=3`: `x=bar(3e3), x in [303;393]`.
    Последняя цифра `x^2` равна `9`, но первая равна `1` (т.к. `e>=2`) - не годится.
    `d=4`: `x=bar(4e4)`, `x in [404;494]`.
    Последняя цифра `x^2` равна `6`, первая цифра равна `1` или `2` - не годится.
    `d=5`: `x=bar(5e5), x in [505;595]`.
    Последняя цифра `x^2` равна `5`, первая цифра равна `2` или `3` - не годится.
    `d=6`: `x=bar(6e6), x in [606;696]`.
    Последняя цифра `x^2` равна `6`, первая цифра равна `3` или `4` - не годится.
    `d=7`: `x=bar(7e7), x in [707;797]`.
    Последняя цифра `x^2` равна `9`, первая цифра равна `4` или `5` или `6` - не годится.
    `d=8`: `x=bar(8e8), x in [808;898]`.
    Последняя цифра `x^2` равна `4`, первая цифра равна `6` или `7` или `8` - не годится.
    `d=9`: `x=bar(9e9), x in [909;999]`.
    Последняя цифра `x^2` равна `1`, первая цифра равна `8` или `9` - не годится.

    Нету такого палиндрома `x`, чтобы его квадрат был шестизначным палиндромом.

    Ответ: нет.

    Вариант от хх марта, задача №2
    Всего `n` шахматистов, играют в `1` круг. Необходимо занять место не ниже `m`-го.
    Минимальное кол-во очков?

    Решение:
    Каждый сыграет `n-1` игр, поэтому всего игр `n(n-1)`, но каждая игра подсчитана `2` раза (игроков двое), поэтому делим на `2`.
    Всего игр `(n(n-1))/2`, столько же и очков, поскольку каждая игра приносит ровно `1` очко, вне зависимости от исхода.
    Максимальное кол-во очков, которое может заработать игрок - `n-1`.
    Пусть `m=1`, тогда гарантированное число очков для выхода в основной турнир - `n-1`.
    Выходит
    только `1`, и даже если этот один у всех выиграл, и с одним сыграл
    вничью, тогда другой тоже может выиграть у всех остальных
    и выйти на первое место по рейтингу.
    Пусть `m=2`. Покажем, что `n-2` очков может не хватить.
    Три
    участника могли сыграть между собой вничью, а у всех остальных
    выиграть, тогда у троих `n-2` очков и один из них окажется на третьим места
    по рейтингу.
    При этом `n-3/2` очков хватит, т.к. из этого следует, что
    участник выиграл у всех и с одним сыграл вничью, т.е. окажется минимум
    на `2` месте.
    Пусть `m=3`: `n-5/2` может не хватить, т.к. первые трое могут взять по `n-2` очка.  
    Пусть `m+1` участников выиграли у всех остальных (`n-m-1`) и между собой сыграли вничью.
    Значит у каждого по `n-m-1+0.5m=n-0.5m-1` очков.
    Значит `n-0.5m-1` очков не гарантирует `m`-место (участник может оказаться на `m+1` месте по рейтингу).
    Докажем от противного, что `n-0.5m-0.5` гарантирует `m`-место.
    При `m=1;2` уже доказали.
    Пусть участник набрал `n-0.5m-0.5` очков и оказался на `m+1` месте.
    Значит первые `m` набрали не меньше `n-0.5m-0.5` очков каждый.
    Всего они набрали не менее `m*(n-0.5m-0.5)` очков суммарно.
    С другой стороны посчитаем их максимум очков:
    В играх между собой они набрали `m(m-1)/2=0.5m^2-0.5m` очков, вне зависимости от исходов.
    В играх с другими участниками (других `n-m`) они могли набрать максимум `m*(n-m)=mn-m^2` очков.
    Т.е. максимум очков это `mn-m^2+0.5m^2-0.5m=mn-0.5m^2-0.5m`
    Максимум совпал с минимумом, значит первые `m` выиграли у всех остальных, а также каждый из них набрал `n-0.5m-0.5` очков.
    Значит между собой они сыграли вничью, чтобы было одинаковое число очков.
    `m+1`-ый участник проиграл всем первым `m`, при этом набрал тоже `n-0.5m-0.5` очков.
    Остальных участников `n-m-1`, поэтому он всего мог набрать очков `n-m-1 < n-0.5m-0.5` - противоречие.

    Ответ: `n-0.5m-0.5`.

    Вариант от хх марта, задача №5
    Диагонали выпуклого четырехугольника `ABCD` пересекаются в точке `O`. Известно, что `AB=BC=CD`, `AO=DO` и `AC!=BD`. Чему равно выражение `/_BAD+/_ADC`?

    1) Пусть `angle(BAC)=x, angle(CDB)=y`. Тогда `angle(COD)=(x+y)`.
    2) Тогда т.к. `angle(CAD)` есть сумма `angle(CAD)+angle(BDA)`, и `angle(CAD)=angle(BDA)` то
    `angle(CAD)=angle(BDA)=(x+y)/2`.
    3) `angle(ABD)=180-2x-y, angle(ACD)=180-2y-x`.
    4) Пусть `AB=CD=a, AO=OD=b`
    Тогда по т. синусов:
    `a/sin(x+y)=b/sin(2x+y)` и `a/sin(x+y)=b/sin(2y+x)`
    Откуда: `sin(2x+y)=sin(2y+x)`.
    `sin(2x+2y-y)=sin(2y+2x-x)`
    (Заменим `t=2x+2y`)
    `sin(t)cosy-siny*cost=sint*cosx-cost*sinx <=>`
    `<=> sint(cosy-cosx)=cost(sinx-siny)=0 <=>`
    `sint*sin((x-y)/2)*sin((x+y)/2)+cost*sin((x-y)/2)*cos((x+y)/2)=0 <=>`
    (`sin((x-y)/2) != 0` т.к. иначе `AC=BD!`)
    `sint*sin((x+y)/2)+cost*cos((x+y)/2)=0 <=>`
    `cos(t-((x+y)/2))-cos(t+(x+y)/2)+cos(t+(x+y)/2)+cos(t-(x+y)/2)=0 <=>`
    `cos(t-(x+y)/2)=0`
    `cos(3/2(x+y))=0`
    `3/2(x+y)=pi/2+pi*k`
    `2(x+y)=2pi/3+4pi*k/3`
    Но `x+y<pi` т.к. `x+y` - угол треугольника `BAO`, `=>`
    `2(x+y)=(2pi)/3`.

    Ответ: `120^@`.
  • Вариант от 21 марта, задача №1.
    Найдите все семизначные квадраты натуральных чисел, содержащие в десятичной записи только цифры `1` и `0`.

    Решение:
    Первая цифра не может начинаться с `0` (иначе число не семизначное), поэтому первая цифра равна `1`.
    `x^2=bar(1abcdef)`.
    Значит `x^2 in [1000000;1111111] => x in [1000;1054]`.
    Последняя цифра `x` может быть только `0` или `1` или `9`, чтобы последняя цифра `x^2` была равна `0` или `1`.
    Итак, `x in [1001;1054]` (число `x=1000` подходит).
    Остальные числа, которые могут подходить:
    `x^2=1001^2=1002001` - не подходит.
    `x^2=1009^2=1018081` - не подходит.
    `x^2=1010^2=1020100` - не подходит.
    Если `x in [1010;1041] => x^2 in [1020100;1083681]`, т.е. третья цифра от `2` до `8` - не подходит.
    `x^2=1049^2=1100401` - не подходит.
    `x^2=1050^2=1102500` - не подходит.
    `x^2=1051^2=1104601` - не подходит.

    Ответ: `1000`.

    Вариант от 21 марта, задача №3.
    Найдите минимальное значение при положительных `a,b,c` выражения
    `f(a,b,c)=sqrt(6a+3/b)+sqrt(12b+2/c)+sqrt(18c+6/a)`.

    Решение:
    Для положительных `x,y` нер-во о среднем арифметическом и среднем геометрическом:
    `x+y>=2sqrt(xy)`, при этом равенство возможно только при `x=y`.
    Для положительных `x,y,z`:
    `x+y+z>=3root(3)(xyz)`, при этом равенство возможно только при `x=y=z`.
    Док-во последнего нер-ва (заменим `x,y,z` на `m^3, n^3, k^3`)
    `m^3+n^3+k^3-3mnk=(m+n+k)(m^2+n^2+k^2-mn-nk-mk)=`
    `=1/2(m+n+k)((m-n)^2+(n-k)^2+(k-m)^2)>=0`

    Тогда `f(a,b,c)>=2^(3/4)*3^(1/2)*(a/b)^(1/4)+2^(5/4)*3^(1/4)*(b/c)^(1/4)+2*3^(3/4)*(c/a)^(1/4)=g(a,b,c)`
    По второму нер-ву: `g(a,b,c)>=3root(3)(2^3*3^(3/2)*1)=3sqrt12`
    Проверим возможность равенства:
    `1` условие: `6a=3/b, 12b=2/c, 18c=6/a`
    `ab=1/2, bc=1/6, ca=1/3 => abc=1/6 => a=1, b=1/2, c=1/3`.
    `2` условие: `6a+3/b=12b+2/c=18c+6/a=12`.
    Оба условия выполнены.

    Ответ: `f_min=3sqrt12`.

    Вариант от 21 марта, задача №2
    В однокруговом турнире участвовало `16` шахматистов. "Успешно" выступил, если набрал больше `80%` от максимального числа очков.
    Максимальное кол-во успешных?

    Решение:
    Максимальное кол-во очков, которое можно набрать в `1` круг `= 15`.
    `80%` от `15 = 12` очков. Значит "успешный" набрал `12.5` очков или больше.
    Предположим, что есть 6 успешных шахматистов. Значит они набрали минимум `6*12,5=75` очков.
    Остальные `10` шахматистов в играх только между собой набрали `(10*9)/2=45` очков (каждая игра дает `1` очко, вне зависимости от исхода). Всего очков минимум `75+45=120`.
    С другой стороны `16` шахматистов сыграли (`16*15)/2=120` очков, значит набрали `120` очков суммарно.
    Минимум совпал с общим кол-ом очков, значит `6` шахматистов набрали ровно по `12,5` очков, а остальные `10` по `4,5` очка (проиграли всем первым `6`).
    Такая ситуация возможна, если первые `6` сыграли между собой вничью.
    Понятно, что больше `6` успешных шахматистов быть не может, т.к. получаем очевидное противоречие.

    Ответ:
    `6`.

    Вариант от 21 марта, задача №4
    В левом нижнем углу доски `80*80` стоит реальный шахматный конь.
    Минимальное кол-во ходов, чтобы добраться до правой верхней клетки?

    Решение:
    Пусть фишка находится на клетке `(1;1)`, надо попасть на клетку `(80;80)` (горизонталь-вертикаль).
    Суммарно надо преодолеть `79+79=158` клеток. За один ход можно преодолеть максимум `2+1=3` клетки.
    Поэтому конь должен сделать минимум `158/3=52 2/3` (`53` - округлили до большего целого числа) ходов. За `52` хода конь преодолеет максимум `156` клеток.
    За `53` хода это возможно, ниже построена последовательность ходов.
    `(1;1) -> (73;73) -> (72;75) -> (74;76) -> (76;78) -> (78;79) -> (80;80)`.
    Первые `48` ходов конь равномерно шагает в верхний правый угол, делает `24` хода (на две клетки верх и одну вправо) и `24` хода (на одну верх и `2` вправо), далее делает еще `5` ходов.

    Ответ: `53`.

Рассылка решений заочных туров олимпиад по математике