Рассылка решений заочных туров олимпиад по математике

Подписывайтесь на нашу рассылку решений заочных туров всех олимпиад по математике: Ломоносов, Покори Воробьевы горы, Высшая проба, Физтех 2017 и другие перечневые олимпиады.

Задания и решения всех вариантов очного тура олимпиады "Росатом" МИФИ по физике 2013


  • Сезон олимпиад 2016-2017 открыт!
    Идет запись на наши курсы подготовки к олимпиадам по математике с гарантированным результатом.
    image
    1. Индивидуальные занятия и консультации.
    2. Помощь в прохождении заочных туров олимпиад. Одна олимпиада 1-5 тыс. руб.
    3. Помощь эксперта на очных турах олимпиад. Одна олимпиада от 30 тыс. руб.
    4. Гарантия успешного результата (курсы ведутся пятый сезон).

    Стоимость курсов от 3000 до 25000 руб. в месяц. Стандартный курс - 10000 руб. в месяц. Длительность курсов - 6 месяцев.
    В составе стандартного курса заочные туры 10 олимпиад и очные туры 2 олимпиад.
    Посмотреть тарифные планы и подробную информацию по курсам подготовки.

    Олимпиада Росатом 2015-2016 - задания и решения отборочного этапа по математике.
    Всего 4 варианта.
    5 задач.
    Длительность 3 часа.

    Балльная система оценок.
    Максимум 10 баллов.

    Вариант 4.
    Задача №1
    Цилиндрический сосуд с идеальным газом разделен подвижным поршнем на две части. Газ в левом отделении нагревают до температуры `T_1`, а в правом до температуры `T_2`. При этом соотношение объемов оказывается равным `(V_1)/(V_2) = 5/4`. После того как температуры выравнялись, соотношение объемов изменилось: `(V'_1)/(V'_2) = 4/5`. Определите отношение температур `(T_1)/(T_2)`.

    Ответ: `25/9`.

    Задача №2
    Три одинаковых точечных заряда расположены в вершинах равностороннего
    треугольника со стороной `a`. Потенциал электрического поля в точке
    находящейся посередине между двумя зарядами, равен `phi`. Найти
    напряженность электрического поля в этой точке.

    Ответ: `(4phi)/(asqrt3(4sqrt3+2))`.

    Задача №3
    Скорость лодки относительно земли против течения реки равна `v`, скорость лодки по течению равна `9v`. Ширина реки равна `L`. Определить минимальное время за которое лодка переплывет реку.

    Задача №4
    (Л. Эйлер, статья "Об ударе пуль при стрельбе по доске", 1771). В центр
    квадратной свободно висящей доски попадает пуля. Пуля пробивает доску
    насквозь, если ее скорость до удара больше `v_0`. С какой скоростью будет
    двигаться доска, если скорость пули до удара `5v_0`. Масса пули `m`, доски `M`,
    силу сопротивления считать независящей от скорости.

    Решение:
    1. `v>v_0`.
    `mv=mv_1+MV, (mv^2)/2=(mv_1^2)/2+(MV^2)/2+Q`,
    где `v_1` - скорость пули при выходе из доски, `V` - скорость доски, `Q` - выделившшеся тепло.
    `Q=A=F_cd`, `d` - толщина доски.
    2. `v_0` - начальная скорость пули, `u` - скорость после пробития доски.
    `mv_0=(m+M)u`,
    `(mv_0^2)/2=((m+M)u^2)/2+Q`,
    `Q=(mMv_0^2)/(2(m+M))`.
    3. Из п.1 и 2:
    `V^2-2(mv)/(m+M)V+(2mQ)/(M(m+M))=0`,
    два корня, один выкидываем, остается `V=m/(m+M)(v-sqrt(v^2-v_0^2))`.
    Почему оставили меньший корень - понять легко.
    Подставляем `v=5v_0`:
    `V=m/(m+M)(5-2sqrt6)v_0`.

    Ответ: `m/(m+M)*(5-2sqrt6)*v_0`.

    Задача №5
    На наклонной плоскости, составляющей угол `alpha` с горизонтом,
    `Delta alpha` лежит стопка из `13` одинаковых по форме клиньев с малым углом
    при вершине `Deltaalpha` (см. рисунок: клинья нарисованы не все. По
    поверхности верхнего клина скользит тело массой `M`. Найти силу, действующую
    на наклонную плоскость со стороны стопки клиньев, если известно, что все они
    покоятся, а трение между всеми поверхностями отсутствует.

    Ответ: `(mgsin(alpha+13Deltaalpha)cos(alpha+13Deltaalpha))/sinalpha`.

Рассылка решений заочных туров олимпиад по математике