Рассылка решений заочных туров олимпиад по математике

Подписывайтесь на нашу рассылку решений заочных туров всех олимпиад по математике: Ломоносов, Покори Воробьевы горы, Высшая проба, Физтех 2017 и другие перечневые олимпиады.

Задания и решения очного тура олимпиады МГУ "Покори Воробьевы Горы" по математике (Брянск)


  • Сезон олимпиад 2016-2017 открыт!
    Идет запись на наши курсы подготовки к олимпиадам по математике с гарантированным результатом.
    image
    1. Индивидуальные занятия и консультации.
    2. Помощь в прохождении заочных туров олимпиад. Одна олимпиада 1-5 тыс. руб.
    3. Помощь эксперта на очных турах олимпиад. Одна олимпиада от 30 тыс. руб.
    4. Гарантия успешного результата (курсы ведутся пятый сезон).

    Стоимость курсов от 3000 до 25000 руб. в месяц. Стандартный курс - 10000 руб. в месяц. Длительность курсов - 6 месяцев.
    В составе стандартного курса заочные туры 10 олимпиад и очные туры 2 олимпиад.
    Посмотреть тарифные планы и подробную информацию по курсам подготовки.

    Олимпиада Покори Воробьевы горы 2015-2016 - задания и решения отборочного этапа по математике.
    Внимание: задания и решения отборочного этапа олимпиады Покори Воробьевы горы 2014-2015 выложены в другой теме - Перейти по ссылке!

    <Олимпиада «Покори Воробьевы Горы» 2012-2013 - задания и решения заочного тура.
    Олимпиада «Покори Воробьевы Горы» 2011-2012 - задания и решения заочного тура.
    Олимпиада «Покори Воробьевы Горы» 2010-2011 - задания и решения заочного тура.
    Олимпиада «Покори Воробьевы Горы» 2009-2010 - задания и решения заочного тура.
    Олимпиада школьников «Покори Воробьевы Горы» 2012-2013 - решения очного тура в Москве.
    Олимпиада школьников «Покори Воробьевы Горы» 2012-2013 - решения очного тура в Брянске.
    Олимпиада школьников «Покори Воробьевы Горы» 2011-2012 - решения очного тура по математике по всем городам (9 вариантов).
    Олимпиада «Покори Воробьевы Горы» 2013-2014 - задания и решения заочного тура
    Было 2 варианта, однотипных.
    3 часа
    5 задач

    Задача №1
    Выясните, какое из чисел больше
    `(lg2011)/(2lg2)` или `2lg(2011/2)`.

    Решение:
    1. `(lg2011)/(2lg2)-5,5=(lg2011-11lg2)/(2lg2)=(lg2011-lg2048)/(2lg2)<0`.

    2. `2lg(2011/2)>2lg(2000/2)=2lg(10^3)=6>5,5>(lg2011)/(2lg2)`.
    Ответ: второе число больше.

    Задача №2
    Найдите все пары натуральных чисел `x,y`, удовлетворяющие уравнению
    `6x^2y+2x^2+3xy+x-9y=2016`.

    Решение:
    1. `2x^2+x=z, z in NN => 3yz+z-9y=2016 iff (3y+1)(z-3)=2013`.
    `3y+1>0 => z-3>0 => z-3 in NN`.
    2. `2013=3*11*61`, но `3y+1-=1` `mod3` `=> 3y+1!=3, 3*11, 3*61, 3*11*61, 11, 11*61`,
    также `3y+1>1` т.к. `y in NN`,
    значит `3y+1=61 iff y=20 => z=36`.
    `2x^2+x=36 => x=4`.
    Ответ: `(x,y)=(4;20)`.

    Задача №3
    Высоты остроугольного треугольника `ABC` пересекаются в точке `O`. Найдите угол `ACB`, если `AB:OC=3`.

    Решение:
    1. `AD, BE, CF` - высоты.
    2. `DeltaABD`: `AD=AB*sin/_ABC`.
    3. `DeltaDCO`: `DC=OC*sin/_DOC`.
    4. `DeltaDCO, DeltaBCF`: `/_DOC=90^0-/_DCO=/_ABC`.
    5. Из 2: `AD=AB*sin/_ABC=3OC*sin/_DOC=3DC`.
    6. Прямоугольный `DeltaACD`: `AD=3DC`,
    `DC=a, AD=3a => CA=asqrt10 => sin/_ACD=(3a)/(asqrt10)=3/(sqrt10)`,
    `/_ACD=arcsin(3/(sqrt10))`.
    Ответ: `arcsin(3/sqrt10)`.

    Задача №4
    Определите, сколько корней на промежутке `[-pi;pi]` имеет уравнение
    `(2cos4x+1)/(2cosx-sqrt3)=(2sin4x-sqrt3)/(2sinx-1)`,
    и укажите эти корни.

    Решение:
    1. `sinx!=1/2, cosx!=sqrt3/2`.
    2. `4sinxcos4x-2cos4x+2sinx-1=4sin4xcosx-2sqrt3cosx-2sqrt3sin4x+3`,
    `4(sin4xcosx-sinxcos4x)-2sqrt3cosx-2sinx-2sqrt3sin4x+2cos4x+4=0`,
    `sin3x-(sin(pi/3)cosx+cos(pi/3)sinx)+(cos(pi/3)cos4x-sin(pi/3)sin4x)+1=0`,
    `sin3x-sin(x+pi/3)+cos(4x+pi/3)+1=0`,
    `cos(2x+pi/6)*(sin(x-pi/6)+cos(2x+pi/6))=0`.
    3. `cos(2x+pi/6)=0`, `x=pi/6+(pi*k)/2`,
    `sin(x-pi/6)+cos(2x+pi/6)=0`,
    `sin(3/2x+pi/4)cos(x/2+(5pi)/12)=0`,
    `x=-pi/6+2/3pin, n in ZZ, x=pi/6+pim, m in ZZ`,
    `x in [-pi,pi] => x=-(5pi)/6, -pi/3, pi/6, (2pi)/3, -pi/6, pi/2`.
    Пересекаем с п.1 - остается `4` корня.
    Ответ: `4` корня, `-(5pi)/6, -pi/3, (2pi)/3, pi/2`.

    Задача №5
    Пять ребер тетраэдра имеют длины `2,4,5,9` и `13`. Определите, может ли при этом длина шестого ребра:
    а) равняться `11`;
    б) равняться `11,1`.

    Решение:
    а) 1. Тетраэдр состоит из `4` треугольников, у каждой пары которых есть общая сторона.
    Стороны равны `2,4,5,9,11` и `13`.
    Возьмем ребро, равное `13`, которое является общей стороной к двум треугольникам.
    2. Нер-во треугольника: сумма двух сторон всегда больше третьей.
    Исходя из этого, у взятых двух треугольников остальные стороны могут равняться только `4,5,9` и `11`,
    т.к. `13>=2+a`, где `a in {4,5,9,11}`, т.е. `2` не может быть одной из сторон.
    Возьмем треугольник со стороной `4`, другой его стороной может быть только `11`, т.к. `13>=4+b`, где `b in {5,9}`.
    Значит второй треугольник со сторонами `5` и `9`.
    3. Тогда ребро, которое соединяет вершины этих треугольников, равно `2` - оставшееся число.
    Рассмотрим третий треугольник, причем его сторона равна `2`, а другая равна `5` (для определенности).
    Третья его сторона, по пункту 2, может равняться только `4` (`11` не годится по нер-ву треугольника).
    Значит четвертый треугольник будет со сторонами `2, 9` и `11` - снова противоречие.


    б) Строится такая конфигурация, показывается, что все необходимые и достаточные условия выполнены.
    В этой задаче тетраэдр необходимо рассматривать, как набор из `4` треугольников, каждые два из которых имеют
    общую сторону. Этот набор существует `iff` существуют эти треугольники, а треугольник существует `iff` для его сторон выполняется нер-во треугольника.
    Ответ: a) нет, б) да.

    image
  • По-моему в задаче № 4 некоторая неточность: вместо корня 5pi/6 должен быть корень 2pi/3. и тогда решений будет 3.
    С уважением, Сергей
  • Спасибо, исправлено.
  • Извините, пожалуйста, но задача № 4 решена с ошибкой. После вынесения за скобки выражения cos(2x+π6) должно получиться: cos(2x+π6)⋅(sin(x-π6)+cos(2x+π6))=0. и тогда добавиться еще ответ π/2 и всего ответов будет 4.
    С уважением, Сергей.
  • Спасибо за внимательность, исправлено.
  • Я правильно понимаю, что задания в брянске сильно отличаются от московских?
  • Что вы понимаете под "сильно отличаются"?
    Завтра в новой теме выложу задания всех вариантов за прошлый год.
    Задания из года в год особо не меняются. Очень часто встречаются геометрические задачи - как №5 в этом году.
  • а задания других городов есть?
  • Выложите другие города, пожалуйста!
  • Есть Уфа, будет время, оформлю и выложу.
  • Выложите хотя бы задания! Это поможет потренироваться перед Москвой!
    Пожалуйста!

Рассылка решений заочных туров олимпиад по математике