Рассылка решений заочных туров олимпиад по математике

Подписывайтесь на нашу рассылку решений заочных туров всех олимпиад по математике: Ломоносов, Покори Воробьевы горы, Высшая проба, Физтех 2017 и другие перечневые олимпиады.

Задания и решения очного (заключительного) тура олимпиады "САММАТ" по математике 2103


  • Сезон олимпиад 2016-2017 открыт!
    Идет запись на наши курсы подготовки к олимпиадам по математике с гарантированным результатом.
    image
    1. Индивидуальные занятия и консультации.
    2. Помощь в прохождении заочных туров олимпиад. Одна олимпиада 1-5 тыс. руб.
    3. Помощь эксперта на очных турах олимпиад. Одна олимпиада от 30 тыс. руб.
    4. Гарантия успешного результата (курсы ведутся пятый сезон).

    Стоимость курсов от 3000 до 25000 руб. в месяц. Стандартный курс - 10000 руб. в месяц. Длительность курсов - 6 месяцев.
    В составе стандартного курса заочные туры 10 олимпиад и очные туры 2 олимпиад.
    Посмотреть тарифные планы и подробную информацию по курсам подготовки.

    Олимпиада САММАТ 2014 - задания и решения отборочного этапа по математике - перейти по ссылке!


    Задача №1
    В первом туре олимпиады "САММАТ" `2013` школьников прошли во второй тур (т.е. решили не менее `5` задач из десяти).
    Докажите, что среди них всегда найдутся по крайней мере четверо школьников, которые решили одни и те же задачи.

    Решение:
    `3C_10^5+3C_10^6+3C_10^7+3C_10^8+3C_10^9+3C_10^10=1914<2013`. Доказано. Использовали принцип Дирихле.


    Задача №2
    Пусть `x_1,x_2,...,x_2012` удовлетворяют равенству
    `(1-x_1)^2+(x_1-x_2)^2+...+(x_2011-x_2012)^2+x_2012^2=1/2013`.
    Чему равно `x_1-x_2012`.

    Ответ: `2011/2013`.

    Задача №3.
    Два одинаковых куба с ребром `a` имеют общую диагональ, но один повернут вокруг этой диагонали на `60^0` по отношению к другому. Найти объем общей части.
    Ответ: `3/4a^3`.

    Задача№4
    При каком наименьшем `n` выполняется неравенство
    `log_2^n3*log_3^n4*...*log_(n-1)^n n*log_n^n(n+1)>2013`.

    Ответ: `n=7`.

    Задача №5
    Пусть задана последовательность `a_n`: `a_(n+1)=a_n^2-a_n+1, a_1=2`.
    Вычислить `1/(a_1)+1/(a_2)+...+1/(a_100)` с точностью до `20` знаков после запятой. Какая цифра стоит на `13` месте?
    Ответ: `0.99999999999999999999$$$$$`.

    Задача №6
    Для некоторых функций `f(x)` и `g(x)` при всех `x` верно
    `{(f(x)=g(x-1)g(x+1)),(g(x)=f(x-1)f(x+1)):}`
    причем `f(3)+g(9)=2013`. Чему равно `f(2013)+g(2013)`?

    Ответ: `2013`.

    Задача №7
    Дан `DeltaABC`, площадь которого равна `2013`. На сторонах `AB` и `AC` взяты точки `D` и `E` соответственно. На отрезке `DE` взята точка `F`. Найти чему равно выражение `root(3)(S_(BDF))+root(3)(S_(CEF))`, если точки `D,E,F` выбраны так, что `(AD)/(AB)=(EC)/(AC)=(EF)/(DE)`.

    Задача №8
    Решите уравнение:
    `[x^2]+1/([x^2])={x}+1/({x})`.

    Ответ: `x=k+1/k^2, k>=3 - целый, x=3/2`.

    Задача №9
    Ни одно из `2n` натуральных чисел не делится на `2n+2`, и все эти числа при делении на `2n+2` дают разные остатки. Сумма этих чисел делится на `2n+2`. Найдите все указанные остатки от деления.
    Ответ: `1,2,3,...,n-1,n,n+2,n+3,...,2n,2n+1`.

    Задача №10
    Сколько решений уравнения
    `cos(pi/(1+sqrtx))+cos(pi/(1+2x))=0`,
    находится в `[-2013;2013]`.
    Ответ: `1`.
  • Идеи решений задач. Можете выложить полные решения, проверю.

    1. Число перестановок `5,6,7,8,9` и `10` элементов из `10` и принцип Дирихле.
    2. `nsum_(i=1)^ny_i^2>=(sum_(i=1)^ny_i)^2` - можно использовать без док-ва. Можно и достаточно легко доказать. Также, нер-во обращается в равенство `iff y_i=y_j AA i!=j`.
    Для возможности применения данного нер-ва надо сделать замены:
    `1-x_1=y_1, x_k-x_(k+1)=y_(k+1), k=1,...,2011, x_2012=y_2103`.
    3. Две правильные шестиугольные пирамиды, `l = sqrt3/2a, h=sqrt2/2a`.
    4. `f(n)=log_2^n3*log_3^n4*...*log_(n-1)^n n*log_n^n(n+1)=log_2^n(n+1)`,
    `f(6)<2013, f(7)>2013` - элементарно. `f(n)` - возрастающая функция.
    5. `1/(a_n-1)-1/(a_(n+1)-1)=1/(a_n)`,
    `S_n=1-1/(a_(n+1)-1), a_101>a_8>10^25`.
    6. `f^2(x)f(x-1)f(x+1)=f(x), g^2(x)g(x-1)g(x+1)=g(x)`,
    `f(n)=f(n+6k), g(m)=g(m+6l) AA n,k,m,l in ZZ`.
    `f(2013)+g(2013)=f(3)+g(9)=2013`.
    В решении несколько моментов, которые надо аккуратно обойти.
    8. `{x}=1/([x^2]), x^2>1, {x}=1/n`, где `n in NN, n>1`,
    разбиение на два случая `x>0, x<0` и замена `x=k+1/n`. Данный выше ответ не полный.<br />
    9. `d_(1,2,...,2n)` - остатки, `d_i in {1,2,...,2n+1}, sum_(i=1)^nd_i=S in [2n^2+n;2n^2+3n]`,
    `S=(2n+2)k => S=(2n+2)n`,
    `S+k=sum_(i=1)^(2n+1)i => k=n+1`.
    10. `sqrtx=y, y in [0;sqrt2013]`,
    `f(y)=1/(1+y)+1/(1+2y^2)=2k+1, k in ZZ`, `f(y) in (0;1] => k=0`,
    `g(y)=1/(t+1)-1/(1+2y^2)=2n+1, n in ZZ` - чуть более сложно.

Рассылка решений заочных туров олимпиад по математике