Рассылка решений заочных туров олимпиад по математике

Подписывайтесь на нашу рассылку решений заочных туров всех олимпиад по математике: Ломоносов, Покори Воробьевы горы, Высшая проба, Физтех 2017 и другие перечневые олимпиады.

Задания и решения очного тура олимпиады МГУ "Покори Воробьевы Горы" по математике (Москва)


  • Сезон олимпиад 2016-2017 открыт!
    Идет запись на наши курсы подготовки к олимпиадам по математике с гарантированным результатом.
    image
    1. Индивидуальные занятия и консультации.
    2. Помощь в прохождении заочных туров олимпиад. Одна олимпиада 1-5 тыс. руб.
    3. Помощь эксперта на очных турах олимпиад. Одна олимпиада от 30 тыс. руб.
    4. Гарантия успешного результата (курсы ведутся пятый сезон).

    Стоимость курсов от 3000 до 25000 руб. в месяц. Стандартный курс - 10000 руб. в месяц. Длительность курсов - 6 месяцев.
    В составе стандартного курса заочные туры 10 олимпиад и очные туры 2 олимпиад.
    Посмотреть тарифные планы и подробную информацию по курсам подготовки.

    Олимпиада Покори Воробьевы горы 2015-2016 - задания и решения отборочного этапа по математике.
    Внимание: задания и решения отборочного этапа олимпиады Покори Воробьевы горы 2014-2015 выложены в другой теме - Перейти по ссылке!

    Олимпиада «Покори Воробьевы Горы» 2012-2013 - задания и решения заочного тура.
    Олимпиада «Покори Воробьевы Горы» 2011-2012 - задания и решения заочного тура.
    Олимпиада «Покори Воробьевы Горы» 2010-2011 - задания и решения заочного тура.
    Олимпиада «Покори Воробьевы Горы» 2009-2010 - задания и решения заочного тура.
    Олимпиада школьников «Покори Воробьевы Горы» 2012-2013 - решения очного тура в Москве.
    Олимпиада школьников «Покори Воробьевы Горы» 2012-2013 - решения очного тура в Брянске.
    Олимпиада школьников «Покори Воробьевы Горы» 2011-2012 - решения очного тура по математике по всем городам (9 вариантов).
    Олимпиада «Покори Воробьевы Горы» 2013-2014 - задания и решения заочного тура
    Задача 1 (Вариант 3):
    Решить неравенство
    `2+7^(log_x5)>=(sqrt7)^(log_sqrtx25)`.

    Решение:
    1. `x>0, x!=1`.
    2. `7^(log_x5)=t, t>0`:
    `2+t>=t^2, t in [-1;2]`, т.к. `t>0 => t<=2`.

    3. `7^(log_x5)<=2, log_x5<=log_7 2`:

    Если `x in (0;1) => log_x5<01 => 5<=x^(log_7 2) iff x>=5^(log_2 7)>1`.

    Ответ: `x in (0;1)uu[5^(log_2 7);+oo)`.

    Задача 2 (Вариант 3):
    Найти все пары вещественных чисел `(x,y)`, удовлетворяющих системе
    `{((sqrt3-sqrt2)^x=2^(y/3)+3^(y/3)),(sqrt(-5x^2-8xy-3y^2)=-y-2x):}`

    Решение:
    1. Не разбираясь с ОДЗ работаем со вторым уравнением, возводя в квадрат:
    `-5x^2-8xy-3y^2=y^2+4xy+4x^2 iff (2y+3x)^2=0 iff y=-3/2x`.
    2. Пусть `-x/2=t`, тогда из первого уравнения:
    `(sqrt3-sqrt2)^(-2t)=2^t+3^t`.
    3. Используя умножение на сопряженное выражение, получаем:
    `(sqrt3+sqrt2)^(2t)=2^t+3^t`.
    4. Пусть `b=(sqrt3+sqrt2)^2=5+2sqrt6>3`, тогда `2^t+3^t=b^t`,
    поделим на `b^t>0`: `(2/b)^t+(3/b)^t=1`,
    левая часть представляет собой сумму двух убывающих функций, т.к. основания меньше `1`,
    значит данное уравнение может иметь не более `1` корня.
    5. `1` корень подбирается легко, т.к. при `t=1/2`:
    `sqrt3+sqrt2=3^(1/2)+2^(1/2)`.
    Итак, `x=-1, y=3/2`. Проверка показывает, что корни подходят.
    Ответ: `(x,y)=(-1;3/2)`.

    Задача 3 (Вариант 3):
    При каких значениях параметра `a` площадь фигуры, заданной на плоскости `(x,y)` системой
    `{(x^2-a/2x+y^2-2ay<=1-17/16a^2),(16y^2+8xy+x^2<=289/4a^2):}`

    максимальна?

    Решение:
    1. `(x-a/4)^2+(y-a)^2<=1` - окружность с центром в точке `O(a/4;a)` и радиусом `1`.

    Площадь окружности `S=pi` и НЕ зависит от `a`!
    2. `(x+4y)^2<=289/4a^2 iff |x+4y|<=17/2|a|`,

    `-4y-17/2|a|<=x<=-4y+17/2|a|`.

    Область внутри полосы с границами `x=-4y-17/2|a|` и `x=-4y+17/2|a|`.
    3. Площадь фигуры, заданной системой, является пересечением окружности и полосы.
    Площадь окружности фиксирована, поэтому площадь фигуры не может быть больше `pi`.
    При этом она равна `pi` тогда и только тогда, когда окружность находится внутри полосы.
    4. Пусть `y=kx+b` - прямая, проходящая через центр окружности и перпендикулярная границам полосы.
    Тогда `k=4` (т.к. `k*k_1=-1`), а значит `b=0`, т.к. `y=4x+b` проходит через точку `(a/4;a)`.
    `y=4x`: найдем координаты пересечения этой прямой с границами полосы:
    `A(|a|/2;2|a|), B(-|a|/2;-2|a|)`.
    5. Условие того, что окружность лежит внутри полосы: `min(OA;OB)>=r=1`.
    В зависимости от знака `a`: `OA=3/4sqrt17|a|, OB=sqrt17/4|a|` или наоборот.
    Значит `|a|>=4/sqrt17`.

    Ответ: `|a|>=4/sqrt17`.

    Задача 4 (Вариант 3):
    Найти наибольшее значение выражения:
    `arcsin(cos(3x-y+3))+2x-2y+3`
    при `0<=x<=pi/2, 0<=y<=pi/2`.


    Решение №1:
    1. Используем то, что `(arcsinx)'=1/sqrt(1-x^2)`.
    2. Пусть `f(y)=arcisn(cos(y-3x-3))-2y+2x+3`, где `x` - параметр.
    Производная `f'(y)=-sin(y-3x-3)/|sin(y-3x-3)|-2`, очевидно, что `f'(y)<0` при всех `y`,

    поэтому `f_max=f(0)=arcsin(cos(3x+3))+2x+3=g(x)`.
    2. `g'(x)=(-3sin(3x+3))/|sin(3x+3)|+2`,
    т.к. `x in [0;pi/2] => 3x+3 in [3;3+3/2pi]`,
    тогда, если `3x+3 in (pi;2pi)`: `g'(x)>0` - функция возрастает,
    если `3x+3 in [3;pi)uu(2pi;3+3/2pi]`: `g'(x)<0` - функция убывает.

    3. `x in [0;pi/3-1)uu(2/3pi-1;pi/2]` - убывает, `x in [pi/3-1;2/3pi-1]` - возрастает.
    `g(2/3pi-1)=11/6pi+1>pi/2=g(0) => g_max=g(2/3pi-1)=11/6pi+1`.

    Ответ: `11/6pi+1`.

    Решение №2:
    1. Используем то, что `arcsin(sinx)=x` при `x in [-pi/2;pi/2]`,
    обозначим `f=arcsin(cos(3x-y+3))+2x-2y+3`.
    2. `cos(3x-y+3)=sin(3x-y+3+pi/2)=sin(3x-y+3-3/2pi)`,
    пусть `3x-y+3-3/2pi=t`, тогда `t in [3-2pi;3]`, т.к. `x,y in [0;pi/2]`.
    3. Пусть `t in [-pi/2;pi/2]`, тогда `f=t+2x-2y+3=5x-3y+6-3pi/2`.
    `-pi/2<=3x-y+3-3pi/2<=pi/2`,

    `3x-2pi+3<=y<=3x-pi+3`, т.е. полоса с границами `y=3x-2pi+3` и `y=3x-pi+3`, пересекает ось `Х` в точках `x=pi/3-1` и `2/3pi-1`.

    Пусть `5x-3y=a`, тогда `y=5/3x-a/3`, видим, что прямая `y=5/3x-a/3` попадет в эту полосу с максимальным `a`, если она пройдет через точку `x=2/3pi-1`, т.е. `a=5(2/3pi-1)-3*0=10/3pi-5`, тогда `f_max=10/3pi-5+6-3/2pi=11/6pi+1`, при `x=2/3pi-1, y=0`.
    4. Пусть `t in (pi/2;3]`, тогда используем формулу `sint=sin(pi-t)`,
    `pi-t in [pi-3;pi/2) => arcsin(sint)=arcsin(sin(pi-t))=pi-t`,
    значит `f=pi-t+2x-2y+3=-x-y+5/2pi`.
    Пусть `-x-y=a`, тогда `y=-x-a`, аналогичными графическими рассуждениями получаем, что `a` будет макимальным при `x=pi/2, y=0`,
    тогда `f_max=2pi`, но `2pi<11/6pi+1`, т.к. `pi/6<1`.

    5. Пусть `t in [3-2pi;-pi/2), sint=sin(-pi-t), -pi-t in (-pi/2;pi-3]`, тогда `arcsin(sint)=-pi-t`,
    значит `f=-pi-t+2x-2y+3=-x-y+pi/2<=pi/2`. Максимум будет меньше уже найденного.

    Итак, `f_max=11/6pi+1`, при `x=2/3pi-1, y=0`.

Рассылка решений заочных туров олимпиад по математике