Рассылка решений заочных туров олимпиад по математике

Подписывайтесь на нашу рассылку решений заочных туров всех олимпиад по математике: Ломоносов, Покори Воробьевы горы, Высшая проба, Физтех 2017 и другие перечневые олимпиады.

Задания и решения всех вариантов очного тура олимпиады "Росатом" МИФИ по математике 2013


  • Сезон олимпиад 2016-2017 открыт!
    Идет запись на наши курсы подготовки к олимпиадам по математике с гарантированным результатом.
    image
    1. Индивидуальные занятия и консультации.
    2. Помощь в прохождении заочных туров олимпиад. Одна олимпиада 1-5 тыс. руб.
    3. Помощь эксперта на очных турах олимпиад. Одна олимпиада от 30 тыс. руб.
    4. Гарантия успешного результата (курсы ведутся пятый сезон).

    Стоимость курсов от 3000 до 25000 руб. в месяц. Стандартный курс - 10000 руб. в месяц. Длительность курсов - 6 месяцев.
    В составе стандартного курса заочные туры 10 олимпиад и очные туры 2 олимпиад.
    Посмотреть тарифные планы и подробную информацию по курсам подготовки.

    Олимпиада Росатом 2015-2016 - задания и решения отборочного этапа по математике.
    Задания и решения всех вариантов очного тура олимпиады "Росатом" МИФИ по математике 2013.

    Задача №1 (Вариант 1):
    Найти числа `x`, удовлетворяющие неравенству
    `8yx^2+8(y-3)x-5y-20>=0` хотя бы для одного `y` - решения уравнения `2|y-2|+y=8`.

    Решение:
    1. `2|y-2|=8-y => 8-y>=0 iff y<=8`.
    2. `2(y-2)=8-y iff y=4, 2(y-2)=y-8 iff y=-4`, оба корня подходят.
    3. `y=4`: `32x^2+8x-40>=0 iff 4x^2+x-5>=0 iff x in (-oo;-5/4]uu[1;+oo)`.
    `y=-4`: `-32x^2-56x>=0 iff x in [-7/4;0]`.
    4. Объединяем полученные интервалы: `x in (-oo;0]uu[1;+oo)`.

    Ответ: `x in (-oo;0]uu[1;+oo)`.

    Задача №2 (Вариант 1):
    Обозначим через `X` - множество решений уравнения
    `4(sinx-sqrt3cosx)=tgx-3ctgx`. Найти `x in X`, для которых величина `3x^2+2x-5` принимает наименьшее значение.

    Решение:
    1. `tgx-ctgx=(sin^2x-3cos^2x)/(sinxcosx)=((sinx-sqrt3cosx)(sinx+sqrt3cosx))/(1/2sin2x)`.
    2. `sinx-sqrt3cosx=0` OR `2sin2x=sinx+sqrtcosx` AND `sin2x!=0`,
    `sin(x-pi/6)=0` OR `sin2x=sin(x+pi/6)` AND `sin2x!=0`,
    `sin(x-pi/6)=0` OR `2sin(x/2-pi/12)cos(3/2x+pi/12)=0` AND `sin2x!=0`.
    3. `x=pi/6+pik, k in ZZ` OR `x=pi/6+2pin, n in ZZ, x=5/18pi+2/3pim, m in ZZ` AND `x!=(pil)/2, l in ZZ`,
    `x=pi/6+pik, k in ZZ` OR `x=5/18pi+2/3pim, m in ZZ` AND `x!=(pil)/2, l in ZZ`.
    4. `f(x)=3x^2+2x-5, x_min=-1/3`,
    `k=0`: `x=pi/6`,
    `k=1`: `x=-5/6pi`,
    `m=0`: `x=5/18pi< pi/6`,
    `m=-1`: `x=-7/18pi> -5/6pi`.
    5. Нужно выбрать, какая из точек `5/18pi` или `-7/18pi` ближе к `-1/3`,
    `-7/18pi<-1/3<5/18pi`,
    `-1/3+7pi/18<5/18pi-1/3` т.к. `pi/9<2/3`, значит `-7/18pi` - ближайшая точка.

    Использовали то, что парабола симметрична относительно прямой, проходящей через вершину.

    Ответ: `x=-7/18pi`.

    Задача №3 (Вариант 1):
    При каких `a,b` уравнение `3x^3+2ax^2+bx-c=0` имеет единственное решение, если `7a^3+4ab-8c=0`.

    Решение:
    1. `f(x)=3x^3+2ax^2+bx-c`, тогда `f(a/2)=3/8a^3+a^3/2+ab/2-c=1/8(7a^3+4ab-8c)=0`,
    значит `x=a/2` - является корнем нашего уравнения.
    2. По некоторым свойствам (не требующим доказательства) кубического многочлена,
    `f(x)=(x-a/2)(3x^2+dx+e)`.
    Условие единственности корня `f(x)` эквивалентно тому, что `D=d^2-12e<0` ИЛИ `d^2-12e=0`, при этом корень уравнения совпадает с `a/2`.

    3. Метод неопределенных коэффициентов:
    `7/2ax^2+bx-c=dx^2+x(e-(ad)/2)-(ae)/2`,
    `d=7/2a, b=e-(ad)/2, c=(ae)/2`,
    `d=7/2a, e=b+7/4a^2 => d^2-12e=-35/4a^2-12b`.
    4. `-35/4a^2-12b<0 => a=t`, где `t in RR, b> -35/48t^2`.
    `-35/4a^2-12b=0 => a/2=x=-d/6 => a=b=c=d=e=0`.

    Ответ: `(a,b)=(0,0), (a,b)=(t,s)`, где `t in RR, s> -35/48t^2`.

    Задача №4 (Вариант 1):
    При каких целых `n` число `17^|3n+5|+2` делится на `5` без остатка?

    Решение:
    1. `|3n+5|=k => k in NN`, т.к. `k!=0` при целых `n, k>=0` и `k in ZZ`.
    2. `17^k=(5a+2)^k-=2^k` `mod` `5 => 17^k+2-=2^k+2` `mod` `5 => 2^k-=-2` `mod` `5`.
    3. Пусть `k=4m+d`, где `m in ZZ^+, d=0,1,2,3`,
    тогда `2^k=2^(4m+d)=16^m*2^d=(5b+1)^m*2^d-=2^d` `mod` `5 => 2^d-=-2` `mod` `5`,
    подставляем `d=0,1,2,3`, подходит только `d=3 => k=4m+3`, где `m in ZZ^+`.
    4. `|3n+5|=4m+3`:
    `3n+5=4m+3` OR `3n+5=-4m-3`,
    `3n=4m-2` OR `3n=-4m-8`,
    `3(n-m)=m-2` OR `n=-4l, l in NN` т.к. `l=m+1>=1`,
    `m=3p+2, p in ZZ^+ => n=4p+2` OR `n=-4l, l in NN`.

    Ответ: `n=4p+2, p in ZZ^+, n=-4l, l in NN`.

    Задача №5 (Вариант 1):
    При каких допустимых значениях `a` уравнение `sqrt(a-sqrt(a+x))=x` имеет решение? Найти эти решения.

    Решение:
    1. `x>=0, x>=-a, a>=sqrt(a+x)>=0 => x>=0, a>=0, x<=a^2-a`, `a^2-a>=0 => a in {0}uu[1+oo)`.
    2. `a=0 => x=0`.
    3. Пусть `a>=1 => x in [0;a^2-a]`,
    возводим уравнение в квадрат: `a-sqrt(a+x)=x^2 iff sqrt(a+x)=a-x^2`,
    `x^2<=a iff x<=sqrta`.

    4. Снова в квадрат и представим, как уравнение относительно `a`:
    `a^2-a(2x^2+1)+x^4-x=0, a_1=x^2-x, a_2=x^2+x+1`,
    `(x^2-x-a)(x^2+x+1-a)=0`,
    но `x^2-x-a<-x<0`, т.к. `x^2-a<-0`, поэтому `x^2+x+1-a=0`.

    5. `x=(-1+-sqrt(4a-3))/2`, отрицательный корень выкидываем, `x=(-1+sqrt(4a-3))/2`.
    Разбираемся с ОДЗ: условие `x<=a^2-a` можем не учитывать, т.к. оно уже учтено, ведь наш `x` корень уравнения `a-sqrt(a+x)=x^2>=0 => a>=sqrt(a+x) => x<=a^2-a`.

    `x<=sqrta`: `(-1+sqrt(4a-3))/2<=sqrta iff sqrt(4a-3)<=2sqrta+1 iff 4a-3<=4a+4sqrta+1` - всегда верно. Это условие тоже можно было не рассматривать.

    Ответ: `a in {0}uu[1;+oo)`, если `a=0`: `x=0`, если `a>=1`: `x=(-1+sqrt(4a-3))/2`.

Рассылка решений заочных туров олимпиад по математике