Рассылка решений заочных туров олимпиад по математике

Подписывайтесь на нашу рассылку решений заочных туров всех олимпиад по математике: Ломоносов, Покори Воробьевы горы, Высшая проба, Физтех 2017 и другие перечневые олимпиады.

Задания и решения очного тура олимпиады школьников СПбГУ по математике 2013 (Вариант 1)


  • Сезон олимпиад 2016-2017 открыт!
    Идет запись на наши курсы подготовки к олимпиадам по математике с гарантированным результатом.
    image
    1. Индивидуальные занятия и консультации.
    2. Помощь в прохождении заочных туров олимпиад. Одна олимпиада 1-5 тыс. руб.
    3. Помощь эксперта на очных турах олимпиад. Одна олимпиада от 30 тыс. руб.
    4. Гарантия успешного результата (курсы ведутся пятый сезон).

    Стоимость курсов от 3000 до 25000 руб. в месяц. Стандартный курс - 10000 руб. в месяц. Длительность курсов - 6 месяцев.
    В составе стандартного курса заочные туры 10 олимпиад и очные туры 2 олимпиад.
    Посмотреть тарифные планы и подробную информацию по курсам подготовки.

    Олимпиада СПбГУ 2015-2016 - задания и решения отборочного этапа по математике.
    Задания и решения очного тура олимпиады школьников СПбГУ по математике 2013 (Вариант 1)
  • Задача №1:
    В таблице `15` строк и `13` столбцов. В ней расставлены положительные числа. Известно, что произведение чисел в таблице равно `1`, а произведение чисел в каждом из прямоугольников `3x4` и `4x3` равно `3`. Найти произведение чисел во второй, третьей и четвертой клетках четвертой строки.

    Решение:
    1. Возможно заполнить нашу таблицу `15x13` прямоугольниками `3x4` и `4x3` (всего `16` шт.), при этом останутся первые три клетки `1`-столбца. Обозначим числа в этих клетках - `x,y,z`. Тогда `xyz*3^16=1 => xyz=3^(-16)`.
    2. Берем верхний левый угловой прямоугольник `3x4`, произведение его элементов равно `3`. Отсекаем первый столбец (`x,y,z`), произведение оставшихся элементов `p=3*16*3=3^17`. Оставшиеся элементы образуют квадрат `3x3`.
    3. К этом квадрату добавляем три элемента ниже (это как раз наши искомые числа `a,b,c`), получаем прямоугольник `4x3`, значит `abc*p=3 => abc=3^(-16)`.

    Ответ: `3^(-16)`.
  • Задача №2:
    Положительные числа `a,b,c` таковы, что `ab+bc+ca` в пять раз больше, чем `abc`. Каково минимальное значение этой суммы?

    Решение первое:
    1. `ab+bc+ca=5abc => c=(ab)/(5ab-a-b)`, в частности отсюда следует, что `a+b<5ab`, т.к. `c>0` по условию.
    2. Значит `f=a+b+c=a+b+(ab)/(5a-a-b)`.
    Обозначим `a+b=x, ab=y`, тогда `x<5y` (из п.1), а также `x>=2sqrty`, следует из нер-ва Коши для `a,b>0`.
    3. `f(x)=x+y/(5y-x)=(x^2-5yx-y)/(x-5y)`, где `x in [2sqrty,5y)`,
    производная `f'(x)=((x-5y)^2+y)/((x-5y)^2)>0 AA x in [2sqrty;5y)`, значит `f(x)` возрастает на всем интервале `=> f_min=f(2sqrty)=2sqrty+y/(5y-2sqrty)=g(y)`.
    Одновременно получаем, что `a=b`, т.к. `x=2sqrty iff a=b`.
    4. Легко исследовать функцию `g(y)` при всех `y>0`:
    `g_min=9/5` при `y=9/5`, итого `(a+b+c)_min=9/5` при `a=b=c=3/5`.
    Легко проверить, что при таких `a,b,c`: `ab+bc+ca=5abc`.

    Ответ: `9/5`.

    Решение второе:
    1. `ab+bc+ca=5abc => 1/a+1/b+1/c=5`.
    2. `5(a+b+c)=(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)=3+a/b+b/a+b/c+c/b+a/c+c/a`.
    3. `t+1/t>=2 AA t>0 => 5(a+b+c)>=3+6=9 => a+b+c>=9/5`, равенство достигается при `a=b=c=3/5`.
  • Задача №3:
    Восьмеричная запись числа `x` имеет вид `20132013...2013`, где блок `2013` повторяется `n` раз. Найти все натуральные `n`, при которых `x` делится на квадрат числа с восьмеричной записью `2013`.

    Решение:
    1. `x=2013...2013_8` (всего `4n` цифр) `=>`
    `=>x=2*8^(4n-1)+1*8^(4n-3)+3*8^(4n-4)+2*8^(4n-5)+1*8^(4n-7)+3*8^(4n-8)+...+2*8^3+1*8+3=`
    `=8^(4n-4)(2*8^3+1*8+3)+8^(4n-8)(2*8^3+1*8+3)+...+2*8^3+1*8+3=`
    `=(2*8^3+1*8+3)(8^(4n-4)+8^(4n-8)+...+1)=1035*(4096^(n-1)+4096^(n-2)+...+1)`.
    2. `y=2013_8^2=1035^2, x vdots y => f(n)=4096^(n-1)+4096^(n-2)+...+1 vdots 1035`.
    3. `1035=3^2*5*23 => f(n) vdots 3^2*5*23`.
    `f(n) vdots 9`: `4096-=1` `mod` `9 => f(n)-=n` `mod` `9 => n=9k, k in NN`.
    `f(n) vdots 5`: `4096-=1` `mod` `5 => f(n)-=n` `mod` `5 => n=9m, m in NN`.
    `f(n) vdots 23`: `4096-=2` `mod` `23 => f(n)-=2^(n-1)+...+1` `mod` `23`,
    `2^(n-1)+...+1=2^n-1 => 2^n-=1` `mod` `23`.
    Пусть `n=11l+d`, где `l in NN, d=0,1,...,10`, тогда `2^n-=2^d` `mod` `23`,
    при этом `2^d-=1` `mod` `23 iff d=0 => n=11l, l in NN`.
    Итого, `n=9*5*11N=495N`, где `N in NN`.

    Ответ: `n=495N`, где `N in NN`.
  • Задача №4:
    Каждый ученик школы занимается хотя бы в одной, но не более, чем в трех из `600` спортивных секций. Известно, что в каждой секции состоят один или более школьников, и составы любых двух секций различны. Каково минимально возможное количество учеников в школе?

    Решение:
    1. Три человека могут образовать `6` секций, удовлетврюящих условиям задач.
    Если люди `a,b,c`, то секции могут быть `ab,bc,ca,a,b,c`.
    Пусть `t` - минимальное количество школьников. Если `t=300`, то можно всех разбить на тройки, всего `100` троек, каждая тройка образует `6` секций, итого `600` секций.
    2. Пусть `t<300`.<br />`n_i` - количество школьников к `i-ой` секции, `i=1,2,...,600`.
    `m` - максимальное количество школьников в любой секции, тогда `m<=t`,<br />`f(j)` - число секций с количеством школьников равным `j`, `j=1,2,...,m`.
    Тогда `f(1)+f(2)+...+f(m)=600`.
    С другой стороны `n_1+n_2+...+n_i=f(1)+2*f(2)+3*f(3)+...+m*f (m)`.
    Очевидно, что `m>1`, иначе в каждой секции `1` школьник, значит школьников `600`, а мы предположили, что `t<300`.<br />`n_1+n_2+...+n_600=f(1)+2*f(2)+3*f(3)+...+m*f(m)=`
    `=f(1)+f(2)+...+f(m)+f(2)+2f(3)+...+(m-1)f(m)=600+f(2)+2f(3)+...+(m-1)f(m)`.
    Снова используем то, что `t<300`, значит секций, в которых `1` школьник меньше `300`, т.е. `f(1)<300`, следовательно `f(2)+...+f(m)=600-f(1)>300`, тогда `n_1+n_2+...+n_600=600+f(2)+2f(3)+...+(m-1)f(m)>=600+f(2)+f(3)+...+f(m)>900` (использовали то, что `m>1` и последние нер-ва).
    Заметим, что `3t>=n_1+...+n_600`, ведь по условию сказано, что каждый школьник может быть не более, чем в трех секциях, т.е. в сумме `n_1+...+n_600` каждый школьник может быть подсчитан не более `3` раз.
    Итого `3t>900 => t>300` - противоречие.

    С `300` школьниками получилось построить нужный пример, при меньше `300` школьников получили противоречие.

    Ответ: `300` школьников.
  • Задача №5 (Олимпиада школьников СПбГУ 2012-2013. Очный тур по математике)
    Диагонали вписанного четырехугольника `ABCD` пересекаются в точке `P`. Центры окружностей, описанных около треугольников `APB` и `CPD`, лежат на окружности, описанной около `ABCD`. Найти угол между прямыми `AC` и `BD`.

    Решение:
    image
    Обозначим через `O` центр окружности, описанной около треугольника `CPD`, и положим `/_COD=2alpha`. Поскольку четырехугольник `OCAD` вписанный, мы получим `/_CAD=180^0-2alpha`. Заметим также, что вписанный угол `CPD` опирается на дугу, дополнительную к дуге `CPD`, откуда
    `/_CPD=1/2(360^0-2alpha)=180^0-alpha`
    Тогда
    `/_APD=180^0-/_CPD=alpha` и `/_PDA=180^0-/_CAD-alpha=alpha`
    Поэтому треугольник `PAD` равнобедренный `=> AD=AP`. Аналогичное рассуждение, приведенное для окружности, описанной около треугольника `APB`, дает равенство `AD=DP.` Значит, треугольник `PAD` равносторонний, откуда `/_APD=60^0`.

    Ответ: `60^0`.

  • Задача №6 (Олимпиада школьников СПбГУ 2012-2013. Очный тур по математике)
    Из листа железа Петя вырезал квадрат со стороной `sqrt48` см и четыре равнобедренных треугольника с основанием `sqrt48` см и боковой стороной `sqrt60` см. Торцы всех фигур, изначально перпендикулярные их плоскостям, Петя заточил на станке, после чего из полученных деталей склеил правильную четырехугольную пирамиду без зазоров в стыках. Известно, что при наиболее экономном стачивании в отходы уйдет `5/12` металла. Найти толщину листа железа.

    Решение:
    Склеенная Петей металлическая конструкция есть разность двух подобных правильных пирамид `ABCDE` и `A'B'C'D'E'` с основаниями `ABCD` и `A'B'C'D` соответственно. Заметим, что при оптимальной заточке заготовок `AB=sqrt48` см и `AE=sqrt60` см. Обозначим угол между основанием `ABCD` и боковой гранью внешней пирамиды через `2alpha`, а толщину железа через `d`. Суммарный объем всех заготовок равен
    `V_1=d*(S_(ABCD)+4S_(ABE))=144d`
    Тогда склеенная Петей конструкция имеет объем `V_2=7/12*V_1=84d`
    Кроме того `cos2alpha=(1/2AB)/sqrt(AE^2-1/4AB^2)=1/2 => 2alpha=pi/3 iff alpha=pi/6`
    Очевидно, что все торцы квадратной заготовки нужно заточить под углом `alpha` к ее плоскости, после чего полученная деталь станет усеченной пирамидой `ABCDA'B'C'D'` с высотой `d`.
    Заметим, что `A'B'=AB-2dcottanalpha=sqrt48-2dsqrt3` и `(A'B')/(AB)=1-d/2`
    Тогда коэффициент подобия пирамид есть `k=1-d/2`, откуда `d=2(1-k)`
    Объем склеенной Петей конструкции равен также
    `V_2=(1-k^3)*V_(ABCDE)=96(1-k^3)`
    Приравнивая выражения для `V_2`, получим:
    `96(1-k^3)=84d=168(1-k) => k^2+k+1=7/4 => k=1/2 => d=1`.  

    Ответ: `1`.

Рассылка решений заочных туров олимпиад по математике