Рассылка решений заочных туров олимпиад по математике

Подписывайтесь на нашу рассылку решений заочных туров всех олимпиад по математике: Ломоносов, Покори Воробьевы горы, Высшая проба, Физтех 2017 и другие перечневые олимпиады.

Задания и решения очного тура олимпиады школьников СПбГУ по математике 2013 (Вариант 8)


  • Сезон олимпиад 2016-2017 открыт!
    Идет запись на наши курсы подготовки к олимпиадам по математике с гарантированным результатом.
    image
    1. Индивидуальные занятия и консультации.
    2. Помощь в прохождении заочных туров олимпиад. Одна олимпиада 1-5 тыс. руб.
    3. Помощь эксперта на очных турах олимпиад. Одна олимпиада от 30 тыс. руб.
    4. Гарантия успешного результата (курсы ведутся пятый сезон).

    Стоимость курсов от 3000 до 25000 руб. в месяц. Стандартный курс - 10000 руб. в месяц. Длительность курсов - 6 месяцев.
    В составе стандартного курса заочные туры 10 олимпиад и очные туры 2 олимпиад.
    Посмотреть тарифные планы и подробную информацию по курсам подготовки.

    Олимпиада СПбГУ 2015-2016 - задания и решения отборочного этапа по математике.
    Задания и решения очного тура олимпиады школьников СПбГУ по математике 2013 (Вариант 8)

  • Задача №1:
    Какое наименьшее число клеток нужно закрасить в таблице `2011`x`2011` для того, чтобы в каждом квадрате `4`x`4` было закрашено не менее `7` клеток?

    Решение:
    1. Докажем по индукции, что для любой таблицы `(4n+3)`x`(4k+3)`, где `n,k in NN`, минимальное число закрашенных клеток `f(n,k)=n(4k+3)+k(4n+3)-nk`, т.е. `n` и `k` закрашенных столбцов и строк.
    `f(n,k)=7kn+3k+3n`.
    2. Рассмотрим таблицу `7`x`7`. В этой таблице нарисуем два квадрата `4`x`4`, которые имеют одну общую клетку, угловую для каждого квадрата. В каждом квадрате должно быть минимум `7` закрашенных клетки, поэтому всего закрашенных клеток минимум `6+6+1=13`. Если закрасить центральные столбец и строку (`13` клеток), то для каждого квадрата `4`x`4` будет `7` закрашенных клеток.
    Для `k=n=1` условие выполнено, `f(1,1)=13`.
    3. Докажем, что `f(n,1)=10n+3 AA n in NN`, при `n=1` доказано выше.
    Пусть верно для `n=m`, т.е. `f(m,1)=10m+3`. Докажем, что `f(m+1,1)=10m+13`.
    К таблице `(4m+3)`x`7` добавился прямоугольник `4`x`7`.
    В данном прямоугольнике рассмотрим два квадрата `4`x`4`, совмещенные по `4` клеткам. Минимальное число закрашенных клеток `= 4+3+3=10`, значит `f(m+1,1)=10m+13` чтд.
    4. Докажем, что `f(n,k)=7kn+3k+3n AA k in NN`. При `k=1` доказано.
    Пусть `f(n,m)=7mn+3m+3n`, докажем, что `f(n,m+1)=7mn+3m+10n+3`.
    К таблице `(4n+3)`x`(4m+3)` добавили таблицу `(4n+3)`x`4`, аналогично пункту `3`, минимальное число клеток равно `7n+3`, тогда `f(n,m+1)=7mn+3m+10n+3` чтд.

    `2011=4*502+3 => f(502,502)=7*502^2+6*502=1767040`.

    Ответ: `1767040`.
  • Задача №2:
    Куб суммы положительных чисел `a,b,c` в `18` раз больше выражения `ab+bc+ca`. Найти наибольшее значение произведения этих чисел.

    Решение:
    1. `18(ab+bc+ca)=(a+b+c)^3=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca)`.
    2. `ab+bc+ca<=a^2+b^2+c^2 => a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca>=3(ab+bc+ca)`.
    3. `18(ab+bc+ca)>=3(a+b+c)(ab+bc+ca) => a+b+c<=6`.<br />
    4. `abc<=1/27(a+b+c)^3<=1/27*216=8`, равенство достигается при `a=b=c=2`.<br />

    Использовали два нер-ва: `x^2+y^2+z^2>=xy+yz+zx` и `x^3+y^3+z^3>=3xyz` при всех `x,y,z>0`.
    `x^2+y^2+z^2-(xy+yz+zx)=1/2(x-y)^2+1/2(y-z)^2+1/2(z-x)^2>=0`,
    `x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)>=0 AA x,y,z>=0`.

    Ответ: `8`.
  • Задача №3:
    На доске написано натуральное число. Несколько учеников по очереди выходят к доске, и каждый умножает последнее из написанных на доске чисел на свой порядковый номер, увеличенный на `3`, и пишет результат на доску. Может ли сумма всех написанных в итоге на доске чисел был степенью `23`?

    Решение:
    1. `a_(n+1)=(n+4)*a_n, a_0=k`, где `k` - исходное натуральное число.
    2. `a_1=4k, a_2=20k, a_3=120k,...`
    видим, что `a_n=1/6(n+3)!*k`.
    3. `S_n=a_0+a_1+...+a_n=k+4k+20k+...+1/6(n+3)!*k, n>=2` (учеников несколько),
    `S_2=25k vdots 5` - не может быть степенью `23`.
    `n>=3`: `S_n=25k+1/6k(6!+...+(n+3)!)=25k+A`, где `A vdots 5 => S_n vdots 5`.

    Ответ: нет.
  • Задача №4:
    Маша забыла телефон Васи и набирает разные номера, пока не дозвонится до него. Про номер Васи она помнит следующее:
    а) это семизначное число, кратное `99`,
    б) все цифры номера различны и не равны нулю,
    в) номер начинается на `3` и заканчивается на `2`.
    Каково минимальное число звонков, которого Маше заведомо хватит?

    Решение:
    1. `g=bar(3abcde2)` - номер Васи, сумма цифр `f=a+b+c+d+e+5`, где `a,b,c,d,e in [1;9]` и не равны `2` и `3`.
    `g vdots 99 => g vdots 9, 11`.
    2. `g vdots 9 iff f vdots 9`: `f>=1+4+5+6+7+5=28, f<=9+8+7+6+5+5=40 => f=36`.
    3. `g vdots 11 iff h=3-a+b-c+d-e+2=5+b+d-a-c-e vdots 11`:
    `h>=5+1+4-9-8-7=-5, h<=5+9+8-1-4-5=12 => h=0` OR `h=11`.
    4. `b+d=x, a+c+e=y => f=5+x+y, g=5+x-y`.
    `f=36, h=11`: `x+y=31, x-y=6` - нет целых решений,
    `f=36, h=0`: `x+y=31, x-y=-5`: `x=13, y=18`.
    5. `b+d=13 iff (b,d)=(4,9), (5,8), (6,7), (7,6), (8,5), (9,4)`.
    `(b,d)=(4,9), (9,4): a+c+e=18`, где `a,c,e in {1,5,6,7,8}`. `12` вариантов.
    `(b,d)=(5,8), (8,5): a+c+e=18`, где `a,c,e in {1,4,6,7,9}`. Вариантов нет.
    `(b,d)=(6,7), (7,6): a+c+e=18`, где `a,c,e in {1,4,5,8,9}`. `24` варианта.

    Ответ: `36`.
  • Задача №5:
    Точки `P,Q` и `R` делят сторону `AC` треугольника `ABC` на `4` равные части (`AP=PQ=QR=RC`). Прямая проходящая через `R` параллельно `BC`, пересекает отрезки `AB, BP` и `BQ` в точках `D,E` и `F` соответственно. Найти отношение `DE:EF`.
  • Задача №6:
    Пространственное тело состоит из точек, координаты которых удовлетворяют неравенству
    `log_2(x^2+y^2)+[sqrtz]<=16`<br />
    (здесь `[a]` означает целую часть `a`, то есть наибольшее целое число, не превосходящее `a`). Найти объем тела.

    Решение:
    1. `z>=0, [sqrtz]=n => n<=sqrtz<n+1 => n^2<=z<(n+1)^2`, где `n in ZZ^+`,<br />
    тогда `log_2(x^2+y^2)<=16-n => x^2+y^2<=2^(16-n)`.<br />
    2. `AA n in ZZ^+`, неравенство задает фигуру `F_n={(n^2<=z<(n+1)^2),(x^2+y^2<=2^(16-n)):}`<br />
    Видим, что `F_n` - цилиндр, с радиусом `R_n=2^(8-n/2)` и высотой `H_n=(n+1)^2-n^2=2n+1`. Значит `V(F_n)=pi*R_n^2*H_n=pi*2^(16-n)*(2n+1)`.
    3. Заметим, что луч `(x,y,z)=(0,0,z)` не входит в наше тело, но на объем тела это не влияет.
    4. `F` - наше тело, тогда `V(F)=V(F_0)+V(F_1)+...+V(F_n)+....=`
    `=pi*2^16*sum_(n=0)^oo(2n+1)/2^n=pi*2^16*S`.
    5. `S=sum_(n=0)^oo1/2^n+2sum_(n=0)^oon/2^n=A+2B`,
    где `A=2` - сумма бесконечной геометрической прогрессии с `q=1/2, b_1=1`.
    `B=1/2+2/2^2+3/2^3+...+n/2^n+....=1/2+(1/2^2+1/2^2)+(1/2^3+1/2^3+1/2^3)+...+(1/2^n+...+1/2^n)+...=`
    `=(1/2+1/2^2+...+1/2^n+...)+(1/2^2+1/2^3+...+1/2^n+...)+....+(1/2^n+1/2^(n+1)+....)+....=`
    `=B_1+B_2+...+B_n+....`, где `B_i=1/2^(i-1) => B=2 => S=6`.

    Ответ: `V=2^17*3*pi`.

    Вероятно, для получения полного балла по задаче, надо строго показать, что `V->2^17*3*pi` (см. п.3).

Рассылка решений заочных туров олимпиад по математике