Рассылка решений заочных туров олимпиад по математике

Подписывайтесь на нашу рассылку решений заочных туров всех олимпиад по математике: Ломоносов, Покори Воробьевы горы, Высшая проба, Физтех 2018 и другие перечневые олимпиады.

Очный тур олимпиады по математике Покори Воробьевы горы 2013-2014 / Задания и решения


  • Сезон олимпиад 2016-2017 открыт!
    Идет запись на наши курсы подготовки к олимпиадам по математике с гарантированным результатом.
    image
    1. Индивидуальные занятия и консультации.
    2. Помощь в прохождении заочных туров олимпиад. Одна олимпиада 1-5 тыс. руб.
    3. Помощь эксперта на очных турах олимпиад. Одна олимпиада от 30 тыс. руб.
    4. Гарантия успешного результата (курсы ведутся пятый сезон).

    Стоимость курсов от 3000 до 25000 руб. в месяц. Стандартный курс - 10000 руб. в месяц. Длительность курсов - 6 месяцев.
    В составе стандартного курса заочные туры 10 олимпиад и очные туры 2 олимпиад.
    Посмотреть тарифные планы и подробную информацию по курсам подготовки.

    Олимпиада Покори Воробьевы горы 2015-2016 - задания и решения отборочного этапа по математике
    Очный тур олимпиады по математике Покори Воробьевы горы 2013-2014. Задания и решения.

    image
    image
  • Вариант 2. Задача №1.
    В периодической десятичной дроби `0,727272...`  первую цифру после запятой заменили на `2`. Во сколько раз полученное число меньше исходного?

    Решение:
    `a=0,727272...`
    `b=0,227272...`
    Надо найти отношение `a/b`.
    `a-b=0,5`

    Используем формулу суммы бесконечной геометрической прогрессии.
    `a=0.72+0.72*1/100+0.72*1/10000+...`
    `a_1=0.72, q=0.01 => S=(a_1)/(1-q)=(0.72)/(0.99)=8/11`
    `b=a-0.5=8/11-1/2=5/22`
    `a/b=8/11*22/5=16/5=3.2`

    Ответ: `3.2`.
  • Вариант 2. Задача №2.
    Найдите все значения `y`, при каждом из которых ни одно значение `x`, удовлетворяющее неравенству
    `log_(1/2)(|x|+|y-8|)>= -3`, не удовлетворяет неравенству `log_2(|x|+|y|)<=3`.

    Решение:
    Задача с нетипичной формулировкой, выглядит сложной, но решается просто.
    Решим первого нер-во относительно `x` (рассматривая `y` как параметр):
    `|x|+|y-8|<=(1/2)^(-3)`
    `|x|+|y-8|<=8`
    `|x|<=8-|y-8|`.
    Если данное нер-во не имеет решений относительно `x`, значит условие задачи выполнено, поскольку "ни одно значение `x` из первого нер-ва, не будет решением и второго нер-ва, этих решений просто нет".
    Нер-во не имеет решений `iff` правая часть отрицательна:
    `8-|y-8|<0`
    `|y-8|>8`
    `y in (-oo;0)uu(16;+oo)`.
    При всех остальных `y`, нер-во имеет решения `x in [|y-8|-8;8-|y-8|]`.

    Решим второе нер-во (при условии, что `y in [0;16]`):
    `|x|+|y|<=8`
    `|x|<=8-|y|`.
    Если данное нер-во не имеет решений, то условие задачи опять выполнено.
    `8-|y|<0 iff |y|>8`
    `y in (8;16]` - получили новые значения.
    Теперь надо рассмотреть отдельно особые случаи `x=0;8`, при которых условие задачи выполнено (проверяем самостоятельно).
    Остались значения `y in (0;8)`, при которых оба нер-ва имеют решения:
    `x in [|y-8|-8;8-|y-8|]`,
    `x in [|y|-8;8-|y|]`.
    По условию задачи, полученные отрезки не должны пересекаться. Это невозможно, поскольку `x=0` входит в оба отрезка.

    Ответ: `x in (-oo;0]uu[8;+oo)`.
  • Вариант 2. Задача №3.
    Четырехугольник `PQRS` со сторонами `PQ=6sqrt2, RS=2sqrt6` вписан в окружность радиуса `2sqrt6`, центр которой находится внутри четырехугольника. Найдите площадь этого четырехугольника, если точка пересечения прямых `PS` и `QR` находится на расстоянии `6sqrt2` от центра окружности.

    Решение:
    1) Обозначим точку пересечения `RQ` и `PS` как `V`, а центр окр. как `O`.
    2) Из теоремы косинусов в треуг. `POQ`:
    `72=48-48*cos(QOP), cos(QOP)=-0.5`, откуда `/_QOP=120^0` и `/_OQP=/_OPQ=30^0` (т.к. `QO=PO`)
    3) Обозначим `RQO=ORQ=a`, тогда если опустить высоту `OA` в треуг. `QRO` то получим, что `OA=sin(a)*2sqrt(6)` и `QA=AR=2sqrt(6)*cos(a)` (т.к. `QO=OR`)
    4) Опустив высоту `OB`, в треуг. `SOP`, получим, что `OB=2sqrt(6)*sin(a)` и `SB=BP=sin(a)*2sqrt(6)`
    5) Из прямоуг. треуг. `AOV` и `VOP` получим, что `VA=sqrt(72-24sin^2(a))` и `VB=sqrt(72-24cos^2(a))`.
    6) По теореме о секущих: `VR(VR+RQ)=VS(VS+PS)`.
    Или `(sqrt(72-24sin^2(a))-2sqrt(6))(sqrt(72-24sin^2(a))+2sqrt(6))=`
    `=(sqrt(72-24cos^2(a))-2sqrt(6))(sqrt(72-24cos^2(a))+2sqrt(6))`
    `<=>`
    `72-24sin^2(a)-24=72-24cos^2(a)-24 <=> cos^2(a)-sin^2(a)=0`
    `<=> cos(2a)=0`, т.к. `a<90^0` (т.к. `/_QOA=90^0-a`) то `a=45^0`.
    7) Т.к. `cos(45)=sin(45)` то `QR=PS=2sin(a)*2sqrt(6)=4*sqrt(3)`.
    Т.к. `/_RQP=75^0=180^0-105^0=180^0-/_QRS` то `PQ||RS`.
    `S_(PQRS)=S_(QOR)+S_(ROS)+S_(POS)+S_(QOP)`
    `S_(QOR)=S_(POS)=0.5*OA*QR=12`, т.к. `ROS` - прав. треуг. то `S_(ROS)=OR^2*sqrt(3)/4=6sqrt(3)`
    `S_(QOP)=0.5*QO*OP*sin_(QOP)=6sqrt(3)`
    `S_(PQRTS)=12+12+6*sqrt(3)+6*sqrt(3)=24+12sqrt(3)`

    Ответ: `24+12sqrt(3)`.
  • Вариант 2. Задача №4.
    Числа `x` и `y` удовлетворяют соотношению
    `5sin(x-3y)-3cos(x+3y)+4sin(x+3y)=10`.
    Определите минимальное значение величины `|x-y|`.

    Решение:
    Докажем, что `4sint-3cost<=5`, при любых значениях `t`.
    Поделим обе части на `5`:
    `f=4/5sint-3/5cost`
    Пусть `4/5=cosa`, тогда `3/5=sina`, где `a=arcsin(3/5)`.
    Значит `f=cosa*sint-sina*cost=sin(t-a)<=1` чтд.

    Итак, `-3cos(x+3y)+4sin(x+3y)<=5`.
    Также `5sin(x-3y)<=5`.
    Значит, наше выражение `5sin(x-3y)-3cos(x+3y)+4sin(x+3y)<=10`,
    при этом равенство возможно, только если оба выражения принимают максимальные значение.
    Т.е. `sin(x-3y)=1, x-3y=pi/2+2pin`, где `n` - целый.
    `-3cos(x+3y)+4sin(x+3y)=5`.
    Последнее равенство возможно только если `sin(t-a)=1`.
    `t-a=pi/2+2pik`
    `t=a+pi/2+2pik`
    `x+3y=arcsin(3/5)+pi/2+2pik`, где `k` - целый.

    Получили систему:
    `x-3y=pi/2+2pin`, где `n` - целый
    `x+3y=arcsin(3/5)+pi/2+2pik`, где `k` - целый

    Сложим:
    `x=pi/2+1/2arcisn(3/5)+pi*(n+k)`
    `3y=x-pi/2-2pin=1/2arcsin(3/5)+pi*(k-n)`
    `y=1/6arcsin(3/5)+1/3*pi*(k-n)`

    Тогда `|x-y|=|pi/2+1/2arcsin(3/5)+pi*(n+k)-1/6arcsin(3/5)-1/3pi*(k-n)|`
    `|x-y|=|pi/2+1/3arcsin(3/5)+pi*(2/3k+4/3n)|`.
    `|x-y|=|pi/2+1/3arcsin(3/5)+2/3pi*(k+2n)|`.

    Выражение `2/3pi*(k+2n)` при целых `k,n` может принимать значения `2/3pi*m`, где `m` любое целое число, поскольку `k+2n` могут принимать любые целые значения и никакие другие.
    Можем сказать, что `n=0, k=m`.
    `3/5 in [1/2;1/sqrt2] => arcsin(3/5) in [pi/6;pi/4]`
    `pi/2+1/3arcsin(3/5) in [pi/2+pi/18; pi/2+pi/12] = [5/9pi;7/12pi]`
    Понятно, что для минимума `|x-y|` надо взять `m=-1`.
    `|x-y|=|pi/2+1/3arcsin(3/5)-2/3pi|=|1/3arcsin(3/5)-pi/6|=`
    `=pi/6-1/3arcsin(3/5)`.

    Ответ: `pi/6-1/3arcsin(3/5)`.
  • Вариант 2. Задача №5.
    Одно основание правильной `n`-угольной призмы (`n>=3`) имеет `n` общих точек со сферой радиуса `root(3)3`; другое основание имеет с этой сферой одну общую точку. Какие значения может принимать объем призмы?

    Решение:
    image
    Из того, что верхнее основание имеет со сферой одну точку, можно сделать вывод, что оно касается сферы.
    Нижняя грань для объема призмы будет `0` так как если мы будем уменьшать радиус окружности правильного многоугольника (радиус призмы), то ее высота будет ограничена диаметром сферы, а радиус будет стремится к нулю.
    Максимальный же объем достигается при `n -> oo` (мы будем стремиться к цилиндру).
    Рассмотрим цилиндр, нижнее основание которого касается сферы всей окружность, а верхнее касается полюса сферы в одной точке.
    Мы знаем, что радиус сферы - `root(3)3`.
    Найдем высоту и радиус цилиндра, такие, что его объем будет максимальным.
    Для того, что бы выполнялись условия касания, достроим системы координат, и заметим,
    что высота цилиндра равна `(1+cos(alpha))root(3)3`, радиус цилиндра равен `rot(3)3*sin(alpha)`.
    Объем равен `pi*r^2*h`, найдем альфа такой, что бы объем был максимален, тогда `(root(3)3)^3 = 3`, получаем `V = pi*3*sin^2(alpha)*(1-cos(alpha))`.
    Заменим `cos(alpha)` на `x`, `sin^2(alpha)` на `1-x^2`,  и получим:
    `f = pi*3*(1-x^2)*(1-x), -1 <= x <= 1`
    Найдем производную, `f' = 3pi*(3x^2 - 2x - 1)`
    Она равна нулю в точках `1` и `-1/3`
    В точке `-1/3` функция `f(x)` принимает максимальное значение равное `32/9pi`.

    Ответ: `0 <= V <= 32/9pi`.
  • Уфа. Вариант 2. Задача №1.
    Решите неравенство
    `sqrt(9-x)*|x^2-1|<=sqrt(9-x)*|x^2-10x+13|`.

    Решение:
    Найдем ОДЗ: `9-x>=0 iff x<=9`.
    Перенесем все в одну сторону и вынесем за скобки общий множитель:
    `sqrt(9-x)*(|x^2-1|-|x^2-10x+13|)<=0`.
    Особый случай x=9: 0<=0 - верно, поэтому `x=9` является решением нер-ва.
    Пусть `x<9`, тогда выражение `sqrt(9-x)` строго положительно и мы можем поделить наше нер-во на данное выражение, получив эквивалентное неравенство.
    `|x^2-1|-|x^2-10x+13|<=0`
    `|x^2-1|<=|x^2-10x+13|`
    Дальше можно решить в лоб, либо использовать правило `|a|<=|b| iff a^2<=b^2`.
    `(x^2-1)^2<=(x^2-10x+13)^2`
    `x^4-2x^2+1<=x^4+100x^2+169-20x^3+26x^2-260x`
    `20x^3-128x^2+260x-168<=0`
    `5x^3-32x^2+65x-42<=0`
    Далее левая часть раскладывается на множители (раскладываем самостоятельно):
    `(x-2)(x-3)(5x-7)<=0`
    `x in (-oo;7/5]uu[2;3]`. В пересечении с ОДЗ решение остается прежним.

    Ответ: `x in (-oo;7/5]uu[2;3]uu{9}`.

  • Уфа. Вариант 2. Задача №2.
    Два брата родились в один день, но в разные годы. Оказалось, что в `2014` году каждому из них исполнилось столько лет, какова сумма цифр его года рождения. Определите год рождения каждого из братьев.

    Решение:
    Максимальная сумма цифр года рождения, не превышающего `2014`, равна `1+9+9+9=28`. Нету года с бОльшей суммой цифр.
    Значит максимальный возраст обоих братьев - `28` лет `=>` они родились в промежутке с `1986` года по `2014` год.
    Пусть кто-то родился до `2000` года.
    Тогда он родился в промежутке с `1986` до `1999` года, значит его возраст от `15` до `28` лет.
    А сумма цифр чисел на отрезке `[1986;1999]` не больше `28` (`1+9+9+9`) и не меньше `19` (`1+9+9+0`).
    Не меньше `19` лет, значит родился он не позже `1995` года.
    Перебор:
    Год - сумма цифр - возраст
    `1986 - 24 - 28`
    `1987 - 25 - 27`
    `1988 - 26 - 26`
    `1989 - 27 - 25`
    `1990 - 19 - 24`
    `1991 - 20 - 23`
    `1992 - 21 - 22`
    `1993 - 22 - 21`
    `1994 - 23 - 20`
    `1995 - 24 - 19`
    Подходит только `1988` год, значит один из братьев родился в `1988` году. 
    Следовательно второй брат родился с `2000` по `2014` год.
    Максимальная сумма цифр равна `2+0+0+9=11`, значит он родился не раньше `2003` года.
    Если он родился в `2011` году или позже, то его возраст не больше `3` лет, а сумма больше `3` лет.
    Остальные года снова переберем:
    `2003 - 5 - 11`
    `2004 - 6 - 10`
    `2005 - 7 - 9`
    `2006 - 8 - 8`
    `2007 - 9 - 7`
    `2008 - 10 - 6`
    `2009 - 11 - 5`
    `2010 - 3 - 4`
    Годится только `2006` год, значит второй брат родился в `2006` году.

    Ответ: `1988` и `2006`.
  • Уфа. Вариант 2. Задача №3.
    Решите уравнение
    `6cos9x*cos2x=1+3cos11x+2cos^3(7x)`.

    Решение:
    Переносим все в правую часть:
    `2*cos^3(7x) + 3*cos(11x) + 1 - 6*cos(9x)*cos(2x) = 0`
    По формуле произведения косинусов, `6*cos(9x)*cos(2x) = 3*(cos(11x) + cos(7x))`
    `2*cos^3(7x) + 3*cos(11x) + 1 - 3*cos(11x) - 3*cos(7x) = 0`
    `2*cos^3(7x) - 3*cos(7x) + 1 = 0`
    Сделаем замену, пусть `cos(7x) = y`, тогда
    `2*y^3 - 3y + 1 = 0`
    Получили кубическое уравнение, легко угадать первый корень `y = 1`.
    Разделим на `y-1`, получим:
    `(y - 1)*(2y^2 + 2y - 1) = 0`.
    Решим квадратное уравнение `2y^2+2y-1=0`.
    Дискриминант равен `4 + 8 = 12`
    `y_1 = (-2 + 2*sqrt(3))/4 = -1/2 - sqrt(3)/2`
    `y_2 = sqrt(3)/2 - 1/2`
    Вернемся к косинусам:
    1) `cos(7x) = 1`, тогда `7x = 2pi*k, x = 2*pi*k/7`, `k in ZZ`.
    2) `cos(7x) = -1/2 - sqrt(3)/2 < -1`, корней нет.
    3) `cos(7x) = sqrt(3)/2 - 1/2`,
    `7x = arccos(sqrt(3)/2 - 1/2) + 2pi*k, x = arccos(sqrt(3)/2 - 1/2)/7 + 2*pi*k/7`, `k in ZZ`.
    Получили две серии корней.
  • Уфа. Вариант 2. Задача №4.
    В треугольной пирамиде `SABC` ребра `SA, SB, SC` не длиннее, чем `3,4` и `5`, соответственно, а площади граней `SAB, SAC, SBC` не меньше, чем `6, 15/2` и `10`, соответственно. Найдите объем пирамиды `SABC`.

    Решение:
    1) `S_(SAB)=1/2SA*SB*sin(/_ASB)<=1/2*3*4*sin(/_ASB)=`
    `=6*sin(/_ASB)`.
    С другой стороны, `S_(SAB)>=6 => 6<=S_(SAB)<=6*sin(/_ASB)`.
    `=> sin(/_ASB)>=1  => sin(/_ASB)=1 => /_ASB = pi/2`.

    2) `S_(SAC)=1/2SA*SC*sin(/_ASC)<=1/2*3*5*sin(/_ASC)=`
    `=15/2*sin(/_ASC)`.
    С другой стороны, `S_(SAC)>=15/2 => 15/2<=S_(SAC)<=15/2*sin(/_ASC)`.
    `=> sin(/_ASC)>=1  => sin(/_ASC)=1 => /_ASC = pi/2`.

    3) `S_(SCB)=1/2SC*SB*sin(/_CSB)<=1/2*5*4*sin(/_CSB)=`
    `=10*sin(/_CSB)`.
    С другой стороны, `S_(SCB)>=10 => 10<=S_(SCB)<=10*sin(/_CSB)`.
    `=> sin(/_CSB)>=1  => sin(/_CSB)=1 => /_ASB = pi/2`.

    4) `S_(SAB)=1/2*SA*SB*sin(/_ASB) = 1/2*SA*SB >= 6`
    `=> SA*SB>=12`,
    но из того, что `SA<=3` и `SB<=4 => SA=3` и `SB=4`.

    5) `S_(SAC)=1/2*SA*SC*sin(/_ASC) = 1/2*SA*SC >= 15/2`
    `=> SA*SC>=15`,
    но из того, что `SA<=3` и `SC<=5 => SA=3` и `SC=5`.

    6) Все три угла при вершине `S` равны `pi/2 => SC _|_` плоскости `SAB =>` мы можем рассматривать пирамиду как прямоугольную пирамиду с основанием `SAB` и тогда `SC` будет высотой `=> V_(SABC) = 1/3*S_(SAB)*SC = 1/3*1/2*3*4*5=10`.

    Ответ: `V_(SABC)=10`.
  • Уфа. Вариант 2. Задача №5.
    Найдите все значения a, при каждом из которых система
    `y-a^2+5(a-1)=(a^2-5a+6)(x-3)^6+sqrt((x-3)^2)`,
    `x^2+y^2=2(3x-4)`
    имеет ровно одно решение.

    Решение:
    Преобразуем второе уравнение
    `x^2-6x+8+y^2=0`,
    `(x-3)^2+y^2=1`.

    Пусть `|x-3|=t, t>=0, a^2-5a+6=b`.
    Тогда система запишется как
    `y-b+1=b*t^6+t` т.к. `sqrt((x-3)^2)=|x-3|=t`
    `t^2+y^2=1`

    Если `t>0`, значит каждому такому `t` соотв. два решения `x=3+-t`.
    Чтобы исходная система имела решение, необходимо, чтобы вторая система имела минимум одно решение `(t,y)`, где `t>=0`
    Но если такое решение есть и при этом `t>0`, тогда мы получим два решения `(x,y)` исходной системы.
    Поэтому `t=0`.
    Подставим во вторую систему:
    `y-b+1=0 => y=b-1`,
    `y^2=1 => y=+-1`.

    Если `b-1=1 => b=2`, при этом у исходной системы `x=3, y=1` - решение, единственность проверим.
    `a^2-5a+6=2`,
    `a^2-5a+4=0`,
    `a=1` или `a=4`.

    Если `b-1=-1 =>b=0`, при этом у исходной системы `x=3, y=-1` - решение, единственность проверим.
    `a^2-5a+6=0`,
    `a=2` или `a=6`.

    Проверка:
    Вторая система должна иметь единственное решение `(t,y)`, где `t=0`.
    Пусть `b=0`:
    `y=t-1`
    `t^2+y^2=1`
    `t^2+(t-1)^2=1`
    `2t^2-2t=0`
    `t=0` или `t=1`
    Если `t=1 => x=2;4, y=0` - получили еще решения, не годится.

    Пусть `b=2`:
    `y-1=2t^6+t`
    `t^2+y^2=1`

    `y=2t^6+t+1`.
    Если `t>0`, значит `y=2t^6+t+1 > 1`, значит `t^2+y^2 > 1`, т.е. система решений не имеет.
    Поэтому остается только `t=0`.
    Значит `b=2 => a=1;4`.

    Ответ: `a=1;4`.

Рассылка решений заочных туров олимпиад по математике