Рассылка решений заочных туров олимпиад по математике

Подписывайтесь на нашу рассылку решений заочных туров всех олимпиад по математике: Ломоносов, Покори Воробьевы горы, Высшая проба, Физтех 2018 и другие перечневые олимпиады.

Олимпиада Физтех 2014 по математике / Задания и решения очного тура


  • Сезон олимпиад 2016-2017 открыт!
    Идет запись на наши курсы подготовки к олимпиадам по математике с гарантированным результатом.
    image
    1. Индивидуальные занятия и консультации.
    2. Помощь в прохождении заочных туров олимпиад. Одна олимпиада 1-5 тыс. руб.
    3. Помощь эксперта на очных турах олимпиад. Одна олимпиада от 30 тыс. руб.
    4. Гарантия успешного результата (курсы ведутся пятый сезон).

    Стоимость курсов от 3000 до 25000 руб. в месяц. Стандартный курс - 10000 руб. в месяц. Длительность курсов - 6 месяцев.
    В составе стандартного курса заочные туры 10 олимпиад и очные туры 2 олимпиад.
    Посмотреть тарифные планы и подробную информацию по курсам подготовки.

    Олимпиада Физтех 2016 - задания и решения отборочного этапа по математике.
    Олимпиада Физтех 2014 по математике. Задания и решения очного тура.

    Внимание: задания и решения онлайн-этапа олимпиады Физтех 2015 размещены в другой теме - перейти по ссылке.

    image
    image
    image
    image
    image
    image
    image
  • Регионы. Вариант 1. Задача №1.
    Решите систему уравнений
    `{(y^3-x^2-xy+1 = 0),(2y^2-3x^2-5xy-2y^2+2 = 0):}`

    Решение:
    Вычтем из второго уравнения первое уравнение умноженное на `2`, получим:
    ` -x^2-3xy-2y^2 = 0`.
    Домножим на `-1`, разложим на множители, получим:
     `(x+y)(x+2y) = 0`.
    Возможны два варианта:
    1. `y = -x`.
    2. `y = -x/2`.
    Рассматриваем первый вариант, подставляем `y=-x` в первое уравнение:
    `-x^3-x^2+x^2+1 = 0`,
    `x^3 = 1`,
    `x = 1`.
    В этом случае `y = -1`.
    Второй случай, подставляем `y = -x/2` в первое уравнение, получим:
    `-x^3/8-x^2/2+1 = 0`.
    Домножим на `-8`:
    `x^3+4x^2-8 = 0`.
    Получили уравнение третьей степени, угадаем первый корень (или можно сразу разложить на множители):
    `x = -2` является корнем уравнения (подставив получим тождество).
    Делим наше уравнение на `(x+2)`, получим:
    `(x+2)(x^2+2x-4) = 0`.
    Решаем квадратное уравнение `x^2+2x-4 = 0`.
    Дискриминант равен `4+16 = 20`.
    Корни `x_1 = sqrt(5)-1, x_2 = -1-sqrt(5)`.

    Ответ: `[x = -2, y = 1]`,
    `[x = 1, y = -1]`,
    `[x = -1-sqrt(5), y = 1/2 + sqrt(5)/2]`,
    `[x = sqrt(5)-1, y = 1/2 - sqrt(5)/2]`.
  • Регионы. Вариант 1. Задача №2.
    Решите уравнение
    `cosx/(sinx+cosx)+tan2x=(sqrt(3)sinx)/(sinx-cosx)`.

    Решение:
    ОДЗ: `sinx != cosx, sinx != -cosx, cos2x!=0`,
    следовательно `cos^2x != sin^2x` или `cos2x!=0`.

    Домножим уравнение на `(sinx-cosx)(sinx+cosx)`:
    `sinxcosx-cos^2x + (sin^2x-cos^2x)(sin2x)/(cos2x) =`
    `=sqrt(3)sin^2x+sqrt(3)sinxcosx`,
    `sinxcosx-cos^2x - (cos2xsin2x)/(cos2x) = sqrt(3)sin^2x+sqrt(3)sinxcosx`, т.к. `cos2x!=0`, то можем сократить дробь в уравнении.
    `sinxcosx-cos^2x - 2sinxcosx = sqrt(3)sin^2x+sqrt(3)sinxcosx`,
    `sqrt(3)sin^2x + sqrt(3)sinxcosx  + sinxcosx + cos^2x = 0`,
    `sqrt(3)sinx(sinx+cosx) + cosx(sinx+cosx) = 0`,  
    `(sinx+cosx)(sqrt3sinx+cosx)=0` - делим на `2(sinx+cosx)` (учтено в ОДЗ),
    `sqrt(3)/2sinx + 1/2cosx = 0`,
    `sinxcos(pi/6)+cosxsin(pi/6) = 0`,
    `sin(x+pi/6)=0`.
    `x+pi/6 = pi*k`, где `k` - целое,
    `x = -pi/6 + pi*k`.
    ОДЗ проверяется легко, т.к. при таких `x` получаем `cos2x=cos(pi/3)=1/2`.

    Ответ: `x = -pi/6+pik, k in ZZ`.
  • Регионы. Вариант 1. Задача №3.
    Решите уравнение
    `log_(7x-6)(7x^2+x-6)log_(x+1)(x^3+1)=`
    `=log_(7x-6)(7x^2+x-6)+log_(x+1)(x^3+1)`.

    Решение:
    ОДЗ:
    `7x-6>0 => x > 6/7`.
    `7x^2+x-6>0`,
    `(x+1)(7x-6)>0`,
    `7x-6` уже положительный, поэтому `x+1>0 => x> -1`.
    `7x-6 != 1 => x != 1`.
    `x+1>1` т.к. `x> 6/7`.
    `x^3+1>0` - всегда верно, т.к. `x>6/7`.
    Окончательный ОДЗ: `x in (6/7;1)U(1;+oo)`.

    Введем обозначения `log_(7x-6)(7x^2+x-6)=a, log_(x+1)(x^3+1)=b`.
    Тогда из уравнения следует, что `ab=a+b`,
    `ab-a-b=0`,
    `ab-a-b+1=1`,
    `(a-1)(b-1)=1`.
    Но `a-1=log_(7x-6)(7x^2+x-6)-1=log_(7x-6)(x+1)`.
    `b-1=log_(x+1)(x^3+1)-1=log_(x+1)(x^2-x+1)`.
    Тогда `(a-1)(b-1)=log_(7x-6)(x^2-x+1)`.
    Все операции эквивалентны на нашем ОДЗ.
    `log_(7x-6)(x^2-x+1)=1`,
    `x^2-x+1=7x-6`,
    `x^2-8x+7=0`,
    `x=1` или `x=7`.
    Первый корень не годится по ОДЗ.

    Ответ: `x=7`.
  • Регионы. Вариант 1. Задача №4.
    Четырехугольник `ABKD` вписан в окружность `Omega` радиуса `sqrt37`. На стороне `KD` выбрана точка `C` так, что `/_BCD=90^0`. Окружность `omega` радиуса `6`, описанная вокруг треугольника `BCK`, касается отрезка `AD` и касается прямой `AB`. Найдите длину отрезка `AB`, угол `BAD` и площадь четырехугольника `ABCD`.

    Решение:
    1) `/_BCK = 90^0 =>` треугольник `BCK` - прямоугольный и центр описанной окружности - это середина `BK` (обозначим ее `O`), длина `BK` - равна диаметру описанной вокруг `BCK` окружности и равна `12`.
    Т.к. окружность описанная вокруг треуг. `BCK` касается прямой `AB`, то `/_ABK = 90^0`. Тогда `AK` - диаметр описанной вокруг `ABKD` окружности и длина `AK` равна `2*sqrt(37)`.
    `/_ABK+/_ADK=180^0 => /_ADK=90^0`.
    Треугольник `ABK` - прямоугольный (т.к. `/_ABK` - прямой),
    тогда `AB=sqrt(AK^2-BK^2)=sqrt(4*37-144)=sqrt(4)=2`.

    2) Окружность описанная вокруг треуг. `BCK` касается отрезка `AD`, обозначим точку касания `H`, тогда `OH = 6`.
    `/_BKC=alpha, alpha` - острый угол, т.к. `/_BCK` тупой.
    `/_BOH=alpha`, т.к. `OH||KD`, это следует из `OH _|_ AD` и `KD _|_ AD`.
    `/_BAD=180^0-alpha`.
    треуг. `ABO=` треуг. `AHO`, т.к. `/_OBA=/_OHA=90^0, OB=OH=6` и `AO` - общая гипотенуза, тогда `/_BOA=/_HOA=alpha/2`.
    `sin(alpha/2)=(AB)/(AO)=2/sqrt(AB^2+BO^2)=2/sqrt(4+36)=1/sqrt(10)`.
    `cos(alpha/2)=(OB)/(AO)=6/sqrt(40)=3/sqrt(10)`.

    `sin(alpha)=2sin(alpha/2)cos(alpha/2)=2*1/sqrt(10)*3/sqrt(10)=6/10=3/5`,
    `cos(alpha)=4/5`.
    Тогда `/_BAD=180^0-alpha=180^0-arcsin(3/5)`.

    3) `ABCD` - прямоуг. трапеция, т.к. `/_ADK=/_BCK=90^0`.
    `BC=BK*sin(alpha)=12*3/5=36/5`.
    `/_KBC=90^0-alpha`.
    `/_ABC=/_ABK-/_KBC=90^0-90^0+alpha=alpha`.
    `DC=AB*sin(alpha)=2*3/5=6/5`.
    `AD=BC-AB*cos(alpha)=36/5-2*4/5=28/5`.
    `S_(ABCD)=CD*(AD+BC)/2 = 6/5 * (28/5+36/5)/2=3/5*64/5 = 192/25`.

    Ответ: 1) `AB=2`.
    2) `/_BAD=180^0-arcsin(3/5)`.
    3) `S_(ABCD)=192/25`.
  • Регионы. Вариант 1. Задача №5.
    Есть `8` карточек с цифрами `0;3;4;5;6;7;8;8`. Сколько существует различных семизначных чисел, делящихся на `15`, которые можно сложить из этих карточек.

    Решение:
    1) Число делится на `15` тогда и только тогда, когда число делится на `3` и на `5`.
    2) Число делится на `5` тогда и только тогда, когда последняя цифра `0` или `5`.
    3) Число делится на `3` тогда и только тогда, когда сумма цифр делится на `3`.

    Посчитаем сумму цифр на всех карточках: `0+3+4+5+6+7+8+8=41`.
    Чтобы посчитать всевозможные суммы `7` цифр, надо отнять от `41` цифры `0,3,4,5,6,7,8`:
    `41, 38, 37, 36, 35, 34, 33`. Только `36` или `33` делятся на `3`.
    Значит выкидывается либо `5`, либо одна из цифр `8`.

    Пусть выкидывается `5`.
    Чтобы была делимость на `5`, необходимо, чтобы последняя цифра равнялась `0`.
    Значит первые `6` цифр берем из набора `3,4,6,7,8,8`.
    Всего чисел будет `6 != 720`.
    Надо исключить дубли, которые появляются из-за восьмерок.
    Каждое число посчиталось ровно `2` раза, поскольку восьмерок ровно `2`, поэтому всего различных чисел `720/2=360`.

    Пусть выкидывается первая восьмерка. Все эти числа будут отличаться от предыдущих, ведь в них будет по одной цифре `8`.
    Последняя цифра `0` или `5`.
    Если `0`, тогда из цифр `3,4,5,6,7,8` складываем `6`-значные числа, их будет `6! = 720` штук.
    Если `5`, тогда аналогично будет `720` штук. При этом эти числа отличаются от первых `720`.
    Теперь надо убрать те числа, в начале которых стоит `0`, поскольку это не семизначные числа. Таких чисел `5! = 120`, поэтому всего чисел остается `720-120=600`.

    Если выкинуть вторую восьмерку, тогда будут те же `720+600=1320` чисел.

    Итого чисел `1320+360=1680`.

    Ответ: `1680`.
  • Регионы. Вариант 1. Задача №6.
    Найдите все значения переменной `x`, при каждом из которых оба выражения
    `f(x)=tan^2((picosx)/(2sqrt2))+cottan^2((picosx)/(2sqrt2))` и
    `g(x)=(sqrt(15-2x-x^2)+2x+4)/(2+x)`
    определены, причем значение меньшего из выражений не превосходит двух (если два числа равны, то меньшим считается любое из них).

    Решение:
    Пусть `(picosx)/(2sqrt2)=y`, тогда `siny*cosy!=0, sin2y!=0`,
    `2y!=pik, k in ZZ, y!=1/2pik, k in ZZ`.
    `(picosx)/(2sqrt2)!=1/2pik`,
    `cosx!=ksqrt2, k in ZZ`.
    В силу того, что `|cosx|<=1`, подходит только `k=0`:
    `cosx!=0, x!=pi/2+pin, n in ZZ`.
    Нашли значения `x`, при которых определено первое выражение.
    `15-2x-x^2>=0, x!=-2`,
    `x^2+2x-15<=0, x!=-2`,
    `x in [-5;-2)uu(-2;3]`.
    Нашли значения `x`, при которых определено второе выражение.
    При `n<=-3` плохие значения `x` выпадают из найденных интервалов.
    `n=-2: x!=-3/2pi in (-4,5;-5)`,
    `n=-1: x!=-pi/2 in (-2;-1,5)`,
    `n=0: x!=pi/2 in (1,5;2)`,
    `n=1: x!=3/2pi>3`.
    `x in [-5;-3/2pi)uu(-3/2pi;-2)uu(-2;-pi/2)uu(-pi/2;pi/2)uu(pi/2;3]` - нашли все значения `x`, при которых определены оба наших выражения.

    Найдем такие значения `x`, при которых значения меньшего из выражений не превосходит двух.
    Во-первых, заметим, что `f(x)>=2` как сумма взаимно-обратных положительных величин.
    Действительно, `a^2+1/a^2-2=(a^2-1)^2/(2a^2)>=0`.
    `g(x)=sqrt(15-2x-x^2)/(x+2)+2=h(x)+2` - разбили дробь на две дроби.
    Если `h(x)>0`, тогда `g(x)>2`, при этом условие задачи выполнено только если `f(x)=2` (меньше двух не может быть).
    Если `h(x)<=0`, тогда условие задачи выполнено.
    Разберем первый случай: пусть `x> -2` или `x in (-2;-pi/2)uu(-pi/2;pi/2)uu(pi/2;3]` (в пересечении с найденным ОДЗ).
    Если `x=3`, тогда `g(x)=2` - годится.
    Если `x!=3 => g(x)>2`, значит `f(x)=2 => tan((picosx)/(2sqrt2))=+-1`.
    `(picosx)/(2sqrt2)=+-pi/4+pim, m in ZZ`,
    `cosx=+-sqrt2/2+2msqrt2, m in ZZ`.
    Подходит только `m=0 => cosx=+-sqrt2/2 => x=+-pi/4+pik, k in ZZ`.
    На наших интервалах находятся точки `x=-pi/4, pi/4, 3/4pi`.
    Итак, в первом случае получили решения `x=-pi/4, pi/4, 3/4pi, 3`.

    Второй случай: `x in [-5;-3/2pi)uu(-3/2pi;-2)`.
    `x=-5` годится, т.к. тогда `g(x)=2`.
    Если `x in (-5;-3/2pi)uu(-3/2pi;-2) => h(x)<0 => g(x)<2` - тоже годится.

    Ответ: `x in [-5;-3/2pi)uu(-3/2pi;-2)uu{-pi/4, pi/4, 3/4pi, 3}`.
  • Регионы. Вариант 1. Задача №7.
    В треугольной пирамиде `SABC` из вершины `S` опустили высоту `SH`. Известно, что `SH=6, AC>BC, AB<AC`. Сфера, построенная на отрезке `SH` как на диаметре, проходит через середины четырех ребер пирамиды.
    а) Найдите длину ребра `AC` и угол `ABC`.
    б) Пусть дополнительно известно, что прямая, проходящая через вершину `B` и середину ребра `SC`, касается сферы. Найдите объем пирамиды `SABC`.

    Решение:
    а) Поскольку сфера построена на высоте пирамиды как на диаметре, она касается плоскости основания `ABC`.
    Значит, сфера имеет с плоскостью `ABC` ровно одну общую точку `H` и эта точка является серединой одного из рёбер.
    Поскольку сфера проходит через середины четырёх рёбер пирамиды, она также пересекает отрезки `SA, SB, SC` в их серединах – точках `K, L, M` соответственно.
    Из касания сферы с плоскостью `ABC` следует, что `SH _|_ AH, SH _|_ BH, SH _|_ CH`.
    Значит, треугольники `AHS, BHS` и `CHS` прямоугольные. Отрезки `OK, OL, OM` являются их средними линиями.
    Следовательно, `AH=2*OK=2R, BH=2R, CH=2R`.
    По теореме Пифагора находим, что `SA=SB=SC=2Rsqrt2`.
    Предположим, что `H in BC`. Тогда получаем, что в треугольнике `ABC` медиана `AH` равна половине той стороны, к которой она проведена.
    Отсюда следует, что треугольник `ABC` – прямоугольный с прямым углом при вершине `A`, т.е. отрезок `BC` является его самой длинной стороной, что противоречит условию.
    Аналогично доказывается, что `H` не может принадлежать `AB`. Поэтому `H in AC`.
    Значит, `AC=AH+HC=4R=12, /_ABC=90^0`.

    б) Прямые `BH` и `BL` – это две касательные к сфере, проведённые из одной точки.
    Следовательно, `BL=BH=2R`.
    По формуле для медианы в треугольнике `SBC` получаем уравнение `4BM^2+SC^2=2SB^2+2BC^2`, т.е. `16R^2+8R^2=2*8R^2+2BC^2`, откуда `BC=2R`.
    По теореме Пифагора из треугольника `ABC` находим, что `AB=2Rsqrt3`.
    Значит, объём пирамиды `V` равен
    `1/3*2R*1/2*2R*2Rsqrt3=(4R^3)/(sqrt3)=36sqrt3`.

    Ответ: `AC=12, /_ABC=90^0, V=36sqrt3`.
  • Москва. Вариант 1. Задача №1.
    Решите уравнение
    `log_(2^(x+1)+1)(3x^2+4x-3)=log_(10-2^(2-x))(3x^2+4x-3)`.

    Решение:
    ОДЗ:
    `2^(x+1)+1>0 !=1` - это верно при всех `x`.
    `10-2^(2-x)>0` и не равно `1` - решать не будем, обойдемся проверкой корней.
    `3x^2+4x-3>0` - тоже проверкой.

    Пусть `3x^2+4x-3=1`,
    `3x^2+4x-4=0`,
    `x=-2` или `x=2/3`.
    Проверка:
    `x=-2`: подставим в основание второго логарифма `10-2^4=-6` - не годится.
    `x=2/3`: `10-2^(2-x)=10-2^(4/3) > 10-4>0` - годится.
    В `3x^2+4x-3` подставим, получим `1` - годится.

    Пусть `3x^2+4x-3 !=1`, значит можем перевернуть логарифмы.
    `1/log_(3x^2+4x-3)(2^(x+1)+1)=1/log_(3x^2+4x-3)(10-2^(2-x))`.
    Перемножим крест накрест и пропотенцируем по основанию `3x^2+4x-3`.
    `2^(x+1)+1=10-2^(2-x)`.
    Пусть `2^x=t, t>0`,
    `2t+1=10-4/t`,
    `2t+4/t-9=0`,
    `2t^2-9t+4=0`,
    `t=1/2, t=4`,
    `x=-1` или `x=2`.
    Проверка.
    `x=-1`: `log_2(-4)=log_2(-4`) - не годится.
    `x=2`: `log_9(17)=log_9(17)` - годится.

    Ответ: `x=2, x=2/3`.
  • Москва. Вариант 1. Задача №2.
    Решить уравнение
    `(cosx*cos(x+pi/4))/(7cos^2x+5sin^2x-6)+(cosx*sin(x+pi/4))/(6-5cos^2x-7sin^2x) = (tan2x)/sqrt(2)`.

    Решение:
    `(cosx*cos(x+pi/4))/(2cos^2x-1)+(cosx*sin(x+pi/4))/(1-2sin^2x) = (tan2x)/sqrt(2)`.
    `(cosx*cos(x+pi/4))/(cos2x)+(cosx*sin(x+pi/4))/(cos2x) = (sin2x)/(sqrt2cos2x)`,
    `cos2x != 0`,
    `cosx*cos(x+pi/4)+cosx*sin(x+pi/4) = sqrt(2)*sinx*cosx`.

    `cosx = 0, x=pi/2+pi*k, k in ZZ`, 
    или
    `cos(x+pi/4)+sin(x+pi/4) = sqrt(2)*sinx`.
    `sqrt(2)/2*cosx-sqrt(2)/2*sinx+sqrt(2)/2*sinx+sqrt(2)/2*cosx = sqrt(2)*sinx`,
    `sqrt(2)*cosx= sqrt(2)*sinx`.
    `cosx=sinx`, но в таком случае `cos2x=cos^2x-sin^2x=0`, значит эти корни нам не подходят.

    Ответ: `x=pi/2+pi*k, k in ZZ`.

  • Москва. Вариант 1. Задача №3.
    Решите систему уравнений
    `{(x^2 - 4xy + 4y^2  = 2x - 4y + 3),(sqrt(3x - 6y) = 2 - xy):}`

    Решение:
    Рассмотрим первое уравнение:
    `x^2 - 4xy + 4y^2  = 2x - 4y + 3`
    Перенесем все в левую часть:
    `x^2 - 4xy + 4y^2 - 2x + 4y - 3 = 0`
    Уравнения `2`-го порядка могут быть вырожденными и невырожденными
    К невырожденным относятся эллипс, гипербола и парабола
    К вырожденным относятся пары прямых и вырожденным эллипс, парабола
    В нашем случае уравнение распадается на пары параллельных прямых:
    `(x-2y-3)(x-2y+1) = 0`.
    1) `y = (x-3)/2`.
    2) `y = (x+1)/2`.
    Подставив во второе уравнение:
    1) `y = (x-3)/2`,
    `sqrt(3x - 3x + 9) - 2 + (x*(x-3))/2 = 0`,
    `((x-2)(x-1))/2 = 0`,
    `x_1 = 1`,
    `x_2 = 2`.
    2) `y = (x+1)/2`,
    `sqrt(3x-3x-3) - 2 + (x*(x+1))/2 = 0`
    Под корнем получается отрицательное число `=>` корней нет.

    Ответ:  `[x = 1, y = -1]`,
    `[x = 2, y = -1/2]`.

Рассылка решений заочных туров олимпиад по математике