Рассылка решений заочных туров олимпиад по математике

Подписывайтесь на нашу рассылку решений заочных туров всех олимпиад по математике: Ломоносов, Покори Воробьевы горы, Высшая проба, Физтех 2018 и другие перечневые олимпиады.

Олимпиада Покори Воробьевы горы 2014-2015 / Задания и решения отборочного этапа по математике


  • Сезон олимпиад 2016-2017 открыт!
    Идет запись на наши курсы подготовки к олимпиадам по математике с гарантированным результатом.
    image
    1. Индивидуальные занятия и консультации.
    2. Помощь в прохождении заочных туров олимпиад. Одна олимпиада 1-5 тыс. руб.
    3. Помощь эксперта на очных турах олимпиад. Одна олимпиада от 30 тыс. руб.
    4. Гарантия успешного результата (курсы ведутся пятый сезон).

    Стоимость курсов от 3000 до 25000 руб. в месяц. Стандартный курс - 10000 руб. в месяц. Длительность курсов - 6 месяцев.
    В составе стандартного курса заочные туры 10 олимпиад и очные туры 2 олимпиад.
    Посмотреть тарифные планы и подробную информацию по курсам подготовки.

    Олимпиада Покори Воробьевы горы 2015-2016 - задания и решения отборочного этапа по математике.Олимпиада Покори Воробьевы горы 2014-2015. Задания и решения отборочного этапа по математике. 10-11 классы. Регистрация уже началась на официальном сайте. Даты проведения - с 5 ноября до 25 декабря.

    В данной теме выложены частичные решения отборочного этапа (заочный тур) олимпиады Покори Воробьевы горы 2014-2015 года.
    Задания и решения всех этапов (отборочные и очные) за прошлые годы (2009-2013 годы), а также иная дополнительная информация - выложены в разделе Покори Воробьевы горы.
    В этом году регламент отборочного этапа олимпиады Покори Воробьевы горы поменялся.
    — Отборочный этап длится с 1 ноября до 25 декабря.
    — Время на выполнение заданий - 168 часов или 7 суток. Время начала (дата проведения) выполнения заданий вы определяете сами (вне зависимости от времени регистрации на сайте олимпиады).
    — Задание состоит из двух частей: тестовая часть (5 заданий школьного типа) - требуются только ответы, творческое задание (7 задач повышенной сложности) - требуются развернутые ответы. Первую часть необходимо пройти за 3 часа, на вторую часть дается 165 часов.
    — Предполагаемый проходной порог на очный тур - 4 правильных ответа на первую часть и 5 правильных решений творческого задания. В прошлом году порог был максимально высокий (95 баллов из 100).
    Аннулируются работы, решения которых были явно списаны из открытых источников, например, с этого сайта.
  • Предварительный тест. Задача №1 (11 класс).
    Решите неравенство:
    `(9-2sqrt(1-x))/(10-sqrt(x^2-4x+4))>=1`.
    В ответе укажите сумму всех целочисленных значений `x`, удовлетворяющих данному неравенству.

    Решение:
    ОДЗ: `1-x>=0 iff x<=1`.
    `x^2-4x+4>=0 iff (x-2)^2>=0` - верно всегда.

    `(9-2sqrt(1-x))/(10-|x-2|)>=1`,
    `x<=1 => |x-2|=2-x`,
    `(9-2sqrt(1-x))/(x+8)>=1`,
    `(9-2sqrt(1-x)-x-8)/(x+8)>=0`,
    `(1-x-2sqrt(1-x))/(x+8)>=0`.

    Замена `sqrt(1-x)=y, y>=0 => x=1-y^2`:
    `(y^2-2y)/(9-y^2)>=0`,
    `(y(y-2))/((y-3)(y+3))<=0`,
    `y in (-3;0]uu[2;3)`.
    `y>=0 => y in {0}uu[2;3)`.

    `sqrt(1-x) in {0}uu[2;3)`,
    `1-x in {0}uu[4;9)`,
    `x in (-8;-3]uu{1}`.
    Целые `x=-7;-6;-5;-4;-3;1`, сумма равна `-24`.

    Ответ: `-24`.

    Предварительный тест. Задача №2 (11 класс).
    Решите уравнение:
    `cos2x+cos6x+2sin^​2​​x=1`. В ответе укажите число, равное сумме корней уравнения, принадлежащих отрезку `A=[​(mpi)/6​​;​((m+1)pi)/6​​], m=5`, при необходимости округлив это число до двух знаков после запятой.

    Решение:
    `cos2x+cos6x+2sin^2x-1=0`,
    `cos2x+cos6x-cos2x=0`,
    `cos6x=0`,
    `6x=pi/2+pik, k in ZZ`,
    `x=pi/12+1/6pik, k in ZZ`.

    `A=[5/6pi;pi]`.
    Подходит только корень при `k=5, x=11/12pi ~ 2.88`.

    Ответ: `2.88`.

    Предварительный тест. Задача №3 (11 класс).
    Внутри треугольника `ABC` со сторонами `BC=a, AC=b, AB=c` выбрана точка `M` так, что `/_AMB=/_BMC=/_CMA. a=5, b=6, c=8`.
    Найдите сумму квадратов расстояний от точки `M` до вершин треугольника. В случае, если ответ будет нецелым числом, округлите его до ближайшего целого.

    Решение:
    image
    Все углы равны `120^0`.
    Обозначим через `x,y,z` расстояния от точки `M` до вершин треугольника.
    Тогда из трех треугольников, по теореме косинусов:
    `a^2=x^2+y^2+xy`,
    `b^2=y^2+z^2+yz`,
    `c^2=z^2+x^2+zx`.
    Сложим: `2(x^2+y^2+z^2)=a^2+b^2+c^2-(xy+yz+zx)`.

    С другой стороны, `S_(ABC)=S_(BMC)+S_(CMA)+S_(AMB)`,
    `S_(ABC)=1/2xysin120^0+1/2yzsin120^0+1/2zxsin120^0`,
    `xy+yz+zx=4/sqrt3*S_(ABC)`.
    `S_(ABC)=sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c))=`
    `=1/4sqrt((a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a))`,
    `xy+yz+zx=1/sqrt3*sqrt((a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a))`.

    Считаем:
    `2(x^2+y^2+z^2)=5^2+6^2+8^2-1/sqrt3*sqrt(19*3*7*9)=`
    `=25+36+64-sqrt(1197) ~ 90,4`,
    `x^2+y^2+z^2 ~ 45`.

    Ответ: `45`.

    Предварительный тест. Задача №4 (11 класс).
    Решите систему:
    `{(3(x^4+y^4)=-17(x^3y+xy^3)),(x^2+y^2=6):}`.
    Вычислите значения выражения `x_k-y_k​​` для каждого решения `(x_k, y_k​​)` системы и найдите среди них минимальное.
    В ответе укажите найденное минимальное значение, при необходимости округлив его до двух знаков после запятой.

    Решение:
    `3(x^4+y^4)+17xy(x^2+y^2)=0`,
    `3(x^4+y^4)+102xy=0`,
    `x^4+y^4+34xy=0`,
    `(x^2+y^2)-2x^2y^2+34xy=0`,
    `36-2x^2y^2+34xy=0`,
    `xy=t: t^2-17t-18=0`,
    `t_1=-1, t_2=18`.

    `{(xy=-1),(x^2+y^2=6):}`
    `x^2+1/x^2=6 => x^4-6x^2+1=0`,
    `(x^2-3)^2=8 => x^2=3+-2sqrt2`,
    `x=+-(sqrt2+-1), y=-+(sqrt2-+1)`.

    `{(xy=18),(x^2+y^2=6):}`
    Решений, очевидно, нет.
    `min(x_k-y_k)=(-sqrt2-1-(sqrt2-1))=-2sqrt2 ~ -2.83`.

    Ответ: `-2.83`.

    Предварительный тест. Задача №5 (11 класс).
    Имеется два сплава. Первый сплав содержит `90%` примесей, а второй - соответственно `20%` примесей. Определите, в какой пропорции следует соединить эти сплавы, чтобы получился новый сплав, в котором содержится `40%` примесей.
    В ответе укажите отношение массы первого сплава к массе второго в виде десятичной дроби, округлив ее при необходимости до двух знаков после запятой.

    Решение:
    Пусть взяли `a` первого сплава и `b` второго сплава. Надо найти отношение `a/b`.
    По условию, `0.9a+0.2b=0.4(a+b)`,
    `0.5a=0.2b => a/b=2/5=0.4`.

    Ответ: `0.4`.
  • Творческая часть. Задача №1 (11 класс).
    Определите, сколькими нулями заканчивается число `N=2020!`.

    Решение:
    По основой теореме из арифметики, число `N` единственным образом можно разложить в виде произведения `N=p_1^(alpha_1)*...*p_n^(alpha_n)`, где `p_i` - разные простые числа, а степени `a_i` - натуральные.
    Легко заметить, что `N` будет делиться на все простые числа, не превосходящие `2024`. 
    Поэтому, `N=2^(alpha_1)*3^(alpha_2)*5^(alpha_3)*7^(alpha_4)*...`
    За нули в конце `N` отвечают `2^(alpha_1)` и `5^(alpha_3)`. Любые другие простые делители не могут дать `0` в произведении с другими простыми делителями или с `2` или `5`.
    Чтобы узнать количество нулей в конце `N`, надо вычислить `alpha_1` и `alpha_3`.
    Вычислим `alpha_3`:
    `5^5=3125`, поэтому среди чисел от `1` до `N=2024` нет чисел, которые делятся на `5^5`.
    `5^4=625`, среди чисел от `1` до `2024` на `625` делятся числа `625, 1250, 1875` - всего три числа, общая степень `5` равна `3*4=12`.
    `5^3=125, 125n<=2024 => n<=16` - получили, что среди чисел от `1` до `2024` ровно `16` делятся на `5^3`. Надо убрать три числа, которые делятся на `5^4`, тогда остается `13` чисел.
    `5^2=25, 25n<=2024 => n<=80`. Уберем `16` чисел, остается `64` числа.
    `5^1=5, 5n<=2024 => n<=404`. Уберем `80` чисел, остается `324` числа.
    Общая степень `5`: `3*4+13*3+64*2+324*1=503`.
    `alpha_3=503`.
    `alpha_1` считать не нужно, т.к. очевидно, что `alpha_1>alpha_3` (четные числа встречаются через `1`, а числа делящиеся на `5` - через четыре шага), поэтому количество нулей на конце `N` равно `alpha_3`.
    `2k<=2024 => k<=1012, т.е. alpha_1>1012`.

    Ответ: `503`.
  • Творческое задание. Задача №2 (11 класс).
    Найдите наименьшее значение функции:
    `f(x)=(x-1)^2+(x-3)^2+...+(x-101)^2`.
    В случае, если получится нецелое число, в ответ запишите результат его округления до
    ближайшего целого.

    Решение:
    Введем линейную замену `x-51=y, x=y+51`.
    Получим новую функцию
    `g(y)=(y+50)^2+(y+48)^2+...+y^2+...+(y-50)^2`.
    При раскрытии всех квадратов, сокращаются центральные слагаемые каждого квадрата.
    `g(y)=51y^2+2(2^2+4^2+...+48^2+50^2)`.
    Понятно, что `g_min=2(2^2+4^2+...+48^2+50^2)` при `y=0`.
    Значит, `f_min=2(2^2+4^2+...+48^2+50^2)` при `x=51`.
    Посчитаем сумму:
    `2(2^2+4^2+...+48^2+50^2)=8*(1^2+2^2+...+25^2)`.
    Выведем формулу суммы последовательных целых квадратов.
    `(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1`,
    `n^3-(n-1)^3=3(n-1)^2+3(n-1)+1`,
    `...`
    `2^3-1^3=3*1^2+3*1+1`.
    Сложим все равенства, в левой части почти все сократится:
    `(n+1)^3-1^3=3(1^2+2^2+...+n^2)+3(1+2+...+n)+n`.
    Известно, что `1+2+...+n=(n(n+1))/2` - сумма арифметической прогрессии.
    `1^2+2^2+...+n^2=1/3n^3+n^2+n-1/3n-1/2n^2-1/2n`,
    `1^2+2^2+...+n^2=1/3n^3+1/2n^2+1/6n=1/6n(2n^2+3n+1)`,
    `1^2+2^2+...+n^2=(n(2n+1)(n+1))/6`.
    Значит, `1^2+2^2+...+25^2=(25*51*26)/6=5525`.
    `f_min=8*5525=44200`.

    Ответ: `44200`.
  • Творческое задание. Задача №3 (11 класс).
    Определите сколько корней уравнения
    `24sin2x+7cos2x-36sinx-48cosx+35=0`
    расположена на отрезке `[10^(2014!)pi;10^(2014!+2018)pi]`. В ответ запишите сумму всех цифр найденного числа.

    Решение:
    `24sin2x+7cos2x-36sinx-48cosx+35=0`,
    `24sin2x+7cos2x+23-12(3sinx+4cosx-1)=0`,
    `24sin2x+7cos^2x-7sin^2x+`
    `+25(sin^2x+cos^2x)-2-12(3sinx+4cosx-1)=0`,
    `24sin2x+18sin^2x+32cos^2x-2-`
    `-12(3sinx+4cosx-1)=0`,
    `12sin2x+9sin^2x+16cos^2x-1-6(3sinx+4cosx-1)=0`,
    `(3sinx+4cosx)^2-1-6(3sinx+4cosx-1)=0`,
    `(3sinx+4cosx-1)(3sinx+4cosx-5)=0`.
    Получили совокупность двух уравнений:
    `3sinx+4cosx=1`,
    `3sinx+4cosx=5`.
    У этих уравнений не может быть общих корней. Пусть `x_0` является общим корнем, тогда получаем, что `1=5`, чего не может быть.
    Решим каждое из этих уравнений методом дополнительного аргумента.
    `3^2+4^2=25=5^2`.
    `3/5sinx+4/5cosx=1/5`.
    Пусть `3/5=cost`, причем `t` лежит в первой четверти. Тогда `sint=4/5`.
    `sinx*cost+sint*cosx=1/5`,
    `sin(x+t)=1/5`,
    `x+t=(-1)^n*arcsin(1/5)+pin, n in ZZ`,
    `x=-t+(-1)^n*arcsin(1/5)+pin, n in ZZ`.
    Для другого уравнения:
    `sin(x+t)=1`,
    `x+t=pi/2+2pik, k in ZZ`,
    `x=-t+pi/2+2pik, k in ZZ`.
    На круге от `0` до `2pi` первая серия корней дает две точки, вторая серия дает одну точку (при этом это разные точки, уже доказали).

    По условии, нам дали отрезок `[10^(2014!)pi;10^(2014!+2018)pi]`.
    Длина отрезка равна `10^(2014!)*(10^2018-1)pi`.
    При этом отрезок можно поделить на целое число цельных отрезков длиной `2pi`.
    Всего таких отрезков будет `1/2*10^(2014!)*(10^2018-1)`. На каждом таком отрезке у нас есть три корня.
    Поэтому всего корней `3/2*10^(2014!)*(10^2018-1)`.
    Посчитаем сумму цифр полученного числа. 
    Число `10^(2014!)*(10^2018-1)` состоит из `2018` девяток и `10^(2014!)` нулей в конце.
    При делении на `2` первая девятка меняется на `4`, а первый ноль меняется на `5`, все остальные цифры остаются прежними.
    Число `499...995000...000`. Всего `2017` девяток и `10^(2014!)-1` нулей.
    При умножении на `3` впереди добавляется единичка, а также `95` меняется на `85`.
    Получаем число `1499...99850...0`. Всего `2016` девяток.
    Сумма цифр числа равна `1+4+2016*9+8+5=2018*9=18162`.

    Ответ: `18162`.
  • Творческое задание. Задача №4 (11 класс).
    Найдите наименьшее натуральное `m`, для которого существует такое натуральное `n`, что наборы последних `2014` цифр в десятичной записи чисел `a=2015^(3m+7)` и `b=2015^(6n+2)` одинаковы, причем `a<b`.

    Решение:
    Наборы последних `2014` цифр двух чисел совпадают тогда и только тогда, когда разность этих чисел делится на `10^2014`.
    По условию, `b>a`, поэтому `b-a` делится на `10^2014`. 
    `b-a=2015^(6n+2)-2015^(3m+7)`.
    Первая степень по условию больше второй, поэтому выносим за скобки меньшую степень.
    `b-a=2015^(3m+7)(2015^(6n-3m-5)-1)` делится на `10^2014`.
    `10^2014=2^2014*5^2014`.

    `2015^(3m+7)(2015^(6n-3m-5)-1)` делится на `5^2014`
    `2015^(6n-3m-5)-1` дает остаток `(-1)` при делении на `5`, т.е. не делится на `5`.
    `2015^(3m+7)` делится на `5^2014`.
    `2015=5*13*31 => 5^(3m+7)*13^(3m+7)*31^(3m+7)` делится на `5^2014`.
    `13` и `31` не делятся на `5`, поэтому `5^(3m+7)` делится на `5^2014`.
    `3m+7>=2014 => 3m>=2007 => m>=669`.

    `2015^(3m+7)(2015^(6n-3m-5)-1)` делится на `2^2014`
    `2015^(3m+7)` нечетный, поэтому `2015^(6n-3m-5)-1` делится на `2^2014`
    Если `6n-3m-5=2^2014` то `2015^(6n-3m-5)-1=`
    `=(2015^(2^2013)-1)(2015^(2^2013)+1)=`
    `=(2015-1)(2015+1)(2015^2+1)...(2015^(2^2013)+1)` делится на `2^2014` как произведение `2015` четных чисел.

    `6n=3m+5+2^2014`,
    `m=669 => 6n=2012+2^2014`,
    `3n=1006+2^2013`.
    Правая часть делится на `3`, т.к. `2^2013=(3-1)^2013` дает остаток `(-1)` при делении на `3`, а `1006-1=1005` делится на `3`.
    Поэтому для `m=669` существует такой натуральный `n`, при котором выполняются условия задачи.

    Ответ: `669`. 
  • Творческое задание. Задача №5 (11 класс).
    Из вершины `B` треугольника `ABC` проведена прямая, пересекающая сторону `AC` в точке `E`. Найдите высоту `BF` треугольника `ABC`, если известно, что центр описанной вокруг треугольника `ABC` окружности лежит на луче `BE`, `AF*FE=7, ctg/_EBC:ctg/_BEC=4:5`.
    В ответе укажите найденную высоту, при необходимости округлив ее до двух знаков после запятой.

    Решение:
    Из условия следует, что углы при вершинах `A` и `C` не могут быть тупыми, иначе прямая `BE`, пересекающая сторону `AC` не может содержать в себе центр описанной около треугольника окружности. Случай, когда углы прямые, рассмотрим потом. Будем считать, что оба угла острые.
    Также заметим, что углы `/_EBC` и `/_BEC` острые, поскольку отношение их котангенсов положительно, котангенс положителен в первой и третьей четвертях. Из этого следует, что точка `E` находится левее точки `F`.

    Есть три возможных случая - угол при вершине `B` тупой, острый и прямой.

    Пусть угол при вершине `B` тупой.
    Обозначим `/_EBC=alpha, /_BEC=beta`.
    `EF=x, BF=y`. Тогда `AF=7/x`.
    В прямоугольном треугольнике `BEF` находим углы:
    `/_BEF=beta, /_EBF=pi/2-beta`.
    `y/sinbeta=x/sin(pi/2-beta) => ctg(beta)=x/y` (1)

    Треугольник `BOC` равнобедренный (`OB=OC=R`), поэтому его высота, проведенная из точки `O` делит сторону `BC` пополам.
    `R=(1/2BC)/sin(pi/2-alpha)`.
    С другой стороны, из треугольника `ABC`: `R=(BC)/(2sin/_A)`.
    Следовательно, `/_A=pi/2-alpha`. 
    Тогда из прямоугольного треугольника `BAF`:
    `y/sin(pi/2-alpha)=(7/x)/(sinalpha) => ctg(alpha)=(xy)/7` (2)

    Поделим (2) на (1): `(1/7xy)/(x/y)=4/5`,
    `y^2=28/5 => y=2sqrt(7/5)`.

    Случай, когда угол при вершине `B` острый или прямой разбирается абсолютно аналогично и получаем такой же ответ.

    Осталось разобрать случаи, когда `/_A=pi/2` или `/_C=pi/2`.
    Если `/_A=pi/2 => AF=0`, что противоречит условию.
    Пусть `/_C=pi/2 =>` т. `E` совпадает с точкой `A`, т. `F` совпадает с точкой `C`.
    `AE=FE=AC => AC^2=7 => AC=sqrt7`.
    `beta=pi/2-alpha => ctg(alpha)=2/sqrt5`.
    `(BC)/sinbeta=(AC)/sinalpha => BC=AC*ctg(alpha)=2sqrt(7/5)`.
    Получили такой же ответ.

    `BF=2sqrt(7/5) ~ 2,37`.

    Ответ: `2,37`.
  • Творческое задание. Задача №6 (11 класс).
    Найдите значение `a`, при котором минимальна сумма всех действительных корней уравнения
    `(f(a)*x^2+1)/(x^2+g(a))=sqrt((xg(a)-1)/(f(a)-x))`,
    где `f(a)=a^2-sqrt23a+25, g(a)=3/2a^2-sqrt23a+27`.
    В ответе укажите найденное значение, при необходимости округлив его до двух знаков после запятой.

    Решение:
    `f(a)=b, g(a)=c` - две константы нашего уравнения относительно `x`.
    `(bx^2+1)/(x^2+c)=sqrt((cx-1)/(b-x))` (1)

    Исследуем `f(a)` и `g(a)` относительно `a`:
    `b=f(a)=(a-sqrt23/2)^2+77/4>=77/4`,
    `c=g(a)=f(a)+1/2a^2+2>f(a)=b`.

    Найдем ОДЗ уравнения (1) относительно `x`:
    Левая часть всегда положительна при найденных ограничениях на `b,c`.
    `(cx-1)/(b-x)>=0 => (x-1/c)/(x-b)<=0` - поделили на положительный `c` и умножили на `-1`.
    `c>b>=77/4 => 1/c < b => x in [1/c;b)` - нашли ОДЗ относительно `x`.

    Возведем уравнение (1) в квадрат и преобразуем. Эти операции не дадут лишних корней, поскольку обе части неотрицательны на нашем ОДЗ.
    `(bx^2+1)^2(b-x)=(x^2+c)^2(cx-1)`,
    `(b^2x^4+2bx^2+1)(b-x)=(x^4+2x^2c+c^2)(cx-1)`,
    `-b^2x^5+b^3x^4-2bx^3+2b^2x^2-x+b=`
    `=cx^5-x^4+2c^2x^3-2cx^2+c^3x-c^2`,
    `(b^2+c)x^5-(b^3+1)x^4+(2c^2+2b)x^3-`
    `-(2c+2b^2)x^2+(c^3+1)x-c^2-b=0`,
    Проще всего разложить выражение относительно `b`:
    `(b^2x^2+bcx+b+c^2+cx^2-x)(bx^2-cx-x^3+1)=0`.

    Получили два уравнения.
    `x^2(b^2+c)+x(bc-1)+b+c^2=0`.
    `D=(bc-1)^2-4(b^2+c)(b+c^2)=`
    `=b^2c^2-2bc+1-4b^3-4b^2c^2-4bc-4c^3=`
    `=1-3b^2c^2-6bc-4b^3-4c^3<0` при наших `b,c`. Корней нет.

    `x^3-bx^2+cx-1=0`.
    Кубическое уравнение может иметь от `1` до `3` действительных корней.
    Если все корни нашего уравнения действительны и удовлетворяют ОДЗ `x in [1/c;b)`, тогда получаем, что искомая сумма корней равна b (по теореме Виета).
    Подставим концы нашего интервала ОДЗ:
    `x=1/c => 1/c^3-b/c^2+1-1=(1-bc)/c^3<0`,
    `x=b => b^3-b^3+bc-1=bc-1>0`.
    Теперь подставим точки внутри ОДЗ. Мы нашли, что `c>b>77/4`.
    `x=1 => 1-b+c-1=c-b>0`.
    Значит до точки `x=1/c` наша функция отрицательна, потом в точке `1` функция положительна, потом в точке `b` функция положительна. Если мы найдем точку внутри интервала `(1;b)`, в которой функция станет отрицательной, из этого следует, что внутри ОДЗ у нас есть три корня, а больше быть не может.
    `x=2 => 8-4b+2c-1=2c-4b+7 < 0` т.к.
    `2c-4b+7=3a^2-2sqrt23a+54-4a^2+4sqrt23a-100+7=`
    `=-a^2+2sqrt23a-39=-(a-sqrt23)^2-16<0` при всех `a`.

    Итак, доказали, что на ОДЗ есть три действительных корня. Сумма корней равна `b`.
    Мы уже исследовали `b` на минимальность и нашли, что `b_min=77/4` при `a=sqrt23/2`.

    `a=sqrt23/2 ~~ 2,40`.

    Ответ:
     `2,40`.

    Еще один вариант решения.
    Найдите значение `a`, при котором минимальна сумма всех действительных корней уравнения
    `(f(a)*x^2+1)/(x^2+g(a))=sqrt((xg(a)-1)/(f(a)-x))`,
    где `f(a)=a^2-sqrt23a+25, g(a)=3/2a^2-sqrt23a+27`.
    В ответе укажите найденное значение, при необходимости округлив его до двух знаков после запятой.

    Решение:
    Параметры уравнения `p=f(a), q=g(a)`.
    Исследуем параметры.
    `f(a)`: `a_0=sqrt23/2, f(a_0)=77/4 => p in [77/4;+oo)`.
    `q-p=1/2a^2+2>=2 => q>=p+2`.
    `(px^2+1)/(x^2+q)=sqrt((xq-1)/(p-x))`.
    Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:
    `(xq-1)/(p-x)>=0, p>1>1/q => x in [1/q;p)`.
    Левая часть уравнения всегда положительна при наших значениях `p,q,x`.
    Поделим уравнение на `x>0`:
    `(px^2+1)/(x^3+qx)=sqrt((xq-1)/(px^2-x^3))`.
    Пусть `px^2+1=m, x^3+qx=n, x^3-1=k`.
    `m/n=sqrt((n-k)/(m-k))`,
    `m^2(m-k)=n^2(n-k)`,
    `m^3-n^3-k(m^2-n^2)=0`,
    `(m-n)(m^2+mn+n^2-km-kn)=0`,
    `m=n или m^2+mn+n^2-km-kn=0`.
    `m^2+m(n-k)+n(n-k)=0`.
    Но левая часть всегда положительна, т.к. `n-k=qx+1>0`.
    `m=n => px^2+1=x^3+qx`,
    `x^3-px^2+qx-1=0`.
    Т. Виета: `x_1+x_2+x_3=p=f(a) -> min` при `a=sqrt23/2`.
    Докажем, что уравнение имеет три действительных корня, которые принадлежат интервалу `[1/q;p)`.
    `x=1/q`: `1/q^3-p/q^2+1-1=(1-pq)/q^3<0`.
    `x=1`: `1-p+q-1=q-p>0`.
    `x=2`: `8-4p+2q-1=-a^2+2sqrt23a-39=-(a-sqrt23)^2-16<0` при всех `a`.
    `x=p`: `p^3-p^3+pq-1=pq-1>0`.
    Доказали.

    `a=sqrt23/2 ~~ 2.40`.

    Ответ: `2.40`.
  • Творческое задание. Задача №7 (11 класс).
    Многогранник с `n=116` вершинами, вписанный в сферу радиуса `R = 4`, назовем кристаллическим, если можно выбрать такой набор из `n-1` вершины этого многогранника, что все тетраэдры с вершинами в любых `4` точках этого набора равновелики. Каков максимальный объём кристаллического многогранника? В ответе укажите найденное число, при необходимости округлив его до двух знаков после запятой. 

    Решение:
    Из данного в условии набора из `115` вершин выберем `3` произвольные вершины `A_1, A_2, A_3`.
    Остальные вершины - `A_4, A_5, ..., A_115`.
    Рассмотрим тетраэдры вида `A_1A_2A_3A_i`, где `i=4,5,...,115`.
    Основание у всех тетраэдров равно треугольнику `A_1A_2A_3`.
    По условию, объемы всех тетраэдров одинаковы, значит все высоты равны.
    Из этого следует, что все точки `A_5, A_6,...,A_115` (`111` точек) лежат в на одной из двух возможных плоскостей, параллельных плоскости `A_1A_2A_3`.
    По принципу Дирихле, минимум `66` точек лежат в одной из этих двух плоскостей, иначе говоря, лежат на одной плоскости.
    Из этих `66` точек выбираем `4` любые точки и получаем тетраэдр с объемом `0`, из этого следует, что объемы остальных тетраэдров тоже равны `0`.
    Доказали, что все точки `A_1, A_2,...,A_115` лежат на одной плосокости. 
    Наш многогранник - пирамида с вершиной `A_0`, с основанием `A_1...A_115`.

    Объем пирамиды равен `1/3Sh`, где `S` - плоскость основания.
    Если зафиксировать высоту, получаем, что максимальный объем достигается при максимальной площади основания `S`.
    Основанием является многоугольник с `115` вершинами, который вписан в окружность, радиус которой тоже зафиксирован.
    При зафиксированной окружности с радиусом `r`, максимум площади вписанного `115`-угольника достигается в том случае, если `115`-угольник правильный.
    Площадь `S=115/2*r^2*sin((2pi)/115)`.
    Тогда `V=1/3*115/2*h*r^2*sin((2pi)/115)`.

    Пусть `f=h*r^2`. Найдем `f_max` при заданном радиусе сферы `R`.
    Прведем плоскость через центр сферы `O` и вершину `A_0`.
    Из прямоугольного тругольника следует, что `r^2=h(2R-h)`.
    Тогда `f=h^2(2R-h)`.
    Надо найти `f_max` при `0<h<2R`.
    `f(h)=2Rh^2-h^3 => f'(h)=-3h^2+4Rh => h_max=4/3R`.
    `f_max=16/9R^2*2/3R=32/27R^3`.

    `V_max=1/3*115/2*32/27R^3*sin((2pi)/115)=(16*115*64)/81*sin((2pi)/115)`,
    `V_max ~ 79.39`.

    Ответ: `79.39`.

    Стоимость индивидуальных решений вашего варианта (предварительный тест + творческое задание) составляет 5 тыс. руб. Связывайтесь по почте info@olympiads.biz. Гарантии прохождения на очный тур.

  • Внесены две правки, в первые задачи из теста и творческого задания.
  • Скажите. пожалуйста, это Вы умышленно предлагаете такой сложный способ решения исходного уравнения в задаче 6 при наличии простого?

    В задаче 7 вершин не многовато?

Рассылка решений заочных туров олимпиад по математике