Рассылка решений заочных туров олимпиад по математике

Подписывайтесь на нашу рассылку решений заочных туров всех олимпиад по математике: Ломоносов, Покори Воробьевы горы, Высшая проба, Физтех 2018 и другие перечневые олимпиады.

Олимпиада Физтех 2015 по математике / Онлайн этап интернет олимпиады / Задания и решения


  • Сезон олимпиад 2016-2017 открыт!
    Идет запись на наши курсы подготовки к олимпиадам по математике с гарантированным результатом.
    image
    1. Индивидуальные занятия и консультации.
    2. Помощь в прохождении заочных туров олимпиад. Одна олимпиада 1-5 тыс. руб.
    3. Помощь эксперта на очных турах олимпиад. Одна олимпиада от 30 тыс. руб.
    4. Гарантия успешного результата (курсы ведутся пятый сезон).

    Стоимость курсов от 3000 до 25000 руб. в месяц. Стандартный курс - 10000 руб. в месяц. Длительность курсов - 6 месяцев.
    В составе стандартного курса заочные туры 10 олимпиад и очные туры 2 олимпиад.
    Посмотреть тарифные планы и подробную информацию по курсам подготовки.



    Олимпиада Физтех 2016 - задания и решения отборочного этапа по математике.
    Открытая интернет олимпиада Физтех 2015 по математике. Задания и решения онлайн этапа. Регистрация на олимпиаду уже началась на официальном сайте. Сроки проведения - с 1 ноября до 15 января.

    В данной теме выложены частичные решения онлайн этапа (заочный тур) олимпиады Физтех 2014-2015 года (олимпиада Физтех 2015).

    Задания и решения всех этапов (отборочные и очные) за прошлые годы (2009-2014 годы), а также иная дополнительная информация - выложены в разделе Олимпиада Физтех.
    — В этом году онлайн-этап (заочный тур) олимпиады Физтех 2015 проводится на двух независимых площадках. Сроки проведения примерно совпадают, с 1 ноября по 19 января, и с 1 ноября по 15 января.
    — Вы можете пройти онлайн этап на любой из этих площадок, достаточно преодолеть порог хотя бы на одной площадке.
    — На первом сайте регламент сохранен, дается 20 заданий, требуются только ответы. Решать задачи и менять ответы вы можете до окончания сроков онлайн-этапа, т.е. до 15 января. Каждая задача дает какое то количество баллов, суммарно 100 баллов. Предполагаемый пороговый балл - от 12 задач, или от 40 баллов. Почти все задания олимпиадного типа, встречаются достаточно сложные.
    — На втором сайте дается 12 задач, требуются только ответы. Регламент решения такой же. Сложность задач существенно меньше, но предполагаемый порог - от 10 задач.
    — Итоги на обоих сайтах подводятся в конце января и в начале февраля.

    В этой теме выложены решения 10+ задач с первого сайта и решения 10 задач со второго сайта.
  • 11 класс. Задача №1. 1.10 балла.
    Про некоторое натуральное число `x` известно, что `53^(53^54)=x^x`. Сколько различных простых делителей имеет `x`?

    Решение:
    `53` - простое число, поэтому делителем натурального `x` может быть только `53` (кроме `1`).
    Следовательно, `x=53^y`, где `y in NN`.
    `53^(53^54)=53^(xy)`,
    `53^54=xy`,
    `53^y*y=53^54`,
    `y=53^(54-y)`,
    Аналогично, `y=53^z, z in NN`.
    `53^z=53^(54-y)`,
    `z=54-y`,
    `z=54-53^z`.
    Очевидно, что может быть только одно натуральное решение `z=1`, иначе `54-53^z<0`.
    Итак, `z=1 => y=53 => x=53^53`. Только один простой делитель `53`.
    Ответ на задачу содержится в первой строчке решения, дальнейшее - это возможность убедиться, что решение вообще существует.

    Ответ: `1`.
  • 11 класс. Задача №2. 2.20 балла.
    Дан прямоугольный треугольник `ABC` с гипотенузой `AC`. Известно, что `/_BAC=20^0`. Обозначим через `M` середину отрезка `AC`. Рассмотрим точку `C_1` симметричную точке `C` относительно прямой `BM`. Найдите угол `/_BC_1A`.

    Решение:
    image
    1. Рассмотрим описанную вокруг треугольника `ABC` окружность. Точка `M` является центром окружности, `AC` - диаметр.
    `MA=MC`. Также, в силу симметрии, `MC=MC_1`.
    Значит, точка `C_1` лежит на нашей окружности.
    2. Рассмотрим треугольник `AC_1C`, который вписан в ту же окружность, причем диаметр прежний - `AC`, следовательно это прямоугольный треугольник, `/_AC_1C=90^0`.
    3. Углы `/_BAC` и `/_BC_1C` вписаны в одну окружность и находятся на одной хорде, значит, они равны.
    `/_BC_1C=20^0`.
    `/_BC_1A=90^0+20^0=110^0`.

    Ответ: `110^0`.
  • 11 класс. Задача №3. 1.10 балла.
    Сколькими способами можно выбрать из `11` человек группу для участия в эксперименте, состоящую из по крайней мере одного человека (в группе может быть любое число человек от `1` до `11`)?

    Решение:
    Одного человека можно выбрать `C_11^1` способом.
    Двух - `C_11^2` способов.
    ...
    Одиннадцать - `C_11^11` способов.
    Всего способов `S= C_11^1+C_11^2+...+C_11^11`.
    Используем известную формулы суммы биномиальных коэффициентов:
    `C_n^0+C_n^1+...+C_n^n=2^n`.
    Тогда, `S=2^11-1=2047`.

    Ответ: `2047`.
  • 11 класс. Задача №4. 3.30 баллов.
    Пусть `a_1, a_2,...` - последовательность, определяемая следующим образом:
    `a_1=1, a_(n+1)=sqrt(a_n^2-2a_n+3)+1`.
    Найдите `a_51`.

    Решение:
    Преобразуем рекуррентную формулу:
    `a_(n+1)-1=sqrt(a_n^2-2a_n+3)`,
    `(a_(n+1)-1)^2=(a_n-1)^2+2`.
    Пусть `b_k=(a_k-1)^2 => b_(n+1)=b_n+2` - арифметическая прогрессия с разностью `2`.
    Значит, `b_51=b_1+50*2=(a_1-1)^2+100=100`.
    Тогда, `(a_51-1)^2=100 => a_51=11` (отрицательное значение `a_51` выкидываем, как заведомо не подходящее, т.к. последовательность положительна - следует из формулы).

    Ответ: `11`.
  • 11 класс. Задача №5. 4.40 балла.
    Пусть `a_1,a_2,…` — возрастающая арифметическая прогрессия, состоящая из натуральных чисел. Известно, что `a_3=17`. Найдите наибольшее значение выражения `a_(a_1)+a_(a_2)+a_(a_3)+a_(a_4)+a_(a_5)`.

    Решение:
    `a_3=a_1+2d=17`,
    `a_1, d in NN => a_1` - нечетно.
    Все возможные варианты `(a_1,d)=(1,8), (3,7), (5,6), (7,5), (9,4), (11,3), (13,2), (15,1)`. Т.е. с приростом `a_1` на `2`, `d` уменьшается на `1`.
    `a_(a_n)=a_1+(a_n-1)d =>`
    `=> S=a_(a_1)+a_(a_2)+a_(a_3)+a_(a_4)+a_(a_5)=`
    `=5a_1+(a_1+a_2+a_3+a_4+a_5-5)d=`
    `=5a_1+(5a_1+10d-5)d`.
    `S=5a_1+5a_1d+10d^2-5d=`
    `=5(a_1+a_1d+2d^2-d)`.
    `a_1+2d=17 => S=5(a_1+d(a_1+2d)-d)=`
    `=5(a_1+17d-d)=5(a_1+16d)=5a_17`.
    Очевидно, что для найденных пар `(a_1,d)` максимальную сумму даст первая пара, причем разность между соседними суммами равна `5*(+2-16*1)=-70`, т.е. каждая последующая сумма уменьшается на `70`.
    `S_max=5(1+16*8)=645`.

    Ответ: `645`.
  • 11 класс. Задача №6. 4.40 балла.
    Натуральные числа `x, y, z`, меньшие `100`, удовлетворяют уравнениям
    `1099x+901y+1110z=143579`,
    `109x+991y+101z=96253`.

    Найдите `10000x+100y+z`.

    Решение:
    Запись `a-=b` `mod` `n` будет означать, что `a` дает остаток `b` при делении на `n`.
    В частности `a-=5` `mod` `10` означает, что `a` оканчивается на `5`.
    Преобразуем первое уравнение:
    `1100x+900y-x+y+1110z=143579 => y-x-=9` `mod` `10`.
    Преобразуем второе уравнение:
    `110x+990y+y-x+100z+z=96250+3 =>`
    `=> 9+z-=3` `mod` `10 => z-=4` `mod` `10 => 10z-=40` `mod` `100`
    `1100x+900y+y-x+1100z+10z=143500+79 =>`
    `=> y-x+10z-=79` `mod` `100 => y-x+40 -=79` `mod` `100 =>`
    `=> y-x-=39` `mod` `100`.
    По условию `x,y in [1;99] => y-x in [-98;98]`.
    На данном отрезке только числа `-61` и `39` дают остаток `39` при делении на `100`.
    Значит, `y-x=-61` или `y-x=39`.
    В каждом из этих случаев получаем систему из трех уравнений, которая легко решается с калькулятором.

    `{(y-x=-61),(1099x+901y+1110z=143579),(109x+991y+101z=96253):}`
    Целых решений нет.

    `{(y-x=39),(1099x+901y+1110z=143579),(109x+991y+101z=96253):}`
    `x=52, y=91, z=4`.
    Тогда `10000x+100y+z=529104`.

    Ответ: `529104`.
  • 11 класс. Задача №7. 4.40 балла.
    Вычислите значение выражения
    `[2014sin0^0]+[2014sin1^0]+…+[2014sin359^0]`,

    где `[x]` — наибольшее целое число не превосходящее `x`. Например, `[5,2]=5, [−5,2]=−6, [7]=7`.

    Решение:
    Заметим, что сумма состоит из `360` слагаемых, которые можно разбить на пары следующим образом:
    `[2014sinalpha]+[2014sin(360^0-alpha)]=[2014sinalpha]+[-2014sinalpha]`,
    где `alpha=1,2,3,...,179`. Всего `179` пар.
    Сумма почти всех пар равна `-1`, это следует из очевидной формулы `[x]+[-x]=-1`, для всех нецелых `x`. (если `x in ZZ => [x]+[-x]=x-x=0`)
    Если `alpha=30^0, 90^0, 150^0`, тогда сумма соотв. пар равна `0`.
    Нет других `alpha` (в указанном выше множестве натуральных чисел), при которых `2014sinalpha` принимает целое значение, док-во данного факта выходит за рамки школьного курса.
    Тогда, `S=[2014sin0^0]+[2014sin180^0]-176=-176`.

    Ответ: `-176`.
  • 11 класс. Задача №8. 4.40 балла.
    Пусть `a_n` – остаток от деления `(n+1)^3` на `n^3`. Найдите остаток при делении числа `a_1+a_2+…+a_3003` на `3000`.

    Решение:
    Очевидно, что с ростом `n`, отношение `x=(n+1)^3/(n^3)` уменьшается.
    `(n^3+3n^2+3n+1)/(n^3)=1+3/n+3/n^2+1/(n^3)`.
    Если `n>=4`, то `x<2`, значит `a_n=(n+1)^3-n^3`.
    `a_1=0, a_2=3, a_3=10`.
    `a_4+a_5+...+a_3003=5^3-4^3+6^3-5^3+...+3004^3-3003^3=`
    `=3004^3-4^3=(3004-4)(3004^2+3004*4+4^2)` - делится на `3000`.
    Поэтому остаток от деления нашей суммы на `3000` равен `a_1+a_2+a_3=13`.

    Ответ: `13`.
  • 11 класс. Задача №9. 4.40 балла.
    Есть колода карточек, пронумерованных от `1` до `2000`. Эту колоду перемешали и теперь играют в игру. Каждый шаг этой игры состоит из двух действий:

    1. верхнюю карту кладем вниз колоды;
    2. ту карту, которая после первого действия стала верхней перекладываем вниз другой колоды (изначально другая колода пустая).

    Оказалось, что после игры, карты во второй колоде расположились следующем порядке:
    `1,2,3,4,…2000`.
    Какая карта лежала вверху первой колоды в самом начале?

    Решение:
    Первая карта в первоначальной колоде после первого шага оказалось внизу колоды и через какое-то количество шагов снова выйдет верх колоды или отправится в другую колоду. Это зависит от четности количества карт.
    За каждый шаг одна карта отправляется вниз (а значит, первая колода поднимается верх на один шаг), а одна карта отправляется в другую колоду (а значит, общее число карт в первой колоде уменьшается на `1`, т.е. первая колода поднимается еще на `1` шаг).
    Пусть всего карт `2n`, тогда через `n` шагов в первой колоде останется `n` карт, а первая карта вернется на первое место.
    Пусть всего карт `2n+1`, тогда через `n+1` шагов в первой колоде останется `n` карт, и первая карта (из первой колоды) окажется в другой колоде на последнем месте.
    Изначально 2000 карт:
    1. Через `1000` шагов первая карта оказалась на `1` месте из `1000` в первой колоде.
    2. Через `500` шагов первая карта на `1` месте из `500`.
    3. Через `250` шагов первая карта на `1` месте из `250`.
    4. Через `125` шагов первая карта на `1` месте из `125`.
    5. Через `63` шага первая карта на последнем месте в другой колоде.
    Всего шагов сделано `2000-62=1938`, поэтому в другой колоде `1938` карт.
    При последующих шагах первая карта остается в другой колоде, не меняя своего места, поскольку добавляются карты внизу, поэтому ее номер равен `1938`.

    Ответ: `1938`.
  • 11 класс. Задача №10. 4.40 балла.
    Дана окружность `omega` радиуса `5`, в которой проведён диаметр `AB`. На отрезке `AB` взята точка `P` на расстоянии `2` от центра окружности `omega`. Найдите радиус окружности, которая касается отрезка `AB` в точке `P` и внутренним образом касается окружности `omega`.

    Решение:
    image
    Обозначим искомый радиус внутренней окружности через `x`.
    Рассмотрим треугольник, вершинами которого являются точка `P` и центры окружностей.
    Этот треугольник прямоугольный, с прямым углом `P`.
    Одна окружность касается другой внутренним образом, поэтому расстояние между центрами (гипотенуза треугольника) равно `5-x`.
    Катеты равны `x` и `2`.
    По т. Пифагора: `x^2+2^2=(5-x)^2`,
    `x^2+4=25-10x+x^2`,
    `10x=21`,
    `x=2.1`.

    Ответ: `2.1`.

Рассылка решений заочных туров олимпиад по математике