Рассылка решений заочных туров олимпиад по математике

Подписывайтесь на нашу рассылку решений заочных туров всех олимпиад по математике: Ломоносов, Покори Воробьевы горы, Высшая проба, Физтех 2018 и другие перечневые олимпиады.

Олимпиада Ломоносов 2014-2015 по математике / Задания и решения отборочного этапа


  • Сезон олимпиад 2016-2017 открыт!
    Идет запись на наши курсы подготовки к олимпиадам по математике с гарантированным результатом.
    image
    1. Индивидуальные занятия и консультации.
    2. Помощь в прохождении заочных туров олимпиад. Одна олимпиада 1-5 тыс. руб.
    3. Помощь эксперта на очных турах олимпиад. Одна олимпиада от 30 тыс. руб.
    4. Гарантия успешного результата (курсы ведутся пятый сезон).

    Стоимость курсов от 3000 до 25000 руб. в месяц. Стандартный курс - 10000 руб. в месяц. Длительность курсов - 6 месяцев.
    В составе стандартного курса заочные туры 10 олимпиад и очные туры 2 олимпиад.
    Посмотреть тарифные планы и подробную информацию по курсам подготовки.

    Олимпиада Ломоносов 2015-2016 - задания и решения отборочного этапа по математике.


    Олимпиада Ломоносов 2014-2015 по математике. Задания и решения отборочного этапа (заочный тур). Регистрация уже началась на официальном сайте. Даты проведения отборочного этапа - с 10 ноября по 25 декабря.
    В данной теме выкладываются (с 22 ноября) частичные решения отборочного этапа (заочный тур) олимпиады Ломоносов 2014-2015 года по математике.
    Задания и решения всех этапов (отборочные и очные) за прошлые годы (2009-2013 годы), а также иная дополнительная информация - выложены в разделе олимпиада Ломоносов.
    Задания и решения за прошлый учебный год: 1 тур, 2 тур, 3 тур.
    В этом году регламент отборочного этапа олимпиады Ломоносов немного поменялся:
    — Регистрацию на олимпиаду вы можете пройти с 5 ноября по 25 декабря.
    — Отборочный этап проводится в два независимых тура (в прошлом году было три независимых тура). Достаточно успешно пройти один тур, для выхода на очный этап.
    — Первый тур проводится с 22 ноября по 25 ноября, второй тур с 20 декабря по 23 декабря, т.е. каждый тур длится полные 4 суток или 96 часов.
    — В каждом туре задания вы можете выполнять 24 часа (в пределах длительности тура), при этом начало выполнения заданий определяете сами. Если начало выполнения заданий пришлось на последние сутки, то у вас будет столько часов на выполнение заданий, сколько осталось времени до окончания тура.
    — Предположительно, каждый тур будет состоять из 10 задач (+ возможно, небольшой и простой предварительный тест).
    — Для выхода на очный этап достаточно решения 7 или 8 задач (судя по прошлому году). Сложность задач ожидается ниже, чем на олимпиаде Покори Воробьевы горы 2014-2015.
  • Задача №1.
    Три подруги Елена, Ольга и Татьяна решили открыть маленький бутик готового платья. Елена купила для магазина `80` платьев (все по одной цене), Ольга – `50` таких же платьев, а Татьяна внесла в предприятие `156` тысяч рублей. Известно, что Елена и Ольга могут поделить эти деньги между собой так, что вклад в общее дело каждой из трёх девушек будет одинаковым. Сколько денег полагается Елене? Ответ дать в тысячах рублей.

    Решение:
    `x` тыс. руб. стоит одно платье.
    `y` тыс. руб. получила Елена.
    Тогда `156-y` тыс. руб. получила Ольга.

    Вклад Татьяны составил `156` тыс. руб.
    Вклад Елены составил `80x-y` тыс. руб.
    Вклад Ольги составил `50x-(156-y)` тыс. руб.

    По условию, все сделали одинаковый вклад, откуда получаем систему:
    `{(80x-y=156),(50x+y-156=156):}`
    `130x=468 iff x=3,6`.
    `y=80x-156=288-156=132` тыс. руб.

    Ответ: `132`.
  • Задача №2.
    Сколько `9`-значных чисел, делящихся на `2`, можно составить путём перестановки цифр числа `131 152 152`?

    Решение:
    Число делится на `2`, значит последняя цифры четная и равна `2`.
    Множество остальных элементов `{1,1,1,1,2,3,5,5}`.
    Множество различных элементов `{1,2,3,5}`.
    Количество элементов каждого типа `{4,1,1,2}`.

    Формула различных сочетаний с повторениями:
    `((k_1+k_2+...+k_s)!)/((k_1)!*...*(k_s)!)`
    В нашем случае получаем `((4+1+1+2)!)/(4!1!1!2!)=840`.

    Ответ: `840`.
  • Задача №3.
    Определите расстояние между непересекающимися диагоналями двух смежных граней куба, если площадь полной поверхности этого куба равна `288`. В случае, если ответ будет нецелым числом, округлите его до ближайшего целого.

    Решение:
    `x` - ребро куба.
    `6x^2=288`,
    `x^2=48 => x=4sqrt3`.
    image
    `A_1C_1, AD` - диагонали.
    `PQ` - общий перпендикуляр этих прямых.
    `PN, QN` - его ортогональные проекции на плоскости `A_1B_1C_1` и `A A_1D_1`.
    `PK _|_ A_1D_1, QN _|_ A_1D_1`.
    `PN _|_ A_1C_1` и `KQ _|_AD_1` (по теореме о трех перпендикулярах).

    `A_1PN, KQD_1` - равнобедренные прямоугольные треугольники.
    `AK=KN=ND_1=x/3`.
    `NQ=ND_1=A_1K=KP=x/3`.
    `A_1P=PN=(xsqrt2)/3`.

    Треугольник `PNQ` прямоугольный:
    `PQ=sqrt(PN^2+NQ^2)=sqrt(x^2/9+(2x^2)/9)=(xsqrt3)/3`.
    `x=4sqrt3 => PQ=12/3=4`.

    Ответ: `4`.
  • Задача №4.
    Найдите сумму всех корней уравнения `x^2-31x+220=2^x(31-2x-2^x)`.

    Решение:
    `x^2+2x*2^x+2^(2x)-31x-31*2^x+220=0`,
    `(x+2^x)^2-31(x+2^x)+220=0`.
    Замена `x+2^x=t`:
    `t^2-31t+220=0`,
    `t_1=11, t_2=20`.

    `f(x)=x+2^x` возрастает при всех `x`, поэтому уравнение `f(x)=t` при любом `t` может иметь максимум одно решение.
    `x+2^x=11 => x=3`,
    `x+2^x=20 => x=4`,
    `3+4=7`.

    Ответ: `7`.
  • Задача №5.
    Среди всех простых дробей, числитель и знаменатель которых являются двузначными числами, найдите наименьшую дробь, большую чем `3/5`.
    В ответе укажите её числитель.

    Решение:
    `m/n` - искомая дробь.
    По условию, `m,n` - взаимно простые, `m,n in [10;99]`.
    `m/n>3/5` принимает наименьшее значение `iff` разность `delta=m/n-3/5` принимает наименьшее положительное значение.
    `m/n-3/5=(5m-3n)/(5n)=delta`.
    `delta -> min iff 5m-3n -> min, n -> max`.
    `delta>0 => 5m-3n>=1`.
    Будем искать такие `(m,n)`, что `5m-3n=1`.
    `3n+1=5m => n-=3` `mod` `5`.
    `n in [10;99] => n_max=98 => m/n=59/98`.

    Если `5m-3n=1, n<98 => delta>1/490`,
    если `5m-3n>=2 => delta>=2/495>1/490`.

    Ответ: `59`.
  • Задача №6.
    В неравнобедренном треугольнике `ABC` один из углов равен разности двух других и один из углов в два раза больше другого. Биссектрисы углов `A, B` и `C` пересекают описанную вокруг треугольника окружность в точках `L, O` и `M`, соответственно. Найдите площадь треугольника `LOM`, если площадь треугольника `ABC` равна `32`. В случае, если ответ будет нецелым числом, округлите его до ближайшего целого.

    Решение:
    `x<y<z` - углы треугольника. Поскольку треугольник не равнобедренный, углы можно расставить в порядке возрастания.
    Даны два условия, которые выполняются одновременно:
    1. `x=z-y` или `y=z-x`
    2. `y=2x` или `z=2y` или `z=2x`.
    Других вариантов быть не может, поскольку углы расставлены в порядке возрастания.
    Если `x=z-y`, то возможны три случая из условия `2`.
    `z=2y => x=y, z=2x => x=y`, в обоих случаях получили равенство углов, чего не может быть по условию `=> y=2x`.
    `z=3x => x+2x+3x=180^0 => x=30^0`,
    `(x,y,z)=(30^0,60^0,90^0)`.

    Если `y=z-x`, аналогично `z=2y => x=y, z=2x => x=y => y=2x => z=3x`,
    `(x,y,z)=(30^0,60^0,90^0)`.

    `/_A=60^0, /_B=90^0, /_C=30^0`.
    image
    По теореме о вписанных углах:
    `/_OMC=/_OBC=15^0, /_CML=/_CAL=30^0 => /_M=45^0`.
    Аналогично, `/_O=75^0, /_L=60^0`.
    R - радиус окружности.
    Тогда `AB=2R, AC=R, BC=Rsqrt3`.
    `S_(ABC)=sqrt3/2R^2=32 => R^2=64/sqrt3`.

    `LM=2Rsin75^0, OM=2Rsin60^0`.
    `S_(LOM)=1/2*4R^2*sin60^0*sin75^0*sin45^0=`
    `=2R^2*sqrt3/2*sqrt2/2*(sqrt2+sqrt6)/4=R^2*sqrt3*(1+sqrt3)/4=`
    `=16(1+sqrt3) ~ 43,71`.
    Ближайшее целое число равно `44`.

    Ответ: `44`.
  • Задача №7.
    Вычислить
    `10sqrt2(sin^3((7pi)/32)cos((21pi)/32)+cos^3((7pi)/32)sin((21pi)/32))cos((7pi)/8)`.

    Решение:
    `(7pi)/32=x`,
    `f(x)=10sqrt2(sin^3xcos3x+cos^3xsin3x)cos4x`.
    `cos3x=4cos^3x-3cosx`,
    `sin3x=3sinx-4sin^3x`,
    `sin^3xcos3x+cos^3xsin3x=sin^3x(4cos^3x-3cosx)+cos^3x(3sinx-4sin^3x)=`
    `=3cos^3xsinx-3cosxsin^3x=3sinxcosx(cos^2x-sin^2x)=3sinxcosxcos2x`
    `f(x)=10sqrt2*3sinxcosxcos2x*cos4x=10sqrt2*3/2sin2x*cos2x*cos4x=`
    `10sqrt2*3/4sin4x*cos4x=10sqrt2*3/8sin8x=(15sqrt2)/4sin8x`
    `f((7pi)/32)=(15sqrt2)/4*sin((7pi)/4)=-15/4=-3.75`.

    Ответ: `-3.75`.
  • Задача №8.
    Решив неравенство `sqrt(x^2-x-56)-sqrt(x^2-25x+136)<8sqrt((x+7)/(x-8))`, найдите сумму его целых решений, принадлежащих отрезку `[-25;25]`.

    Решение:
    ОДЗ:
    `x^2-x-56>=0 iff x in (-oo;-7]uu[8;+oo)`,
    `x^2-25x+136>=0 iff  x in (-oo;8]uu[17;+oo)`,
    `(x+7)/(x-8)>=0 iff x in (-oo;-7]uu(8;+oo)`,
    `x in (-oo;-7]uu[17;+oo)`.

    `1` случай: найдем решения на интервале `x in [17;+oo)`.
    Тогда можем разбить все корни следующим образом:
    `sqrt(x-8)*(sqrt(x+7)-sqrt(x-17))<8sqrt((x+7)/(x-8))`.
    Домножим на положительный `sqrt(x-8)`:
    `(x-8)*(sqrt(x+7)-sqrt(x-17))<8sqrt(x+7)`.
    Домножим на положительную сумму `sqrt(x+7)+sqrt(x-17)`:
    `24(x-8)<8sqrt(x+7)(sqrt(x+7)+sqrt(x-17))`,
    `3x-24<x+7+sqrt((x+7)(x-17))`,
    `2x-31<sqrt((x+7)(x-17))`.
    На нашем интервале левая часть положительна, можем все возвести в квадрат:
    `4x^2-124x+961<x^2-10x-119`,
    `x in (18;20)` - только одно целое решение `x=19`.

    `2` случай: `x in (-oo;-7]`.
    В этом случае корни разбиваются по другому:
    `sqrt(8-x)*(sqrt(-x-7)-sqrt(17-x))<8sqrt((-x-7)/(8-x))`.
    Сразу видим, что левая часть всегда отрицательна при наших `x`, поэтому неравенство верно всегда.
    Целые `x=-25,-24,...,-7`.

    Сумма всех целых решений равна
    `-25-24-...-8-7+19=-285`.

    Ответ: `-285`.
  • Задача №9.
    Найдите наименьшее значение выражения
    `(sqrt(2(1+cos2x)) - sqrt(9-sqrt7)sinx + 1)*(3 + 2sqrt(13-sqrt7)cosy - cos2y)`
    В случае, если ответ будет нецелым числом, округлите его до ближайшего целого.

    Решение:
    Пусть `f=sqrt(2(1+cos2x)) - sqrt(9-sqrt7)sinx + 1`,
    `g=3 + 2sqrt(13-sqrt7)cosy - cos2y`.
    `sqrt(9-sqrt7)=a, sqrt(13-sqrt7)=b`.
    `f(t)=2sqrt(1-t^2)-at+1`,
    `g(s)=-2s^2+2bs+4`.

    Надо найти области значений `Ef, Eg` при `t,s in [-1;1]`.
    Найдем вершину параболы `g(s)`:
    `s_max=b/2 >1 => g_min=g(-1), g_max=g(1)`. На отрезке `[-1;1]` функция возрастает.
    `Eg=[2-2b;2+2b]`.

    Чтобы найти `Ef` надо исследовать `f(t)`.
    Производная `f'(t)=(-2t)/sqrt(1-t^2)-a`.
    Если `t>=0 =>` функция убывает.
    Пусть `t in [-1;0]`:
    `(-2t)/sqrt(1-t^2)>a`,
    `-2t>asqrt(1-t^2)`,
    `4t^2>a^2(1-t^2)`,
    `t^2(a^2+4)>a^2 iff t^2>(a^2)/(a^2+4)`,
    `t in [-1;-a/sqrt(a^2+4))` - функция возрастает.
    Итак, `f(t)` возрастает на `[-1;-a/sqrt(a^2+4)]`, убывает на `[-a/sqrt(a^2+4);1]`.
    `t_max=-a/sqrt(a^2+4), t_min=-1` или `1`.
    `f(t)=2sqrt(1-t^2)-at+1`,
    `f_max=2sqrt(1-(a^2)/(a^2+4))+(a^2)/sqrt(a^2+4)+1=`
    `=4/sqrt(a^2+4)+(a^2)/sqrt(a^2+4)+1=sqrt(a^2+4)+1`.
    `f_min=f(1)=1-a`.
    `Ef=[1-a;sqrt(a^2+4)+1]`.

    Обе области значений представляют собой отрезок, левая часть которого отрицательна, правая положительна.
    `min(f*g)=(1-a)(2+2b)` или `(2-2b)(sqrt(a^2+4)+1)`.
    `(1-a)(2+2b)=(1-sqrt(9-sqrt7))(2+2sqrt(13-sqrt7)) ~ -12,83`
    `(2-2b)(sqrt(a^2+4)+1)=(2-2sqrt(13-sqrt7))(sqrt(13-sqrt7)+1)=`
    `=-2(13-sqrt7-1)=-2(12-sqrt7) ~ -18,71`.
    `min(f*g) ~ -18,71`, ближайшее целое число равно `(-19)`.

    Ответ: `-19`.
  • Задача №10.
    Найдите такое наибольшее целое `k`,  что хотя бы для одного натурального `n>1000` число `n! = 1*2*...*n` делится на `2^(n+k+2)`.

    Решение:
    Пусть `f(n)` - степень двойки в разложении `n!` на степени простых сомножителей.
    По условию `f(n)>=n+k+2 => k<=f(n)-n-2`.
    Известна явная формула для `f(n)` (при необходимости легко доказывается):
    `f(n)=[n/2]+[n/2^2]+[n/2^3]+...`, где `[x]` - означает целую часть от `x`.
    Оценим `f(n)` сверху.
    Очевидно строгое неравенство (за счет хвостов, меньших `1`)
    `f(n)<n/2+n/2^2+n/2^3+...=n*(1/2+1/2^2+...)=n`. Сумма бесконечной геометрической прогрессии.
    В силу того, что `f(n)` целый, получаем, что `f(n)<=n-1`.
    При `n=2^k` неравенство превращается в равенство.
    Действительно: `f(n)=2^(k-1)+2^(k-2)+...+2+1=2^k-1=n-1`.

    `f(n)-n<=-1`, равенство достигается, например, при `n=1024`.
    Тогда `k<=f(n)-n-2=-3` при `n=1024`.

    Ответ: `-3`.

Рассылка решений заочных туров олимпиад по математике