ОММО 2019
Условия и ответы ОММО (все варианты).
info@olympiads.biz - почта для подключения следующих олимпиад.

Олимпиада Ломоносов 2014-2015 по математике / Задания и решения отборочного этапа
  • Ответы на все задания 1 тура
    Задача №1-1.
    Три подруги Елена, Ольга и Татьяна решили открыть маленький бутик готового платья. Елена купила для магазина `80` платьев (все по одной цене), Ольга – `50` таких же платьев, а Татьяна внесла в предприятие `156` тысяч рублей. Известно, что Елена и Ольга могут поделить эти деньги между собой так, что вклад в общее дело каждой из трёх девушек будет одинаковым. Сколько денег полагается Елене? Ответ дать в тысячах рублей.
    Ответ: `132`.

    Задача №1-2.
    Три подруги Елена, Ольга и Татьяна решили открыть маленький бутик готового платья. Елена купила для магазина `80` платьев (все по одной цене), Ольга – `50` таких же платьев, а Татьяна внесла в предприятие `234` тысяч рублей. Известно, что Елена и Ольга могут поделить эти деньги между собой так, что вклад в общее дело каждой из трёх девушек будет одинаковым. Сколько денег полагается Елене? Ответ дать в тысячах рублей.
    Ответ: `198`.

    Задача №1-3.
    Бизнесмены Иванов, Петров и Сидоров решили создать автопредприятие. Иванов купил для предприятия `70` одинаковых автомобилей, Петров – `40` таких же автомобилей, а Сидоров внёс в предприятие `33` миллиона рублей. Известно, что Иванов и Петров могут поделить эти деньги между собой так, что вклад в общее дело каждого из трёх бизнесменов будет одинаковым. Сколько денег полагается Иванову? Ответ дать в миллионах рублей.
    Ответ: `30`.

    Задача №1-4.
    Фермеры Иван, Петр и Федор решили создать молочную ферму. Иван купил для фермы `90` коров (все по одной цене), Петров – `80` таких же коров, а Федор внёс в предприятие `34` тысячи долларов. Известно, что Иван и Петр могут поделить эти деньги между собой так, что вклад в общее дело каждого из трёх фермеров будет одинаковым. Сколько денег полагается Ивану? Ответ дать в тысячах долларов.
    Ответ: `20`.

    Задача №1-5.
    Выпускники престижного колледжа Александр, Борис и Валерий решили создать компьютерную фирму. Александр купил для фирмы `30` одинаковых компьютеров, Борис – `50` таких же компьютеров, а Валерий внёс в предприятие `32` тысячи долларов. Известно, что Александр и Борис могут поделить эти деньги между собой так, что вклад в общее дело каждого из трёх молодых людей будет одинаковым. Сколько денег полагается Борису? Ответ дать в тысячах долларов.
    Ответ: `28`.

    Задача №1-6.
    Бизнесмены Иванов, Петров и Сидоров решили создать автопредприятие. Иванов купил для предприятия `70` одинаковых автомобилей, Петров – `40` таких же автомобилей, а Сидоров внёс в предприятие `44` миллиона рублей. Известно, что Иванов и Петров могут поделить эти деньги между собой так, что вклад в общее дело каждого из трёх бизнесменов будет одинаковым. Сколько денег полагается Иванову? Ответ дать в миллионах рублей.
    Ответ: `40`.

    Задача №1-7.
    Выпускники престижного колледжа Александр, Борис и Валерий решили создать компьютерную фирму. Александр купил для фирмы `30` одинаковых компьютеров, Борис – `50` таких же компьютеров, а Валерий внёс в предприятие `24` тысячи долларов. Известно, что Александр и Борис могут поделить эти деньги между собой так, что вклад в общее дело каждого из трёх молодых людей будет одинаковым. Сколько денег полагается Борису? Ответ дать в тысячах долларов.
    Ответ: `21`.

    Задача №1-8.
    Фермеры Иван, Петр и Федор решили создать молочную ферму. Иван купил для фермы `90` коров (все по одной цене), Петров – `80` таких же коров, а Федор внёс в предприятие `51` тысячу долларов. Известно, что Иван и Петр могут поделить эти деньги между собой так, что вклад в общее дело каждого из трёх фермеров будет одинаковым. Сколько денег полагается Ивану? Ответ дать в тысячах долларов.
    Ответ: `30`.
  • Задача №2-1.
    Сколько `9`-значных чисел, делящихся на `2`, можно составить путём перестановки цифр числа `131 152 152`?
    Ответ: `840`.

    Задача №2-2.
    Сколько `9`-значных чисел, делящихся на `5`, можно составить путём перестановки цифр числа `137 153 751`?
    Ответ: `1680`.

    Задача №2-3.
    Сколько `9`-значных чисел, делящихся на `2`, можно составить путём перестановки цифр числа `231 157 152`?
    Ответ: `3360`.

    Задача №2-4.
    Сколько `9`-значных чисел, делящихся на `5`, можно составить путём перестановки цифр числа `377 353 752`?
    Ответ: `1120`.
  • Задача №3-1.
    Определите расстояние между непересекающимися диагоналями двух смежных граней куба, если площадь полной поверхности этого куба равна `288`. В случае, если ответ будет нецелым числом, округлите его до ближайшего целого.
    Ответ: `4`.

    Задача №3-2.
    Определите расстояние между непересекающимися диагоналями двух смежных граней куба, если площадь полной поверхности этого куба равна `162`. В случае, если ответ будет нецелым числом, округлите его до ближайшего целого.
    Ответ: `3`.

    Задача №3-3.
    Определите расстояние между непересекающимися диагоналями двух смежных граней куба, если площадь полной поверхности этого куба равна `882`. В случае, если ответ будет нецелым числом, округлите его до ближайшего целого.
    Ответ: `7`.

    Задача №3-4.
    Определите расстояние между непересекающимися диагоналями двух смежных граней куба, если площадь полной поверхности этого куба равна `450`. В случае, если ответ будет нецелым числом, округлите его до ближайшего целого.
    Ответ: `5`.

    Задача №3-5.
    Определите расстояние между непересекающимися диагоналями двух смежных граней куба, если площадь полной поверхности этого куба равна `648`. В случае, если ответ будет нецелым числом, округлите его до ближайшего целого.
    Ответ: `6`.

    Задача №3-6.
    Определите расстояние между непересекающимися диагоналями двух смежных граней куба, если площадь полной поверхности этого куба равна `1152`. В случае, если ответ будет нецелым числом, округлите его до ближайшего целого.
    Ответ: `8`.

    Задача №3-7.
    Определите площадь полной поверхности куба, если расстояние между непересекающимися диагоналями двух смежных граней этого куба равно `3`. В случае, если ответ будет нецелым числом, округлите его до ближайшего целого.
    Ответ: `162`.

    Задача №3-8.
    Определите площадь полной поверхности куба, если расстояние между непересекающимися диагоналями двух смежных граней этого куба равно `8`. В случае, если ответ будет нецелым числом, округлите его до ближайшего целого.
    Ответ: `1152`.

    Задача №3-9.
    Определите площадь полной поверхности куба, если расстояние между непересекающимися диагоналями двух смежных граней этого куба равно `7`. В случае, если ответ будет нецелым числом, округлите его до ближайшего целого.
    Ответ: `882`.

    Задача №3-10.
    Определите площадь полной поверхности куба, если расстояние между непересекающимися диагоналями двух смежных граней этого куба равно `6`. В случае, если ответ будет нецелым числом, округлите его до ближайшего целого.
    Ответ: `648`.

    Задача №3-11.
    Определите площадь полной поверхности куба, если расстояние между непересекающимися диагоналями двух смежных граней этого куба равно `4`. В случае, если ответ будет нецелым числом, округлите его до ближайшего целого.
    Ответ: `288`.
  • Задача №4-1.
    Найдите сумму всех корней уравнения `x^2-31x+220=2^x(31-2x-2^x)`.
    Ответ: `7`.

    Задача №4-2.
    Найдите сумму всех корней уравнения `4x^2-58x+190=(29-4x-log_2x)*log_2x`.
    Ответ: `12`.

    Задача №4-3.
    Найдите сумму всех корней уравнения `x^2-41x+330=3^x(41-2x-3^x)`.
    Ответ: `5`.

    Задача №4-4.
    Найдите сумму всех корней уравнения `4x^2-44x+40=(22-4x-log_3x)*log_3x`.
    Ответ: `10`.
  • Задача №5-1.
    Среди всех простых дробей, числитель и знаменатель которых являются двузначными числами, найдите наименьшую дробь, большую чем `3/5`.
    В ответе укажите её числитель.
    Ответ: `59`.

    Задача №5-2.
    Среди всех простых дробей, числитель и знаменатель которых являются двузначными числами, найдите наименьшую дробь, большую чем `4/5`.
    В ответе укажите её числитель.
    Ответ: `77`.

    Задача №5-3.
    Среди всех простых дробей, числитель и знаменатель которых являются двузначными числами, найдите наименьшую дробь, большую чем `5/7`.
    В ответе укажите её числитель.
    Ответ: `68`.

    Задача №5-4.
    Среди всех простых дробей, числитель и знаменатель которых являются двузначными числами, найдите наименьшую дробь, большую чем `5/6`.
    В ответе укажите её числитель.
    Ответ: `81`.

    Задача №5-5.
    Среди всех простых дробей, числитель и знаменатель которых являются двузначными числами, найдите наименьшую дробь, большую чем `3/4`.
    В ответе укажите её числитель.
    Ответ: `73`.

    Задача №5-6.
    Среди всех простых дробей, числитель и знаменатель которых являются двузначными числами, найдите наименьшую дробь, большую чем `4/9`.
    В ответе укажите её числитель.
    Ответ: `41`.
  • Задача №6-1.
    В неравнобедренном треугольнике `ABC` один из углов равен разности двух других и один из углов в два раза больше другого. Биссектрисы углов `A, B` и `C` пересекают описанную вокруг треугольника окружность в точках `L, O` и `M`, соответственно. Найдите площадь треугольника `LOM`, если площадь треугольника `ABC` равна `32`. В случае, если ответ будет нецелым числом, округлите его до ближайшего целого.
    Ответ: `44`.

    Задача №6-2.
    В неравнобедренном треугольнике `ABC` один из углов равен разности двух других и один из углов в два раза больше другого. Биссектрисы углов `A, B` и `C` пересекают описанную вокруг треугольника окружность в точках `L, O` и `M`, соответственно. Найдите площадь треугольника `LOM`, если площадь треугольника `ABC` равна `8`. В случае, если ответ будет нецелым числом, округлите его до ближайшего целого.
    Ответ: `11`.

    Задача №6-3.
    В неравнобедренном треугольнике `ABC` один из углов равен разности двух других и один из углов в два раза больше другого. Биссектрисы углов `A, B` и `C` пересекают описанную вокруг треугольника окружность в точках `L, O` и `M`, соответственно. Найдите площадь треугольника `LOM`, если площадь треугольника `ABC` равна `20`. В случае, если ответ будет нецелым числом, округлите его до ближайшего целого.
    Ответ: `27`.

    Задача №6-4.
    В неравнобедренном треугольнике `ABC` один из углов равен разности двух других и один из углов в два раза больше другого. Биссектрисы углов `A, B` и `C` пересекают описанную вокруг треугольника окружность в точках `L, O` и `M`, соответственно. Найдите площадь треугольника `LOM`, если площадь треугольника `ABC` равна `2`. В случае, если ответ будет нецелым числом, округлите его до ближайшего целого.
    Ответ: `3`.
  • Задача №7-1.
    Вычислить
    `10sqrt2(sin^3((7pi)/32)cos((21pi)/32)+cos^3((7pi)/32)sin((21pi)/32))cos((7pi)/8)`.
    Ответ: `-3.75`.

    Задача №7-2.
    Вычислить
    `10sqrt2(sin^3((3pi)/32)cos((9pi)/32)+cos^3((3pi)/32)sin((9pi)/32))cos((3pi)/8)`.
    Ответ: `3.75`.

    Задача №7-3.
    Вычислить
    `4(sin^3((47pi)/48)cos((47pi)/16)+cos^3((47pi)/48)sin((47pi)/16))cos((47pi)/12)`.
    Ответ: `-0.75`.

    Задача №7-4.
    Вычислить
    `4(sin^3((49pi)/48)cos((49pi)/16)+cos^3((49pi)/48)sin((49pi)/16))cos((49pi)/12)`.
    Ответ: `0.75`.

    Задача №7-5.
    Вычислить
    `4sqrt3(sin^3((13pi)/24)cos((13pi)/8)+cos^3((13pi)/24)sin((13pi)/8))cos((13pi)/6)`.
    Ответ: `2.25`.

    Задача №7-6.
    Вычислить
    `4sqrt3(sin^3((11pi)/24)cos((11pi)/8)+cos^3((11pi)/24)sin((11pi)/8))cos((11pi)/6)`.
    Ответ: `-2.25`.
  • Задача №8-1.
    Решив неравенство `sqrt(x^2-x-56)-sqrt(x^2-25x+136)<8sqrt((x+7)/(x-8))`, найдите сумму его целых решений, принадлежащих отрезку `[-25;25]`.
    Ответ: `-285`.

    Задача №8-2.
    Решив неравенство `sqrt(x^2+3x-54)-sqrt(x^2+27x+162)<8sqrt((x-6)/(x+9))`, найдите сумму его целых решений, принадлежащих отрезку `[-25;25]`.
    Ответ: `290`.

    Задача №8-3.
    Решив неравенство `sqrt(x^2+x-56)-sqrt(x^2+25x+136)<8sqrt((x-7)/(x+8))`, найдите сумму его целых решений, принадлежащих отрезку `[-25;25]`.
    Ответ: `285`.

    Задача №8-4.
    Решив неравенство `sqrt(x^2-3x-54)-sqrt(x^2-27x+162)<8sqrt((x+6)/(x-9))`, найдите сумму его целых решений, принадлежащих отрезку `[-25;25]`.
    Ответ: `-290`.
  • Задача №9-1.
    Найдите наименьшее значение выражения
    `(sqrt(2(1+cos2x)) - sqrt(9-sqrt7)sinx + 1)*(3 + 2sqrt(13-sqrt7)cosy - cos2y)`
    В случае, если ответ будет нецелым числом, округлите его до ближайшего целого.
    Ответ: `-19`.

    Задача №9-2.
    Найдите наибольшее значение выражения
    `(sqrt(8-4sqrt3)sinx-3sqrt(2(1+cos2x)) - 2)*(3 + 2sqrt(11-sqrt3)cosy - cos2y)`
    В случае, если ответ будет нецелым числом, округлите его до ближайшего целого.
    Ответ: `33`.

    Задача №9-3.
    Найдите наибольшее значение выражения
    `(sqrt(36-4sqrt5)sinx-sqrt(2(1+cos2x)) - 2)*(3 + 2sqrt(10-sqrt5)cosy - cos2y)`
    В случае, если ответ будет нецелым числом, округлите его до ближайшего целого.
    Ответ: `27`.

    Задача №9-4.
    Найдите наибольшее значение выражения
    `(sqrt(9-sqrt7)sinx - sqrt(2(1+cos2x)) - 1)*(3 + 2sqrt(13-sqrt7)cosy - cos2y)`
    В случае, если ответ будет нецелым числом, округлите его до ближайшего целого.
    Ответ: `19`.

    Задача №9-5.
    Найдите наименьшее значение выражения
    `(sqrt(2(1+cos2x)) - sqrt(3-sqrt2)sinx + 1)*(3 + 2sqrt(7-sqrt2)cosy - cos2y)`
    В случае, если ответ будет нецелым числом, округлите его до ближайшего целого.
    Ответ: `-9`.

    Задача №9-6.
    Найдите наибольшее значение выражения
    `(sqrt(3-sqrt2)sinx - sqrt(2(1+cos2x)) - 1)*(3 + 2sqrt(7-sqrt2)cosy - cos2y)`
    В случае, если ответ будет нецелым числом, округлите его до ближайшего целого.
    Ответ: `9`.

    Задача №9-7.
    Найдите наименьшее значение выражения
    `(3sqrt(2(1+cos2x)) -sqrt(8-4sqrt3)sinx + 2)*(3 + 2sqrt(11-sqrt3)cosy - cos2y)`
    В случае, если ответ будет нецелым числом, округлите его до ближайшего целого.
    Ответ: `-33`.

    Задача №9-8.
    Найдите наименьшее значение выражения
    `(sqrt(2(1+cos2x)) - sqrt(36-4sqrt5)sinx + 2)*(3 + 2sqrt(10-sqrt5)cosy - cos2y)`
    В случае, если ответ будет нецелым числом, округлите его до ближайшего целого.
    Ответ: `-27`.
  • Задача №10-1.
    Найдите такое наибольшее целое `k`,  что хотя бы для одного натурального `n>1000` число `n! = 1*2*...*n` делится на `2^(n+k+2)`.
    Ответ: `-3`.

    Задача №10-2.

    Найдите такое наибольшее целое `k`,  что хотя бы для одного натурального `n>2000` число `n! = 1*2*...*n` делится на `2^(n+k+4)`.
    Ответ: `-5.

    Задача №10-3.

    Найдите такое наибольшее целое `n`,  что хотя бы для одного натурального `m>500` число `m! = 1*2*...*m` делится на `2^(m+n+3)`.
    Ответ: `-4`.

    Задача №10-4.
    Найдите такое наибольшее целое `n`,  что хотя бы для одного натурального `m>10000` число `m! = 1*2*...*m` делится на `2^(m+n+5)`.
    Ответ: `-6`.

Рассылка решений заочных туров олимпиад по математике