Рассылка решений заочных туров олимпиад по математике

Подписывайтесь на нашу рассылку решений заочных туров всех олимпиад по математике: Ломоносов, Покори Воробьевы горы, Высшая проба, Физтех 2018 и другие перечневые олимпиады.

2 тур отборочного этапа олимпиады Ломоносов по математике / Задания и решения


  • Сезон олимпиад 2016-2017 открыт!
    Идет запись на наши курсы подготовки к олимпиадам по математике с гарантированным результатом.
    image
    1. Индивидуальные занятия и консультации.
    2. Помощь в прохождении заочных туров олимпиад. Одна олимпиада 1-5 тыс. руб.
    3. Помощь эксперта на очных турах олимпиад. Одна олимпиада от 30 тыс. руб.
    4. Гарантия успешного результата (курсы ведутся пятый сезон).

    Стоимость курсов от 3000 до 25000 руб. в месяц. Стандартный курс - 10000 руб. в месяц. Длительность курсов - 6 месяцев.
    В составе стандартного курса заочные туры 10 олимпиад и очные туры 2 олимпиад.
    Посмотреть тарифные планы и подробную информацию по курсам подготовки.

    Олимпиада Ломоносов 2015-2016 - задания и решения отборочного этапа по математике.2 тур отборочного этапа олимпиады Ломоносов по математике. Задания и решения.
    В данной теме выкладываются (с 20 декабря) частичные решения 2 тура отборочного этапа (заочный тур) олимпиады Ломоносов 2014-2015 года по математике. Первый тур выложен в другой теме.
    Задания и решения всех этапов (отборочные и очные) за прошлые годы (2009-2013 годы), а также иная дополнительная информация - выложены в разделе олимпиада Ломоносов.
  • Задача №1.
    Средняя оценка на ЕГЭ по математике всех выпускников школы, в которой два выпускных класса, оказалась равна `58` баллам. При этом средняя оценка у учеников `11` «А» класса составляет `54,5` балла, а у учеников `11` «Б» класса - `62` балла. Сколько учеников в `11` «Б» классе, если известно, что по нормативам в классе должно быть не меньше `22` и не больше `39` учеников?

    Решение:
    `m` учеников в "А" классе, `n` учеников в "Б" классе.
    По условию, `m,n in NN, m,n in [22;39]`.
    Основное уравнение задачи:
    `54.5m+62n=58(m+n)`,
    `4n=3.5m`,
    `8n=7m`.
    `8n` делится на `7`, `8` и `7` взаимно просты, следовательно `n` делится на `7`.
    `n=7k, k in NN => m=8k`.
    `7k in [22;39] => k=4,5`.
    `8k in [22;39] => k=3,4`.
    `k=4 => n=7k=28`.

    Ответ:
    `28`.

    Задача №1.
    Средняя оценка на ЕГЭ по математике всех выпускников школы, в которой два выпускных класса, оказалась равна `61` баллу. При этом средняя оценка у учеников `11` «А» класса составляет `58` балла, а у учеников `11` «Б» класса - `64,5` балла. Сколько учеников в `11` «Б» классе, если известно, что по нормативам в классе должно быть не меньше `19` и не больше `34` учеников?

    Решение:
    `m` учеников в "А" классе, `n` учеников в "Б" классе.
    По условию, `m,n in NN, m,n in [19;34]`.
    Основное уравнение задачи:
    `58m+64.5n=61(m+n)`,
    `3.5n=3m`,
    `7n=6m`.
    `7n` делится на `6`, `7` и `6` взаимно просты, следовательно `n` делится на `6`.
    `n=6k, k in NN => m=7k`.
    `6k in [19;34] => k=4,5`.
    `7k in [19;34] => k=3,4`.
    `k=4 => n=6k=24`.

    Ответ: `24`.

    Задача №1.
    Средняя оценка на ЕГЭ по математике всех выпускников школы, в которой два выпускных класса, оказалась равна `64` баллам. При этом средняя оценка у учеников `11` «А» класса составляет `62,5` балла, а у учеников `11` «Б» класса - `66,5` балла. Сколько учеников в `11` «А» классе, если известно, что по нормативам в классе должно быть не меньше `16` и не больше `34` учеников?

    Решение:
    `m` учеников в "А" классе, `n` учеников в "Б" классе.
    По условию, `m,n in NN, m,n in [16;34]`.
    Основное уравнение задачи:
    `62.5m+66.5n=64(m+n)`,
    `2.5n=1.5m`,
    `5n=3m`.
    `5n` делится на `3`, `5` и `3` взаимно просты, следовательно `n` делится на `3`.
    `n=3k, k in NN => m=5k`.
    `3k in [16;34] => k=6,7,8,9,10`.
    `5k in [16;34] => k=4,5,6`.
    `k=6 => m=5k=30`.

    Ответ: `30`.

    Задача №1.
    Средняя оценка на ЕГЭ по математике всех выпускников школы, в которой два выпускных класса, оказалась равна `62` баллам. При этом средняя оценка у учеников `11` «А» класса составляет `59,5` балла, а у учеников `11` «Б» класса - `65,5` балла. Сколько учеников в `11` «А» классе, если известно, что по нормативам в классе должно быть не меньше `16` и не больше `34` учеников?

    Решение:
    `m` учеников в "А" классе, `n` учеников в "Б" классе.
    По условию, `m,n in NN, m,n in [16;34]`.
    Основное уравнение задачи:
    `59.5m+65.5n=62(m+n)`,
    `3.5n=2.5m`,
    `7n=5m`.
    `7n` делится на `5`, `7` и `5` взаимно просты, следовательно `n` делится на `5`.
    `n=5k, k in NN => m=7k`.
    `5k in [16;34] => k=4,5,6`.
    `7k in [16;34] => k=3,4`.
    `k=4 => m=7k=28`.

    Ответ: `28`.

    Задача №1.
    Средняя оценка на ЕГЭ по математике всех выпускников школы, в которой два выпускных класса, оказалась равна `56` баллам. При этом средняя оценка у учеников `11` «А» класса составляет `53,5` балла, а у учеников `11` «Б» класса - `58` баллов. Сколько учеников в `11` «А» классе, если известно, что по нормативам в классе должно быть не меньше `21` и не больше `34` учеников?

    Решение:
    `m` учеников в "А" классе, `n` учеников в "Б" классе.
    По условию, `m,n in NN, m,n in [21;34]`.
    Основное уравнение задачи:
    `53.5m+58n=56(m+n)`,
    `2n=2.5m`,
    `4n=5m`.
    `4n` делится на `5`, `4` и `5` взаимно просты, следовательно `n` делится на `5`.
    `n=5k, k in NN => m=4k`.
    `5k in [21;34] => k=5,6`.
    `4k in [21;34] => k=6,7,8`.
    `k=6 => m=4k=24`.

    Ответ:
    `24`.

    Задача №1.
    Средняя оценка на ЕГЭ по математике всех выпускников школы, в которой два выпускных класса, оказалась равна `55` баллам. При этом средняя оценка у учеников `11` «А» класса составляет `52,5` балла, а у учеников `11` «Б» класса - `59` балла. Сколько учеников в `11` «Б» классе, если известно, что по нормативам в классе должно быть не меньше `16` и не больше `39` учеников?

    Решение:
    `m` учеников в "А" классе, `n` учеников в "Б" классе.
    По условию, `m,n in NN, m,n in [16;39]`.
    Основное уравнение задачи:
    `52.5m+59n=55(m+n)`,
    `4n=2.5m`,
    `8n=6m`.
    `8n` делится на `6`, `8` и `6` взаимно просты, следовательно `n` делится на `6`.
    `n=6k, k in NN => m=8k`.
    `6k in [16;39] => k=4,5,6`.
    `8k in [16;39] => k=2,3,4`.
    `k=4 => n=6k=24`.

    Ответ: `24`.

    Задача №1.
    Средняя оценка на ЕГЭ по математике всех выпускников школы, в которой два выпускных класса, оказалась равна `57` баллам. При этом средняя оценка у учеников `11` «А» класса составляет `52,5` балла, а у учеников `11` «Б» класса - `62` балла. Сколько учеников в `11` «Б» классе, если известно, что по нормативам в классе должно быть не меньше `19` и не больше `39` учеников?

    Решение:
    `m` учеников в "А" классе, `n` учеников в "Б" классе.
    По условию, `m,n in NN, m,n in [19;39]`.
    Основное уравнение задачи:
    `52.5m+62n=57(m+n)`,
    `5n=4.5m`,
    `10n=9m`.
    `10n` делится на `9`, `10` и `9` взаимно просты, следовательно `n` делится на `9`.
    `n=9k, k in NN => m=10k`.
    `9k in [19;39] => k=3,4`.
    `10k in [19;39] => k=2,3`.
    `k=3 => n=9k=27`.

    Ответ:
    `27`.

    Задача №1.
    Средняя оценка на ЕГЭ по математике всех выпускников школы, в которой два выпускных класса, оказалась равна `53` баллам. При этом средняя оценка у учеников `11` «А» класса составляет `48,5` балла, а у учеников `11` «Б» класса - `57` баллов. Сколько учеников в `11` «Б» классе, если известно, что по нормативам в классе должно быть не меньше `17` и не больше `35` учеников?

    Решение:
    `m` учеников в "А" классе, `n` учеников в "Б" классе.
    По условию, `m,n in NN, m,n in [17;35]`.
    Основное уравнение задачи:
    `48.5m+57n=53(m+n)`,
    `4n=4.5m`,
    `8n=9m`.
    `8n` делится на `9`, `8` и `9` взаимно просты, следовательно `n` делится на `9`.
    `n=9k, k in NN => m=8k`.
    `9k in [17;35] => k=2,3`.
    `8k in [17;35] => k=3,4`.
    `k=3 => n=9k=27`.

    Ответ:
    `27`.

    Задача №1.
    Средняя оценка на ЕГЭ по математике всех выпускников школы, в которой два выпускных класса, оказалась равна `54` баллам.
    При этом средняя оценка у учеников `11` «А» класса составляет `50,5` балла, а у учеников `11` «Б» класса - `56` балла.
    Сколько учеников в `11` «А» классе, если известно, что по нормативам в классе должно быть не меньше `13` и не больше `34` учеников?

    Решение:
    `m` учеников в "А" классе, `n` учеников в "Б" классе.
    По условию, `m,n in NN, m,n in [13;34]`.
    Основное уравнение задачи:
    `50.5m+56n=54(m+n)`,
    `2n=3.5m`,
    `4n=7m`.
    `4n` делится на `7`, `4` и `7` взаимно просты, следовательно `n` делится на `7`.
    `n=7k, k in NN => m=4k`.
    `7k in [13;34] => k=2,3,4`.
    `4k in [13;34] => k=4,5,6,7,8`.
    `k=4 => m=4k=16`.

    Ответ:
    `16`.

    Задача №1.
    Средняя оценка на ЕГЭ по математике всех выпускников школы, в которой два выпускных класса, оказалась равна `60` баллам.
    При этом средняя оценка у учеников `11` «А» класса составляет `55,5` балла, а у учеников `11` «Б» класса - `63,5` балла.
    Сколько учеников в `11` «А» классе, если известно, что по нормативам в классе должно быть не меньше `15` и не больше `35` учеников?

    Решение:
    `m` учеников в "А" классе, `n` учеников в "Б" классе.
    По условию, `m,n in NN, m,n in [15;35]`.
    Основное уравнение задачи:
    `55.5m+63.5n=60(m+n)`,
    `3.5n=4.5m`,
    `7n=9m`.
    `7n` делится на `9`, `7` и `9` взаимно просты, следовательно `n` делится на `9`.
    `n=9k, k in NN => m=7k`.
    `9k in [15;35] => k=2,3`.
    `7k in [15;35] => k=3,4,5`.
    `k=3 => m=7k=21`.

    Ответ: `21`.
  • Задача №2.
    Найдите все значения `a`, при каждом из которых уравнение `((a - 1)x^2 - 4x + 1)/(x-1) = 0` имеет ровно один корень. В ответе укажите сумму всех таких значений `a`.

    Решение:
    `1` случай: `a=1`.
    `(-4x+1)/(x-1)=0 => x=1/4` - годится под условие.
    `2` случай: `a!=1, D=0`.
    `D=16-4(a-1)=0`,
    `a=5 => x=1/2` - годится.
    `3` случай: `a!=1, D>0, x_1=1`.
    `D=16-4(a-1)>0 => a<5`.
    `x=1 => a-1-4+1=0, a=4`.

    `sum a=1+5+4=10`.

    Ответ:
    `10`.

    Задача №2.
    Найдите все значения `a`, при каждом из которых уравнение `((a - 4)x^2 + 6x - 2)/(x-2) = 0` имеет ровно один корень. В ответе укажите сумму всех таких значений `a`.

    Решение:
    `1` случай: `a=4`.
    `(6x-2)/(x-2)=0 => x=1/3` - годится под условие.
    `2` случай: `a!=4, D=0`.
    `D=36+8(a-4)=0`,
    `a=-1/2 => x=2/3` - годится.
    `3` случай: `a!=4, D>0, x_1=2`.
    `D=36+8(a-4)>0 => a> -1/2`.
    `x=2 => 4a-16+12-2=0, a=3/2`.

    `sum a=4-1/2+3/2=5`.

    Ответ:
    `5`.

    Задача №2.
    Найдите все значения `a`, при каждом из которых уравнение `((a + 1)x^2 - 6x + 2)/(x-2) = 0` имеет ровно один корень. В ответе укажите сумму всех таких значений `a`.

    Решение:
    `1` случай: `a=-1`.
    `(-6x+2)/(x-2)=0 => x=1/3` - годится под условие.
    `2` случай: `a!=-1, D=0`.
    `D=36-8(a+1)=0`,
    `a=7/2 => x=2/3` - годится.
    `3` случай: `a!=-1, D>0, x_1=2`.
    `D=36-8(a+4)>0 => a< 7/2`.
    `x=2 => 4a+4-12+2=0, a=3/2`.

    `sum a=-1+7/2+3/2=4`.

    Ответ: `4`.

    Задача №2.
    Найдите все значения `a`, при каждом из которых уравнение `((a - 6)x^2 + 8x - 4)/(x-2) = 0` имеет ровно один корень. В ответе укажите сумму всех таких значений `a`.

    Решение:
    `1` случай: `a=6`.
    `(8x-4)/(x-2)=0 => x=1/2` - годится под условие.
    `2` случай: `a!=6, D=0`.
    `D=64+16(a-6)=0`,
    `a=2 => x=1` - годится.
    `3` случай: `a!=6, D>0, x_1=2`.
    `D=36+8(a-4)>0 => a> 2`.
    `x=2 => 4a-24+16-4=0, a=3`.

    `sum a=6+2+3=11`.

    Ответ: `11`.
  • Задача №3.
    Старуха Шапокляк решила обзавестись коллекцией из `52` саквояжей. В магазине ей на выбор предложили оранжевые, зелёные и голубые саквояжи. Сколькими способами она может сделать покупку? (Саквояжи одного цвета считаются идентичными).

    Решение:
    Пусть всего `n` оранжевых саквояжей, `n in [0;52], n in ZZ`.
    Зеленых и голубых саквояжей останется `52-n`.
    Различные комбинации:
    `(0;52-n), (1,51-n),...,(52-n,0)`.
    Всего `53-n` комбинаций.
    При каждом `n=0,1,2,...,52` получаем `53-n` различных покупок.
    Всего разных покупок:
    `sum=53+52+...+1=(53*54)/2=1431`.

    Примечание: формулой сочетаний с повторениями сразу получим `C_54^2=(54*53)/2=1431`.

    Ответ: `1431`.

    Задача №3.
    Старуха Шапокляк решила обзавестись коллекцией из `49` саквояжей. В магазине ей на выбор предложили оранжевые, зелёные, фиолетовые и голубые саквояжи. Сколькими способами она может сделать покупку? (Саквояжи одного цвета считаются идентичными).

    Решение:
    Пусть всего `n` оранжевых и зеленых саквояжей, `n in [0;49], n in ZZ`.
    Фиолетовых и голубых саквояжей останется `49-n`.
    Различные комбинации:
    `(0;49-n), (1,48-n),...,(49-n,0)`.
    Всего `50-n` комбинаций.
    При каждом `n=0,1,2,...,49` получаем `50-n` различных покупок фиолетовых и голубых саквояжей.
    `n` оранжевых и зеленых саквояжей можно купить `n+1` способами.
    Всего разных покупок:
    `sum=1*50+2*49+...+50*1=sum k(51-k) = sum 51k - sum k^2`
    `sum k^2=(50*51*101)/6=42925`,
    `51sum k=51*(50*51)/2=65025`.
    `sum=22100`.

    Примечание: формулой сочетаний с повторениями сразу получим `C_52^3=(52*51*50)/6=22100`.

    Ответ: `22100`.

    Задача №3.
    Старуха Шапокляк решила обзавестись коллекцией из `50` саквояжей. В магазине ей на выбор предложили оранжевые, зелёные, фиолетовые и голубые саквояжи. Сколькими способами она может сделать покупку? (Саквояжи одного цвета считаются идентичными).

    Решение:
    Пусть всего `n` оранжевых и зеленых саквояжей, `n in [0;50], n in ZZ`.
    Фиолетовых и голубых саквояжей останется `50-n`.
    Различные комбинации:
    `(0;50-n), (1,49-n),...,(50-n,0)`.
    Всего `51-n` комбинаций.
    При каждом `n=0,1,2,...,50` получаем `51-n` различных покупок фиолетовых и голубых саквояжей.
    `n` оранжевых и зеленых саквояжей можно купить `n+1` способами.
    Всего разных покупок:
    `sum=1*51+2*50+...+51*1=sum k(52-k) = sum 52k - sum k^2`
    `sum k^2=(51*52*103)/6=45526`,
    `52sum k=52*(51*52)/2=68952`.
    `sum=23426`.

    Примечание: формулой сочетаний с повторениями сразу получим `C_53^3=(53*52*51)/6=23426`.

    Ответ:
    `23426`.

    Задача №3.
    Старуха Шапокляк решила обзавестись коллекцией из `48` саквояжей. В магазине ей на выбор предложили оранжевые, зелёные и голубые саквояжи. Сколькими способами она может сделать покупку? (Саквояжи одного цвета считаются идентичными).

    Решение:
    Пусть всего `n` оранжевых саквояжей, `n in [0;48], n in ZZ`.
    Зеленых и голубых саквояжей останется `48-n`.
    Различные комбинации:
    `(0;48-n), (1;47-n),...,(48-n,0)`.
    Всего `49-n` комбинаций.
    При каждом `n=0,1,2,...,48` получаем `49-n` различных покупок.
    Всего разных покупок:
    `sum=49+48+...+1=(49*50)/2=1225`.

    Примечание:
    формулой сочетаний с повторениями сразу получим `C_50^2=(50*49)/2=1225`.

    Ответ: `1225`.

    Задача №3.

    Старуха Шапокляк решила обзавестись коллекцией из `48` саквояжей. В магазине ей на выбор предложили оранжевые, зелёные, фиолетовые и голубые саквояжи. Сколькими способами она может сделать покупку? (Саквояжи одного цвета считаются идентичными).

    Решение:
    Пусть всего `n` оранжевых и зеленых саквояжей, `n in [0;48], n in ZZ`.
    Фиолетовых и голубых саквояжей останется `48-n`.
    Различные комбинации:
    `(0;48-n), (1,47-n),...,(48-n,0)`.
    Всего `49-n` комбинаций.
    При каждом `n=0,1,2,...,48` получаем `49-n` различных покупок фиолетовых и голубых саквояжей.
    `n` оранжевых и зеленых саквояжей можно купить `n+1` способами.
    Всего разных покупок:
    `sum=1*49+2*48+...+49*1=sum k(50-k) = sum 50k - sum k^2`
    `sum k^2=(49*50*99)/6=40425`,
    `50sum k=50*(49*50)/2=61250`.
    `sum=20825`.

    Примечание: формулой сочетаний с повторениями сразу получим `C_51^3=(51*50*49)/6=20825`.

    Ответ: `20825`.

    Задача №3.
    Старуха Шапокляк решила обзавестись коллекцией из `50` саквояжей. В магазине ей на выбор предложили оранжевые, зелёные и голубые саквояжи. Сколькими способами она может сделать покупку? (Саквояжи одного цвета считаются идентичными).

    Решение:
    Пусть всего `n` оранжевых саквояжей, `n in [0;50], n in ZZ`.
    Зеленых и голубых саквояжей останется `50-n`.
    Различные комбинации:
    `(0;50-n), (1,49-n),...,(50-n,0)`.
    Всего `51-n` комбинаций.
    При каждом `n=0,1,2,...,50` получаем `51-n` различных покупок.
    Всего разных покупок:
    `sum=51+50+...+1=(51*52)/2=1326`.

    Примечание:
    формулой сочетаний с повторениями сразу получим `C_52^2=(52*51)/2=1326`.

    Ответ: `1326`.
  • Задача №4.
    Найдите все четырёхзначные числа, которые при делении на `71` дают в остатке `27`, а при делении на `79` дают в остатке `40`. В ответ запишите сумму всех таких чисел.

    Решение:
    `n=bar(abcd), n in [1000;9999]`,
    `n=71k+27`,
    `n=79m+40`.
    Основное уравнение:
    `71k+27=79m+40`,
    `71k=79m+13`,
    `71(k-m)=8m+13`.
    `8m+13 vdots 71 => m-=25` `mod` `71`.
    `m=71l+25, k-m=8l+3 => k=79l+28`.
    `n=71k+27=71(79l+28)+27=5609l+2015`.
    `l=0 => n=2015`,
    `l=1 => n=7624`.
    `sum n=2015+7624=9639`.

    Ответ: `9639`.

    Задача №4.
    Найдите все четырёхзначные числа, которые при делении на `61` дают в остатке `20`, а при делении на `67` дают в остатке `41`. В ответ запишите сумму всех таких чисел.

    Решение:
    `n=bar(abcd), n in [1000;9999]`,
    `n=61k+20`,
    `n=67m+41`.
    Основное уравнение:
    `61k+20=67m+41`,
    `61k=67m+21`,
    `61(k-m)=6m+21`.
    `6m+21 vdots 61 => m-=27` `mod` `61`.
    `m=61l+27, k-m=6l+3 => k=67l+30`.
    `n=61k+20=61(67l+30)+20=4087l+1850`.
    `l=0 => n=1850`,
    `l=1 => n=5937`.
    `sum n=1850+5937=7787`.

    Ответ: `7787`.

    Задача №4.
    Найдите все четырёхзначные числа, которые при делении на `79` дают в остатке `39`, а при делении на `83` дают в остатке `22`. В ответ запишите сумму всех таких чисел.

    Решение:
    `n=bar(abcd), n in [1000;9999]`,
    `n=79k+39`,
    `n=83m+22`.
    Основное уравнение:
    `79k+39=83m+22`,
    `79k=83m-17`,
    `79(k-m)=4m-17`.
    `4m-17 vdots 79 => m-=24` `mod` `79`.
    `m=79l+24, k-m=4l+1 => k=83l+25`.
    `n=79k+22=79(83l+25)+39=6557l+2014`.
    `l=0 => n=2014`,
    `l=1 => n=8571`.
    `sum n=2014+8571=10585`.

    Ответ: `10585`.

    Задача №4.
    Найдите все четырёхзначные числа, которые при делении на `59` дают в остатке `45`, а при делении на `71` дают в остатке `16`. В ответ запишите сумму всех таких чисел.

    Решение:
    `n=bar(abcd), n in [1000;9999]`,
    `n=59k+45`,
    `n=71m+16`.
    Основное уравнение:
    `59k+45=71m+16`,
    `59k=71m-29`,
    `59(k-m)=12m-29`.
    `12m-29 vdots 59 => m-=27` `mod` `59`.
    `m=59l+27, k-m=12l+5 => k=71l+32`.
    `n=59k+45=59(71l+32)+45=4189l+1933`.
    `l=0 => n=1933`,
    `l=1 => n=6122`.
    `sum n=1933+6122=8055`.

    Ответ:
    `8055`.

    Задача №4.
    Найдите все четырёхзначные числа, которые при делении на `67` дают в остатке `27`, а при делении на `73` дают в остатке `72`. В ответ запишите сумму всех таких чисел.

    Решение:
    `n=bar(abcd), n in [1000;9999]`,
    `n=67k+27`,
    `n=73m+72`.
    Основное уравнение:
    `67k+27=73m+72`,
    `67k=73m+45`,
    `67(k-m)=6m+45`.
    `6m+45 vdots 67 => m-=26` `mod` `67`.
    `m=67l+26, k-m=6l+3 => k=73l+29`.
    `n=67k+27=67(73l+29)+27=4891l+1970`.
    `l=0 => n=1970`,
    `l=1 => n=6861`.
    `sum n=1970+6861=8831`.

    Ответ: `8831`.

    Задача №4.

    Найдите все четырёхзначные числа, которые при делении на `79` дают в остатке `17`, а при делении на `89` дают в остатке `64`. В ответ запишите сумму всех таких чисел.

    Решение:
    `n=bar(abcd), n in [1000;9999]`,
    `n=79k+17`,
    `n=89m+64`.
    Основное уравнение:
    `79k+17=89m+64`,
    `79k=89m+47`,
    `79(k-m)=10m+47`.
    `10m+47 vdots 79 => m-=19` `mod` `79`.
    `m=79l+19, k-m=10l+3 => k=89l+22`.
    `n=79k+17=79(89l+22)+17=7031l+1755`.
    `l=0 => n=1755`,
    `l=1 => n=8786`.
    `sum n=1755+8786=10541`.

    Ответ:
    `10541`.

    Задача №4.
    Найдите все четырёхзначные числа, которые при делении на `73` дают в остатке `32`, а при делении на `79` дают в остатке `52`. В ответ запишите сумму всех таких чисел.

    Решение:
    `n=bar(abcd), n in [1000;9999]`,
    `n=73k+32`,
    `n=79m+52`.
    Основное уравнение:
    `73k+32=79m+52`,
    `73k=79m+20`,
    `73(k-m)=6m+20`.
    `6m+20 vdots 73 => m-=21` `mod` `73`.
    `m=73l+21, k-m=6l+2 => k=73l+23`.
    `n=73k+32=73(79l+23)+32=5767l+1711`.
    `l=0 => n=1711`,
    `l=1 => n=7478`.
    `sum n=1711+7478=9189`.

    Ответ:
    `9189`.
  • Задача №5.
    Найдите все значения `y in [2014;2015]`, при каждом из которых уравнение
    `(sinx*cosx + sin^3x*cos x + (sin^5x)/cosx)^2 + (cos2x)/(sin^2x) + cos(8piy) = 0`
    имеет решение. В ответ внесите сумму всех таких `y`, при необходимости округлив ее до двух знаков после запятой.

    Решение:
    Упростим выражение в скобках:
    `sinxcosx(1+sin^2x+(sin^4x)/(cos^2x))=`
    `sinxcosx(1+sin^2x+(sin^4x)/(1-sin^2x))=`
    `=sinxcosx*(1-sin^4x+sin^4x)/(cos^2x)=sinx/cosx`.
    Уравнение запишется в виде:
    `(sin^2x)/(cos^2x)+(cos2x)/(sin^2x)+cos(8piy)=0`,
    `1/(cos^2x)-1+1/(sin^2x)-2+cos(8piy)=0`,
    `1/(sin^2xcos^2x)-3+cos(8piy)=0`,
    `4/(sin^2(2x))=3-cos(8piy)`.
    Можем перевернуть равенство без потери или приобретения корней.
    `sin^2(2x)=4/(3-cos(8piy))`,
    `0<=4/(3-cos(8piy))<=1 => cos(8piy)=-1`.
    `8piy=pi+2pik, k in ZZ => y=1/8+k/4, k in ZZ`.
    `y in [2014;2015]`:
    `y=2014+1/8, 2014+1/4+1/8, 2014+2/4+1/8, 2014+3/4+1/8`
    `sumy=2014*4+6/4+4/8=8058`.

    Ответ: `8058`.

    Задача №5.
    Найдите все значения `y in [2014;2015]`, при каждом из которых уравнение
    `(cosx*sin^3x + cos^3x*sinx + (cos^3x)/sinx)^2 - (2cos2x-2)/(sin^2(2x)) + 3cos(10piy) = 0`
    имеет решение. В ответ внесите сумму всех таких `y`, при необходимости округлив ее до двух знаков после запятой.

    Решение:
    Упростим выражение в скобках:
    `sinxcosx(sin^2x+cos^2x+(cos^2x)/(sin^2x))=`
    `sinxcosx(1+(cos^2x)/(sin^2x))=`
    `=sinxcosx*(sin^2x+cos^2x)/(sinx^2x)=cosx/sinx`.
    Уравнение запишется в виде:
    `(cos^2x)/(sinx^2x)-(2cos2x-2)/(sin^2(2x))+3cos(10piy)=0`,
    `1/(sin^2x)-1+(4sin^2x)/(4sin^2xcos^2x)+3cos(10piy)=0`,
    `1/(cos^2x)+1/(sin^2x)-1+3cos(10piy)=0`,
    `1/(sin^2x*cos^2x)=1-3cos(10piy)`.
    Можем перевернуть равенство без потери или приобретения корней.
    `sin^2(2x)=4/(1-3cos(10piy))`,
    `0<=4/(1-3cos(10piy))<=1 => cos(10piy)=-1`.
    `10piy=pi+2pik, k in ZZ => y=1/10+k/5, k in ZZ`.
    `y in [2014;2015]`:
    `y=2014+1/10, 2014+1/10+1/5, 2014+1/10+2/5, 2014+1/10+3/5, 2014+1/10+4/5`
    `sumy=2014*5+10/5+5/10=10072.5`.

    Ответ: `10072.5`.

    Задача №5.

    Найдите все значения `y in [2014;2015]`, при каждом из которых уравнение
    `(cosx*sinx + cos^3x*sin x + (cos^5x)/sinx)^2 - (cos2x)/(cos^2x) + sin(9piy) = 0`
    имеет решение. В ответ внесите сумму всех таких `y`, при необходимости округлив ее до двух знаков после запятой.

    Решение:
    Упростим выражение в скобках:
    `sinxcosx(1+cos^2x+(cos^4x)/(sin^2x))=`
    `sinxcosx(1+cos^2x+(cos^4x)/(1-cos^2x))=`
    `=sinxcosx*(1-cos^4x+cos^4x)/(sin^2x)=cosx/sinx`.
    Уравнение запишется в виде:
    `(cos^2x)/(sin^2x)-(cos2x)/(cos^2x)+sin(9piy)=0`,
    `1/(sin^2x)-1+1/(cos^2x)-2+sin(9piy)=0`,
    `1/(sin^2xcos^2x)-3+sin(9piy)=0`,
    `4/(sin^2(2x))=3-sin(9piy)`.
    Можем перевернуть равенство без потери или приобретения корней.
    `sin^2(2x)=4/(3-sin(9piy))`,
    `0<=4/(3-sin(9piy))<=1 => sin(9piy)=-1`.
    `9piy=-pi/2+2pik, k in ZZ => y=-1/18+2/9k, k in ZZ`.
    `y in [2014;2015]`:
    `y=2014+2/9-1/18, 2014+4/9-1/18, 2014+6/9-1/18, 2014+8/9-1/18`
    `sumy=2014*4+20/9-4/18=8058`.

    Ответ:
    `8058`.

    Задача №5.
    Найдите все значения `y in [2014;2015]`, при каждом из которых уравнение
    `(sinx*cos^3x + sin^3x*cosx + (sin^3x)/cosx)^2 + (2cos2x+2)/(sin^2(2x)) - 3sin(8piy) = 0`
    имеет решение. В ответ внесите сумму всех таких `y`, при необходимости округлив ее до двух знаков после запятой.

    Решение:
    Упростим выражение в скобках:
    `sinxcosx(cos^2x+sin^2x+(sin^2x)/(cos^2x))=`
    `sinxcosx(1+(sin^2x)/(cos^2x))=`
    `=sinxcosx*(sin^2x+cos^2x)/(cosx^2x)=sinx/cosx`.
    Уравнение запишется в виде:
    `(sin^2x)/(cosx^2x)+(2cos2x+2)/(sin^2(2x))-3sin(8piy)=0`,
    `1/(cos^2x)-1+(4cos^2x)/(4sin^2xcos^2x)-3sin(8piy)=0`,
    `1/(cos^2x)+1/(sin^2x)-1-3sin(8piy)=0`,
    `1/(sin^2x*cos^2x)=1+3sin(8piy)`.
    Можем перевернуть равенство без потери или приобретения корней.
    `sin^2(2x)=4/(1+3sin(8piy))`,
    `0<=4/(1+3sin(8piy))<=1 => sin(8piy)=1`.
    `8piy=pi/2+2pik, k in ZZ => y=1/16+k/4, k in ZZ`.
    `y in [2014;2015]`:
    `y=2014+1/16, 2014+1/16+1/4, 2014+1/16+2/4, 2014+1/16+3/4`
    `sumy=2014*4+6/4+4/16=8057.75`.

    Ответ: `8057.75`.
  • Задача №6.
    В треугольнике `ABC` проведены высоты `BM` и `CN`, при этом `BC = 12, MN = 8`. В треугольник вписана окружность с центром `O`. Какое наибольшее значение может принимать при данных условиях радиус описанной около треугольника `BOC` окружности? При необходимости округлите это число до двух знаков после запятой.

    Решение:
    Пусть `/_A=alpha, /_B=beta, /_C=gamma`.
    т. `О` является точкой пересечения биссектрис, поэтому `/_BOC=pi-beta/2-gamma/2`.
    `/_BOC=pi-1/2(pi-alpha)=pi/2+alpha/2`.
    `R=(BC)/(2sin/_BOC)=12/(2sin(pi/2+alpha/2))=6/(cos(alpha/2))`.
    `R -> max iff cos(alpha/2) -> min`.
    `alpha in (0;pi) => alpha/2 in (0;pi/2)`.
    На интервале `(0;pi/2)` функция `cost` убывает, поэтому `R -> max iff alpha -> max`.
    `/_A` должен быть тупой и максимально большой при данных условиях.
    В соотв. с полученными данными сделаем рисунок.
    image
    Пусть `AB=x`.
    Треугольники `ABM` и `ACN` подобны по углам.
    `k` - коэффициент подобия, тогда `AC=kx`.
    Если `AM=y => AN=ky`.
    Теорема косинусов в треугольнике `ABC`:
    `BC^2=x^2+k^2x^2-2kx^2cosalpha`.
    Теорема косинусов в треугольнике `AMN`:
    `MN^2=y^2+k^2y^2-2ky^2cosalpha`.
    Следовательно, `(BC)/x=(MN)/y => x/y=(BC)/(MN)=3/2`.
    Треугольники `ABC` и `AMN` подобны с коэффициентом `3/2`.

    `AB=3/2y, AM=y, AC=3/2ky, AN=ky`.
    `BM=sqrt(9/4y^2-y^2)=sqrt5/2y => S_(ABC)=(3sqrt5y^2k)/8`.
    С другой стороны,
    `S_(ABC)=1/2AB*AC*sinalpha=9/8ky^2*sinalpha`.
    `9/8ky^2*sinalpha=(3sqrt5y^2k)/8`,
    `sinalpha=sqrt5/3 => cosalpha = -2/3`.
    `cos(alpha/2)=sqrt((cosalpha+1)/2) = 1/sqrt6`.
    `R=6/(cos(alpha/2)) = 6sqrt6 ~ 14.6969`.
    Округлим до двух знаков после запятой, получим `R=14.70`.

    Ответ: `14.70`.

    Задача №6.
    В треугольнике `ABC` проведены высоты `BM` и `CN`, при этом `BC = 24, MN = 6`. В треугольник вписана окружность с центром `O`. Какое наибольшее значение может принимать при данных условиях радиус описанной около треугольника `BOC` окружности? При необходимости округлите это число до двух знаков после запятой.

    Решение:
    Пусть `/_A=alpha, /_B=beta, /_C=gamma`.
    т. `О` является точкой пересечения биссектрис, поэтому `/_BOC=pi-beta/2-gamma/2`.
    `/_BOC=pi-1/2(pi-alpha)=pi/2+alpha/2`.
    `R=(BC)/(2sin/_BOC)=24/(2sin(pi/2+alpha/2))=12/(cos(alpha/2))`.
    `R -> max iff cos(alpha/2) -> min`.
    `alpha in (0;pi) => alpha/2 in (0;pi/2)`.
    На интервале `(0;pi/2)` функция `cost` убывает, поэтому `R -> max iff alpha -> max`.
    `/_A` должен быть тупой и максимально большой при данных условиях.
    В соотв. с полученными данными сделаем рисунок.
    image
    Пусть `AB=x`.
    Треугольники `ABM` и `ACN` подобны по углам.
    `k` - коэффициент подобия, тогда `AC=kx`.
    Если `AM=y => AN=ky`.
    Теорема косинусов в треугольнике `ABC`:
    `BC^2=x^2+k^2x^2-2kx^2cosalpha`.
    Теорема косинусов в треугольнике `AMN`:
    `MN^2=y^2+k^2y^2-2ky^2cosalpha`.
    Следовательно, `(BC)/x=(MN)/y => x/y=(BC)/(MN)=4`.
    Треугольники `ABC` и `AMN` подобны с коэффициентом `4`.

    `AB=4y, AM=y, AC=4ky, AN=ky`.
    `BM=sqrt(16y^2-y^2)=sqrt15y => S_(ABC)=2sqrt15ky^2`.
    С другой стороны,
    `S_(ABC)=1/2AB*AC*sinalpha=8ky^2*sinalpha`.
    `8ky^2*sinalpha=2sqrt15y^2k`,
    `sinalpha=sqrt15/4 => cosalpha = -1/4`.
    `cos(alpha/2)=sqrt((cosalpha+1)/2) = sqrt(3/8)`.
    `R=12/(cos(alpha/2)) = 24sqrt(2/3) ~ 19.5959`.
    Округлим до двух знаков после запятой, получим `R=19.60`.

    Ответ: `19.60`.

    Задача №6.
    В треугольнике `ABC` проведены высоты `BM` и `CN`, при этом `BC = 20, MN = 4`. В треугольник вписана окружность с центром `O`. Какое наибольшее значение может принимать при данных условиях радиус описанной около треугольника `BOC` окружности? При необходимости округлите это число до двух знаков после запятой.

    Решение:
    Пусть `/_A=alpha, /_B=beta, /_C=gamma`.
    т. `О` является точкой пересечения биссектрис, поэтому `/_BOC=pi-beta/2-gamma/2`.
    `/_BOC=pi-1/2(pi-alpha)=pi/2+alpha/2`.
    `R=(BC)/(2sin/_BOC)=20/(2sin(pi/2+alpha/2))=10/(cos(alpha/2))`.
    `R -> max iff cos(alpha/2) -> min`.
    `alpha in (0;pi) => alpha/2 in (0;pi/2)`.
    На интервале `(0;pi/2)` функция `cost` убывает, поэтому `R -> max iff alpha -> max`.
    `/_A` должен быть тупой и максимально большой при данных условиях.
    В соотв. с полученными данными сделаем рисунок.
    image
    Пусть `AB=x`.
    Треугольники `ABM` и `ACN` подобны по углам.
    `k` - коэффициент подобия, тогда `AC=kx`.
    Если `AM=y => AN=ky`.
    Теорема косинусов в треугольнике `ABC`:
    `BC^2=x^2+k^2x^2-2kx^2cosalpha`.
    Теорема косинусов в треугольнике `AMN`:
    `MN^2=y^2+k^2y^2-2ky^2cosalpha`.
    Следовательно, `(BC)/x=(MN)/y => x/y=(BC)/(MN)=5`.
    Треугольники `ABC` и `AMN` подобны с коэффициентом `5`.

    `AB=5y, AM=y, AC=5ky, AN=ky`.
    `BM=sqrt(25y^2-y^2)=2sqrt6y => S_(ABC)=5sqrt6ky^2`.
    С другой стороны,
    `S_(ABC)=1/2AB*AC*sinalpha=25/2ky^2*sinalpha`.
    `25/2ky^2*sinalpha=5sqrt6y^2k`,
    `sinalpha=2/5sqrt6 => cosalpha = -1/5`.
    `cos(alpha/2)=sqrt((cosalpha+1)/2) = sqrt(2/5)`.
    `R=10/(cos(alpha/2)) = 10sqrt(5/2) ~ 15.8114`.
    Округлим до двух знаков после запятой, получим `R=15.81`.

    Ответ: `15.81`.

    Задача №6.
    В треугольнике `ABC` проведены высоты `BM` и `CN`, при этом `BC = 36, MN = 12`. В треугольник вписана окружность с центром `O`. Какое наибольшее значение может принимать при данных условиях радиус описанной около треугольника `BOC` окружности? При необходимости округлите это число до двух знаков после запятой.

    Решение:
    Пусть `/_A=alpha, /_B=beta, /_C=gamma`.
    т. `О` является точкой пересечения биссектрис, поэтому `/_BOC=pi-beta/2-gamma/2`.
    `/_BOC=pi-1/2(pi-alpha)=pi/2+alpha/2`.
    `R=(BC)/(2sin/_BOC)=36/(2sin(pi/2+alpha/2))=18/(cos(alpha/2))`.
    `R -> max iff cos(alpha/2) -> min`.
    `alpha in (0;pi) => alpha/2 in (0;pi/2)`.
    На интервале `(0;pi/2)` функция `cost` убывает, поэтому `R -> max iff alpha -> max`.
    `/_A` должен быть тупой и максимально большой при данных условиях.
    В соотв. с полученными данными сделаем рисунок.
    image
    Пусть `AB=x`.
    Треугольники `ABM` и `ACN` подобны по углам.
    `k` - коэффициент подобия, тогда `AC=kx`.
    Если `AM=y => AN=ky`.
    Теорема косинусов в треугольнике `ABC`:
    `BC^2=x^2+k^2x^2-2kx^2cosalpha`.
    Теорема косинусов в треугольнике `AMN`:
    `MN^2=y^2+k^2y^2-2ky^2cosalpha`.
    Следовательно, `(BC)/x=(MN)/y => x/y=(BC)/(MN)=3`.
    Треугольники `ABC` и `AMN` подобны с коэффициентом `3`.

    `AB=3y, AM=y, AC=3ky, AN=ky`.
    `BM=sqrt(9y^2-y^2)=2sqrt2y => S_(ABC)=3sqrt2ky^2`.
    С другой стороны,
    `S_(ABC)=1/2AB*AC*sinalpha=9/2ky^2*sinalpha`.
    `9/2ky^2*sinalpha=3sqrt2y^2k`,
    `sinalpha=2/3sqrt2 => cosalpha = -1/3`.
    `cos(alpha/2)=sqrt((cosalpha+1)/2) = sqrt(1/3)`.
    `R=18/(cos(alpha/2)) = 18sqrt3 ~ 31.1769`.
    Округлим до двух знаков после запятой, получим `R=31.18`.

    Ответ:
    `31.18`.

    Задача №6.
    В треугольнике `ABC` проведены высоты `BM` и `CN`, при этом `BC = 18, MN = 12`. В треугольник вписана окружность с центром `O`. Какое наибольшее значение может принимать при данных условиях радиус описанной около треугольника `BOC` окружности? При необходимости округлите это число до двух знаков после запятой.

    Решение:

    Пусть `/_A=alpha, /_B=beta, /_C=gamma`.
    т. `О` является точкой пересечения биссектрис, поэтому `/_BOC=pi-beta/2-gamma/2`.
    `/_BOC=pi-1/2(pi-alpha)=pi/2+alpha/2`.
    `R=(BC)/(2sin/_BOC)=18/(2sin(pi/2+alpha/2))=9/(cos(alpha/2))`.
    `R -> max iff cos(alpha/2) -> min`.
    `alpha in (0;pi) => alpha/2 in (0;pi/2)`.
    На интервале `(0;pi/2)` функция `cost` убывает, поэтому `R -> max iff alpha -> max`.
    `/_A` должен быть тупой и максимально большой при данных условиях.
    В соотв. с полученными данными сделаем рисунок.
    image
    Пусть `AB=x`.
    Треугольники `ABM` и `ACN` подобны по углам.
    `k` - коэффициент подобия, тогда `AC=kx`.
    Если `AM=y => AN=ky`.
    Теорема косинусов в треугольнике `ABC`:
    `BC^2=x^2+k^2x^2-2kx^2cosalpha`.
    Теорема косинусов в треугольнике `AMN`:
    `MN^2=y^2+k^2y^2-2ky^2cosalpha`.
    Следовательно, `(BC)/x=(MN)/y => x/y=(BC)/(MN)=3/2`.
    Треугольники `ABC` и `AMN` подобны с коэффициентом `3/2`.

    `AB=3/2y, AM=y, AC=3/2ky, AN=ky`.
    `BM=sqrt(9/4y^2-y^2)=sqrt5/2y => S_(ABC)=(3sqrt5y^2k)/8`.
    С другой стороны,
    `S_(ABC)=1/2AB*AC*sinalpha=9/8ky^2*sinalpha`.
    `9/8ky^2*sinalpha=(3sqrt5y^2k)/8`,
    `sinalpha=sqrt5/3 => cosalpha = -2/3`.
    `cos(alpha/2)=sqrt((cosalpha+1)/2) = 1/sqrt6`.
    `R=9/(cos(alpha/2)) = 9sqrt6 ~ 22.0454`.
    Округлим до двух знаков после запятой, получим `R=22.05`.

    Ответ: `22.05`.

    Задача №6.
    В треугольнике `ABC` проведены высоты `BM` и `CN`, при этом `BC = 20, MN = 8`. В треугольник вписана окружность с центром `O`. Какое наибольшее значение может принимать при данных условиях радиус описанной около треугольника `BOC` окружности? При необходимости округлите это число до двух знаков после запятой.

    Решение:
    Пусть `/_A=alpha, /_B=beta, /_C=gamma`.
    т. `О` является точкой пересечения биссектрис, поэтому `/_BOC=pi-beta/2-gamma/2`.
    `/_BOC=pi-1/2(pi-alpha)=pi/2+alpha/2`.
    `R=(BC)/(2sin/_BOC)=20/(2sin(pi/2+alpha/2))=10/(cos(alpha/2))`.
    `R -> max iff cos(alpha/2) -> min`.
    `alpha in (0;pi) => alpha/2 in (0;pi/2)`.
    На интервале `(0;pi/2)` функция `cost` убывает, поэтому `R -> max iff alpha -> max`.
    `/_A` должен быть тупой и максимально большой при данных условиях.
    В соотв. с полученными данными сделаем рисунок.
    image
    Пусть `AB=x`.
    Треугольники `ABM` и `ACN` подобны по углам.
    `k` - коэффициент подобия, тогда `AC=kx`.
    Если `AM=y => AN=ky`.
    Теорема косинусов в треугольнике `ABC`:
    `BC^2=x^2+k^2x^2-2kx^2cosalpha`.
    Теорема косинусов в треугольнике `AMN`:
    `MN^2=y^2+k^2y^2-2ky^2cosalpha`.
    Следовательно, `(BC)/x=(MN)/y => x/y=(BC)/(MN)=5/2`.
    Треугольники `ABC` и `AMN` подобны с коэффициентом `5/2`.

    `AB=5/2y, AM=y, AC=5/2ky, AN=ky`.
    `BM=sqrt(25/4y^2-y^2)=sqrt21/2y => S_(ABC)=(5sqrt21y^2k)/8`.
    С другой стороны,
    `S_(ABC)=1/2AB*AC*sinalpha=25/8ky^2*sinalpha`.
    `25/8ky^2*sinalpha=(5sqrt21y^2k)/8`,
    `sinalpha=sqrt21/5 => cosalpha = -2/5`.
    `cos(alpha/2)=sqrt((cosalpha+1)/2) = sqrt(3/10)`.
    `R=10/(cos(alpha/2)) = 10sqrt(10/3) ~ 18.2574`.
    Округлим до двух знаков после запятой, получим `R=18.26`.

    Ответ:
    `18.26`.
  • Задача №7.
    Найдите сумму корней уравнения
    `(log_2^2 3)/(x+10)^2-(2log_3^2 16)/(x-10)^2+(2/sqrt(x^2-100))^2=0`
    и укажите в ответе ближайшее к ней целое число. Для округления можно принять `log_2 3 = 1,585`.

    Решение:
    ОДЗ: `|x|>10`.
    `a=log_2^2 3, b=log_3^2 16`.
    `a/(x+10)^2-(2b)/(x-10)^2+4/((x-10)(x+10))=0`.
    Умножим на `(x-10)^2`, на ОДЗ лишних корней это не даст.
    `a((x-10)/(x+10))^2-2b+4*(x-10)/(x+10)=0`.
    Замена `(x-10)/(x+10)=t`:
    `at^2+4t-2b=0`,
    `D=16+8ab=16+8(log_2 3*log_3 16)^2=16+8*16=144`.
    `t_1=-8/a, t_2=4/a`.

    `(x-10)/(x+10)=-8/a`,
    `ax-10a+8x+80=0`,
    `x(a+8)=10a-80`,
    `x=(10a-80)/(a+8)=10-160/(a+8)`.
    `a=1.585^2=2.512225`,
    `a+8=10.512225 => x ~ -6` не годится по ОДЗ.

    `(x-10)/(x+10)=4/a`,
    `ax-10a-4x-40=0`,
    `x(a-4)=10a+40`,
    `x=(10a+40)/(a-4)=10+80/(a-4)`.
    `a-4=-1,487775 => x ~ -43.77`.
    Ближайшее целое число равно `-44`.

    Ответ: `-44`.

    Задача №7.
    Найдите сумму корней уравнения
    `(log_3^2 5)/(x+11)^2-(2log_5^2 81)/(x-11)^2+(2/sqrt(x^2-121))^2=0`
    и укажите в ответе ближайшее к ней целое число. Для округления можно принять `log_3 5 = 1,465`.

    Решение:
    ОДЗ: `|x|>11`.
    `a=log_3^2 5, b=log_5^2 81`.
    `a/(x+11)^2-(2b)/(x-11)^2+4/((x-11)(x+11))=0`.
    Умножим на `(x-11)^2`, на ОДЗ лишних корней это не даст.
    `a((x-11)/(x+11))^2-2b+4*(x-11)/(x+11)=0`.
    Замена `(x-11)/(x+11)=t`:
    `at^2+4t-2b=0`,
    `D=16+8ab=16+8(log_3 5*log_5 81)^2=16+8*16=144`.
    `t_1=-8/a, t_2=4/a`.

    `(x-11)/(x+11)=-8/a`,
    `ax-11a+8x+88=0`,
    `x(a+8)=11a-88`,
    `x=(11a-88)/(a+8)=11-176/(a+8)`.
    `a=1.465^2=2.146225`,
    `a+8=10.146225 => x ~ -7` не годится по ОДЗ.

    `(x-11)/(x+11)=4/a`,
    `ax-11a-4x-44=0`,
    `x(a-4)=11a+44`,
    `x=(11a+44)/(a-4)=11+88/(a-4)`.
    `a-4=-1,853775 => x ~ -36.47`.
    Ближайшее целое число равно `-36`.

    Ответ:
    `-36`.

    Задача №7.
    Найдите сумму корней уравнения
    `(log_2^2 3)/(x+10)^2-(2log_3^2 16)/(x-10)^2=(2/sqrt(x^2-100))^2`
    и укажите в ответе ближайшее к ней целое число. Для округления можно принять `log_2 3 = 1,585`.

    Решение:
    ОДЗ: `|x|>10`.
    `a=log_2^2 3, b=log_3^2 16`.
    `a/(x+10)^2-(2b)/(x-10)^2-4/((x-10)(x+10))=0`.
    Умножим на `(x-10)^2`, на ОДЗ лишних корней это не даст.
    `a((x-10)/(x+10))^2-2b-4*(x-10)/(x+10)=0`.
    Замена `(x-10)/(x+10)=t`:
    `at^2-4t-2b=0`,
    `D=16+8ab=16+8(log_2 3*log_3 16)^2=16+8*16=144`.
    `t_1=-4/a, t_2=8/a`.

    `(x-10)/(x+10)=8/a`,
    `ax-10a-8x-80=0`,
    `x(a-8)=10a+80`,
    `x=(10a+80)/(a-8)=10+160/(a-8)`.
    `a=1.585^2=2.512225`,
    `a-8=-5.487775 => x ~ -19.1557`.
    Ближайшее целое число равно `-19`.

    `(x-10)/(x+10)=-4/a`,
    `ax-10a+4x+40=0`,
    `x(a+4)=10a-40`,
    `x=(10a-40)/(a+4)=10-80/(a+4)`.
    `a+4=6,512225 => x ~ -2` не годится по ОДЗ.

    Ответ: `-19`.

    Задача №7.
    Найдите сумму корней уравнения
    `(log_3^2 5)/(x+11)^2-(2log_5^2 81)/(x-11)^2=(2/sqrt(x^2-121))^2`
    и укажите в ответе ближайшее к ней целое число. Для округления можно принять `log_3 5 = 1,465`.

    Решение:
    ОДЗ: `|x|>11`.
    `a=log_3^2 5, b=log_5^2 81`.
    `a/(x+11)^2-(2b)/(x-11)^2-4/((x-11)(x+11))=0`.
    Умножим на `(x-11)^2`, на ОДЗ лишних корней это не даст.
    `a((x-11)/(x+11))^2-2b-4*(x-11)/(x+11)=0`.
    Замена `(x-11)/(x+11)=t`:
    `at^2-4t-2b=0`,
    `D=16+8ab=16+8(log_3 5*log_5 81)^2=16+8*16=144`.
    `t_1=-4/a, t_2=8/a`.

    `(x-11)/(x+11)=-4/a`,
    `ax-11a+4x+44=0`,
    `x(a+4)=11a-44`,
    `x=(11a-44)/(a+4)=11-88/(a+4)`.
    `a=1.465^2=2.146225`,
    `a+4=6.146225 => x ~ -3` не годится по ОДЗ.

    `(x-11)/(x+11)=8/a`,
    `ax-11a-8x-88=0`,
    `x(a-8)=11a+88`,
    `x=(11a+88)/(a-8)=11+176/(a-8)`.
    `a-8=-5,853775 => x ~ -19.066`.
    Ближайшее целое число равно `-19`.

    Ответ: `-19`.

    Задача №7.

    Найдите сумму корней уравнения
    `(log_3^2 5)/(x+10)^2-(2log_5^2 81)/(x-10)^2=(2/sqrt(x^2-100))^2`
    и укажите в ответе ближайшее к ней целое число. Для округления можно принять `log_3 5 = 1,465`.

    Решение:
    ОДЗ: `|x|>10`.
    `a=log_3^2 5, b=log_5^2 81`.
    `a/(x+10)^2-(2b)/(x-10)^2-4/((x-10)(x+10))=0`.
    Умножим на `(x-10)^2`, на ОДЗ лишних корней это не даст.
    `a((x-10)/(x+10))^2-2b-4*(x-10)/(x+10)=0`.
    Замена `(x-10)/(x+10)=t`:
    `at^2-4t-2b=0`,
    `D=16+8ab=16+8(log_3 5*log_5 81)^2=16+8*16=144`.
    `t_1=-4/a, t_2=8/a`.

    `(x-10)/(x+10)=8/a`,
    `ax-10a-8x-80=0`,
    `x(a-8)=10a+80`,
    `x=(10a+80)/(a-8)=10+160/(a-8)`.
    `a=1.465^2=2.146225`,
    `a-8=-5.853775 => x ~ -17.3328`.
    Ближайшее целое число равно `-17`.

    `(x-10)/(x+10)=-4/a`,
    `ax-10a+4x+40=0`,
    `x(a+4)=10a-40`,
    `x=(10a-40)/(a+4)=10-80/(a+4)`.
    `a+4=6,146225 => x ~ -3` не годится по ОДЗ.

    Ответ: `-17`.

    Задача №7.
    Найдите сумму корней уравнения
    `(log_2^2 3)/(x+11)^2-(2log_3^2 16)/(x-11)^2=(2/sqrt(x^2-121))^2`
    и укажите в ответе ближайшее к ней целое число. Для округления можно принять `log_2 3 = 1,585`.

    Решение:
    ОДЗ: `|x|>11`.
    `a=log_2^2 3, b=log_3^2 16`.
    `a/(x+11)^2-(2b)/(x-11)^2-4/((x-11)(x+11))=0`.
    Умножим на `(x-11)^2`, на ОДЗ лишних корней это не даст.
    `a((x-11)/(x+11))^2-2b-4*(x-11)/(x+11)=0`.
    Замена `(x-11)/(x+11)=t`:
    `at^2-4t-2b=0`,
    `D=16+8ab=16+8(log_2 3*log_3 16)^2=16+8*16=144`.
    `t_1=-4/a, t_2=8/a`.

    `(x-11)/(x+11)=-4/a`,
    `ax-11a+4x+44=0`,
    `x(a+4)=11a-44`,
    `x=(11a-44)/(a+4)=11-88/(a+4)`.
    `a=1.585^2=2.512225`,
    `a+4=6.512225 => x ~ -3` не годится по ОДЗ.

    `(x-11)/(x+11)=8/a`,
    `ax-11a-8x-88=0`,
    `x(a-8)=11a+88`,
    `x=(11a+88)/(a-8)=11+176/(a-8)`.
    `a-8=-5,487775 => x ~ -21.071`.
    Ближайшее целое число равно `-21`.

    Ответ: `-21`.
  • Задача №8.
    Найдите все значения `x`, при которых числа
    `6tan((pix)/6), tan((pix)/3) и 4cottan((pix)/2)`,
    взятые в указанном порядке, образуют арифметическую прогрессию.

    Из этих значений `x` выберите принадлежащие отрезку `[3/2;12]` и запишите в ответ их сумму.

    Решение:
    Лемма: три числа `a,b,c` образуют арифметическую прогрессию в указанном порядке тогда и только тогда, когда `a+c=2b`.
    Основное уравнение задачи:
    `6tan((pix)/6)+4cottan((pix)/2)=2tan((pix)/3)`.

    Замена `(pix)/6=y`:
    `3tany+2cottan3y=tan2y`,
    `2(tany+cottan3y)=tan2y-tany`,
    `2((siny)/(cosy)+(cos3y)/(sin3y))=(sin2y)/(cos2y)-(siny)/(cosy)`.

    ОДЗ: `cosy!=0, sin3y!=0, cos2y!=0`,
    `y!=pi/2+pik, y!=pi/4+1/2pik, y!=1/3pik, k in ZZ`.

    `(2(sinysin3y+cosycos3y))/(cosysin3y)=(sin2ycosy-cos2ysiny)/(cosycos2y)`,
    `(2cos2y)/(sin3y)=(siny)/(cos2y)`,
    `2cos^2(2y)=siny*sin3y`,
    `4cos^2(2y)=cos2y-cos4y`,
    `6cos^2(2y)-cos2y-1=0`,
    `cos2y=-1/3, cos2y=1/2`.
    `y=+-1/2arccos(-1/3)+pik, y=+-pi/6+pik, k in ZZ`.

    `(pix)/6=+-1/2arccos(-1/3)+pik, k in ZZ`,
    `x=+-3/pi*arccos(-1/3)+6k, k in ZZ`,
    `3pi*arccos(-1/3) ~ 1.82`.
    `x in [3/2;12] => x=3/pi*arccos(-1/3), -3/pi*arccos(-1/3)+6`,
    `3/pi*arccos(-1/3)+6, -3/pi*arccos(-1/3)+12`.
    `sum x=24`.

    `(pix)/6=+-pi/6+pik, k in ZZ`,
    `x=+-1+6k, k in ZZ`.
    `x in [3/2;12] => x=5,7,11`.
    `sum x=23`.

    `sum x=47`.

    Ответ: `47`.

    Задача №8.
    Найдите все значения `x`, при которых числа
    `4cottan(pix), tan((2pix)/3) и 6tan((pix)/3)`,
    взятые в указанном порядке, образуют арифметическую прогрессию.

    Из этих значений `x` выберите принадлежащие отрезку `[3;9]` и запишите в ответ их сумму.

    Решение:

    Лемма: три числа `a,b,c` образуют арифметическую прогрессию в указанном порядке тогда и только тогда, когда `a+c=2b`.
    Основное уравнение задачи:
    `6tan((pix)/3)+4cottan(pix)=2tan((2pix)/3)`.

    Замена `(pix)/3=y`:
    `3tany+2cottan3y=tan2y`,
    `2(tany+cottan3y)=tan2y-tany`,
    `2((siny)/(cosy)+(cos3y)/(sin3y))=(sin2y)/(cos2y)-(siny)/(cosy)`.

    ОДЗ: `cosy!=0, sin3y!=0, cos2y!=0`,
    `y!=pi/2+pik, y!=pi/4+1/2pik, y!=1/3pik, k in ZZ`.

    `(2(sinysin3y+cosycos3y))/(cosysin3y)=(sin2ycosy-cos2ysiny)/(cosycos2y)`,
    `(2cos2y)/(sin3y)=(siny)/(cos2y)`,
    `2cos^2(2y)=siny*sin3y`,
    `4cos^2(2y)=cos2y-cos4y`,
    `6cos^2(2y)-cos2y-1=0`,
    `cos2y=-1/3, cos2y=1/2`.
    `y=+-1/2arccos(-1/3)+pik, y=+-pi/6+pik, k in ZZ`.

    `(pix)/3=+-1/2arccos(-1/3)+pik, k in ZZ`,
    `x=+-3/(2pi)*arccos(-1/3)+3k, k in ZZ`,
    `3/(2pi)*arccos(-1/3) ~ 0.92`.
    `x in [3;9] => x=3/(2pi)*arccos(-1/3)+3, -3/(2pi)*arccos(-1/3)+6`,
    `3/(2pi)*arccos(-1/3)+6, -3/(2pi)*arccos(-1/3)+9`.
    `sum x=24`.

    `(pix)/3=+-pi/6+pik, k in ZZ`,
    `x=+-1/2+3k, k in ZZ`.
    `x in [3;9] => x=3 1/2, 5 1/2, 6 1/2, 8 1/2`.
    `sum x=24`.

    `sum x=48`.

    Ответ:
    `48`.

    Задача №8.
    Найдите все значения `x`, при которых числа
    `4cottan(2pix), tan((4pix)/3) и 6tan((2pix)/3)`,
    взятые в указанном порядке, образуют арифметическую прогрессию.

    Из этих значений `x` выберите принадлежащие отрезку `[6;18]` и запишите в ответ их сумму.

    Решение:
    Лемма: три числа `a,b,c` образуют арифметическую прогрессию в указанном порядке тогда и только тогда, когда `a+c=2b`.
    Основное уравнение задачи:
    `6tan((2pix)/3)+4cottan(2pix)=2tan((4pix)/3)`.

    Замена `(2pix)/3=y`:
    `3tany+2cottan3y=tan2y`,
    `2(tany+cottan3y)=tan2y-tany`,
    `2((siny)/(cosy)+(cos3y)/(sin3y))=(sin2y)/(cos2y)-(siny)/(cosy)`.

    ОДЗ: `cosy!=0, sin3y!=0, cos2y!=0`,
    `y!=pi/2+pik, y!=pi/4+1/2pik, y!=1/3pik, k in ZZ`.

    `(2(sinysin3y+cosycos3y))/(cosysin3y)=(sin2ycosy-cos2ysiny)/(cosycos2y)`,
    `(2cos2y)/(sin3y)=(siny)/(cos2y)`,
    `2cos^2(2y)=siny*sin3y`,
    `4cos^2(2y)=cos2y-cos4y`,
    `6cos^2(2y)-cos2y-1=0`,
    `cos2y=-1/3, cos2y=1/2`.
    `y=+-1/2arccos(-1/3)+pik, y=+-pi/6+pik, k in ZZ`.

    `(2pix)/3=+-1/2arccos(-1/3)+pik, k in ZZ`,
    `x=+-3/(4pi)*arccos(-1/3)+3/2k, k in ZZ`,
    `3/(4pi)*arccos(-1/3) ~ 0.46`.
    `x in [6;18] => x=3/(4pi)*arccos(-1/3)+6, -3/(4pi)*arccos(-1/3)+6+3/2`,
    `3/(4pi)*arccos(-1/3)+6+3/2, -3/(4pi)*arccos(-1/3)+9, 3/(4pi)*arccos(-1/3)+9`,
    `-3/(4pi)*arccos(-1/3)+9+3/2, 3/(4pi)*arccos(-1/3)+9+3/2, -3/(4pi)*arccos(-1/3)+12`,
    `3/(4pi)*arccos(-1/3)+12, -3/(4pi)*arccos(-1/3)+12+3/2, 3/(4pi)*arccos(-1/3)+12+3/2`,
    `-3/(4pi)*arccos(-1/3)+15, 3/(4pi)*arccos(-1/3)+15, -3/(4pi)*arccos(-1/3)+15+3/2`,
    `3/(4pi)*arccos(-1/3)+15+3/2,-3/(4pi)*arccos(-1/3)+18`.
    `sum x=6+6+3/2+6+3/2+9+9+3/2+9+3/2+12+12+`
    `+12+3/2+12+3/2+15+15+15+3/2+15+3/2+18=192`

    `(2pix)/3=+-pi/6+pik, k in ZZ`,
    `x=+-1/4+3/2k, k in ZZ`.
    `x in [6;18] => x=6+1/4, 6+3/2-1/4, 6+3/2+1/4, 9-1/4, 9+1/4`,
    `9+3/2-1/4, 9+3/2+1/4, 12-1/4, 12+1/4, 12+3/2-1/4, 12+3/2+1/4`,
    `15-1/4, 15+1/4, 15+3/2-1/4, 15+3/2+1/4, 18-1/4`.
    `sum x=6*3+9*4+12*4+15*4+18+3/2*8=192`.

    `sum x=384`.

    Ответ: `384`.

    Задача №8.
    Найдите все значения `x`, при которых числа
    `6tan((pix)/2), tan(pix) и 4cottan((3pix)/2)`,
    взятые в указанном порядке, образуют арифметическую прогрессию.

    Из этих значений `x` выберите принадлежащие отрезку `[9/2;36]` и запишите в ответ их сумму.

    Решение:
    Лемма: три числа `a,b,c` образуют арифметическую прогрессию в указанном порядке тогда и только тогда, когда `a+c=2b`.
    Основное уравнение задачи:
    `6tan((pix)/2)+4cottan((3pix)/2)=2tan(pix)`.

    Замена `(pix)/2=y`:
    `3tany+2cottan3y=tan2y`,
    `2(tany+cottan3y)=tan2y-tany`,
    `2((siny)/(cosy)+(cos3y)/(sin3y))=(sin2y)/(cos2y)-(siny)/(cosy)`.

    ОДЗ: `cosy!=0, sin3y!=0, cos2y!=0`,
    `y!=pi/2+pik, y!=pi/4+1/2pik, y!=1/3pik, k in ZZ`.

    `(2(sinysin3y+cosycos3y))/(cosysin3y)=(sin2ycosy-cos2ysiny)/(cosycos2y)`,
    `(2cos2y)/(sin3y)=(siny)/(cos2y)`,
    `2cos^2(2y)=siny*sin3y`,
    `4cos^2(2y)=cos2y-cos4y`,
    `6cos^2(2y)-cos2y-1=0`,
    `cos2y=-1/3, cos2y=1/2`.
    `y=+-1/2arccos(-1/3)+pik, y=+-pi/6+pik, k in ZZ`.

    `(pix)/2=+-1/2arccos(-1/3)+pik, k in ZZ`,
    `x=+-1/pi*arccos(-1/3)+2k, k in ZZ`,
    `1/pi*arccos(-1/3) ~ 0.61`.
    `x in [9/2;36] => x=1/pi*arccos(-1/3)+4, -1/pi*arccos(-1/3)+6`,
    `1/pi*arccos(-1/3)+6, -1/pi*arccos(-1/3)+8, 1/pi*arccos(-1/3)+8`,
    `-1/pi*arccos(-1/3)+10, 1/pi*arccos(-1/3)+10, -1/pi*arccos(-1/3)+12, 1/pi*arccos(-1/3)+12`,
    `-1/pi*arccos(-1/3)+14, 1/pi*arccos(-1/3)+14, -1/pi*arccos(-1/3)+16, 1/pi*arccos(-1/3)+16`,
    ...
    `-1/pi*arccos(-1/3)+34, 1/pi*arccos(-1/3)+34, -1/pi*arccos(-1/3)+36`.
    `sum x=4+2*6+2*8+...+2*34+36=40+4(3+4+...+17)=640`.

    `(pix)/2=+-pi/6+pik, k in ZZ`,
    `x=+-1/3+2k, k in ZZ`.
    `x in [9/2;36] => x=6-1/3, 6+1/3,8-1/3,8+1/3,...,34-1/3, 34+1/3, 36-1/3`.
    `sum x=2*6+2*8+...+2*34+36-1/3=635 2/3`.

    `sum x=640 + 635 2/3=1275 2/3 = 1275.67`.

    Ответ: `1275.67`.
    Примечание: в условии не сказано про округление. В трех других типах этого номера получаются целые ответы.
  • Задача №9.
    Каждая из сторон треугольника может принимать одно из `16`-ти различных фиксированных значений, наибольшее из которых не превосходит удвоенного наименьшего. Каково максимальное количество различных тупоугольных треугольников среди указанных?

    Решение:
    Заметим, что в условии не запрещается для двух сторон брать одинаковое число из нашего множества (равнобедренный тупоугольный треугольник). В дальнейшем решении будем исходить из этого замечания.
    Расставим значения сторон в порядке возрастания:
    `a_1<=a_2<=...<=a_16`.
    По условию, `a_16<=2a_1`.
    Треугольник со сторонами `x<=y<=z` тупоугольный тогда и только тогда, когда `z>sqrt(x^2+y^2)`.
    Условие не вырожденности треугольника: `x+y>z`.
    В нашем случае могут быть вырожденные треугольники при следующих условиях:
    `a_i=2a_1, a_j=a_1`, тогда `(a_1,a_j,a_i)` - вырожденный треугольник.
    Пусть `a_i=b_i*a_1, i=2,3,...,16`. Тогда:
    `1<=b_2<=...<=b_16<=2`.
    Тройка `(x,y,z)` подходит, если `sqrt(x^2+y^2)<z<x+y`.
    Пусть `b_2=1`, тогда `(1,1,b_i)` подходит `iff sqrt2<b_i<2`.
    У нас есть два типа чисел - большие (`z`) и маленькие (`x,y`).
    `b_i` может одновременно быть маленьким и большим, только если `sqrt2<b_i<sqrt3`.

    Пусть у нас ровно `n` только маленьких чисел, `k` чисел, которые могут и большими и маленькими, и тогда остается `16-n-k` только больших чисел.
    Очевидно, что в любом треугольнике либо `0`, либо `1` число из второй группы.
    1. Только маленькие и только большие числа дают `(n(n-1))/2(16-n-k)` треугольников.
    Кол-во пар малых чисел `C_n^2=(n(n-1))/2` умножаем на кол-во больших чисел `16-n-k`.
    Добавим кол-во равнобедренных (одинаковая сторона - малое число) тупоугольных треугольников, это кол-во равно `n(16-n-k)`.
    `sum=(n(n+1))/2(16-n-k)`.
    2. Когда `k` чисел являются маленькими, получаем `nk(16-n-k)` треугольников.
    В этом случае не будет равнобедренных треугольников, поэтому просто перемножаем мощности (число элементов) трех множеств.
    3. Когда `k` чисел являются большими, аналогично пункту `1` получаем `(n(n+1))/2k` треугольников.
    `sum=(n(n+1))/2(16-n-k)+nk(16-n-k)+(n(n+1))/2k=`
    `=1/2n(n+1)(16-n)+nk(16-n-k)=f(n)+g(k)`.
    `f(11)=330`,
    `g(k)=11k(5-k) -> max` при `k=2;3`.
    `sum=330+66=396`.
    `f(10)=330, g(k)=10k(6-k), g_max=g(3)=90, sum=420`.
    `f(12)=312, g(k)=12k(4-k), g_max=g(2)=48, sum=360`.
    `f(9)=315, g(k)=9k(7-k), g_max=g(3)=108, sum=423`.
    `f(8)=288, g(k)=8k(8-k), g_max=g(4)=128, sum=416`.
    `f(7)=252, g(k)=7k(9-k), g_max=g(5)=140, sum=392`.
    `f(6)=210, g(k)=6k(10-k), g_max=g(5)=150, sum=360`.
    Очевидно, что `sum -> max` при `(n,k)=(9,3)`.
    Пример: `9` различных чисел `in (1;1.0001)`, `3` различных числа `in (1.5;1.5001)`, `4` различных числа `in (1.9999;2)`.

    Ответ: `423`.
  • Задача №10.
    Вокруг плоского четырехугольника `ABCD` со сторонами `AB = 24, BC = 13sqrt3, CD = 13` и `AD = 10`   можно описать окружность.
    Дана такая точка `S`, что `SA = 17, SB = 18, SC = 16`.
    Найдите косинус угла между прямыми `SA` и `BC` .

    Решение:
    `veca=vec(SA), vecb=vec(SB), vecc=vec(SC), vecu=vec(BC)`.
    `vecu=vecb-vecc`.
    `phi` - искомый угол.
    `cosphi=(|veca*vecu|)/(|veca|*|vecu|)=(|veca*vecu|)/(SA*BC)=(|veca*vecu|)/(17*13sqrt3)`.
    `veca*vecu=veca*(vecb-vecc)=veca*vecb-veca*vecc`.
    Из треугольника `SAB`:
    `cosalpha=(SA^2+SB^2-AB^2)/(2SA*SB)=37/(2*17*18)`.
    `veca*vecb=|a|*|b|*cosalpha=(SA^2+SB^2-AB^2)/(2)=37/2`.

    Из вписанности четырехугольника следует, что `/_ADC=pi-/_ABC`.
    По теореме косинусов (из треугольников `ADC, ABC`):
    `AC^2=AB^2+BC^2-2AB*BC*cost`,
    `AC^2=AD^2+CD^2+2AD*CD*cost`,
    `cost=(AB^2+BC^2-AD^2-CD^2)(2AB*BC+2AD*CD)`,
    `AC^2=AB^2+BC^2-AB*BC*(AB^2+BC^2-AD^2-CD^2)/(AB*BC+AD*CD)`,
    `AC^2=219+120sqrt3`.

    Из треугольника `SAC`:
    `cosgamma=(SA^2+SC^2-AC^2)/(2SA*SC)=(326-120sqrt3)/(2*17*16)`,
    `veca*vecc=(326-120sqrt3)/2`.

    `veca*vecu=37/2-(326-120sqrt3)/2=(120sqrt3-289)/2`.
    `cosphi=(veca*vecu)/(SA*BC)=(120sqrt3-289)/(2*17*13sqrt3)`.
    `cosphi ~ -0.106`.
    Округлим до `-0.11`.

    Ответ: `-0.11`.

Рассылка решений заочных туров олимпиад по математике