Рассылка решений заочных туров олимпиад по математике

Подписывайтесь на нашу рассылку решений заочных туров всех олимпиад по математике: Ломоносов, Покори Воробьевы горы, Высшая проба, Физтех 2018 и другие перечневые олимпиады.

Отборочный этап олимпиады Высшая проба по математике 2014-2015 / Задания и решения


  • Сезон олимпиад 2016-2017 открыт!
    Идет запись на наши курсы подготовки к олимпиадам по математике с гарантированным результатом.
    image
    1. Индивидуальные занятия и консультации.
    2. Помощь в прохождении заочных туров олимпиад. Одна олимпиада 1-5 тыс. руб.
    3. Помощь эксперта на очных турах олимпиад. Одна олимпиада от 30 тыс. руб.
    4. Гарантия успешного результата (курсы ведутся пятый сезон).

    Стоимость курсов от 3000 до 25000 руб. в месяц. Стандартный курс - 10000 руб. в месяц. Длительность курсов - 6 месяцев.
    В составе стандартного курса заочные туры 10 олимпиад и очные туры 2 олимпиад.
    Посмотреть тарифные планы и подробную информацию по курсам подготовки.

    Олимпиада Высшая проба 2015-2016 - задания и решения отборочного этапа по математике
    Отборочный этап олимпиады Высшая проба по математике 2014-2015. Задания и решения.
  • 11 класс. Номер 1.
    Лягушка делает прыжки на `20%` короче и на `20%` чаще, чем жаба.
    Лягушка пройдет `24` метра, сколько пройдет жаба?

    Решение:
    Скорость животных зависит от `2` параметров: длина прыжка и частота прыжка.
    Пусть `a` метров длина прыжка, `b` - кол-во прыжков за единицу времени.
    Тогда за единицу времени жаба пройдет `ab` метров.
    `0.8a` - длина прыжка лягушки, `1.2b` - частота прыжков.
    Тогда за единицу времени лягушка пройдет `0.96ab` метров.
    `0.96ab=24 => ab=25`.

    Ответ: `25`.

    11 класс. Номер 1.
    Лягушка делает прыжки на `30%` короче и на `30%` чаще, чем жаба.
    Лягушка пройдет `45.5` метра, сколько пройдет жаба?

    Решение:
    Скорость животных зависит от `2` параметров: длина прыжка и частота прыжка.
    Пусть `a` метров длина прыжка, `b` - кол-во прыжков за единицу времени.
    Тогда за единицу времени жаба пройдет `ab` метров.
    `0.7a` - длина прыжка лягушки, `1.3b` - частота прыжков.
    Тогда за единицу времени лягушка пройдет `0.91ab` метров.
    `0.91ab=45.5 => ab=50`.

    Ответ: `50`.

    10 класс. Номер 1.
    Петя похудел на `10%`, вес уменьшился на `10` кг. За февраль увеличил свой вес на `10%`. На сколько килограммов увеличил свой вес?

    Решение:
    Петя весил `x` кг.
    `x*0,9=x-10`,
    `0,1x=10`,
    `x=100`.
    В начале февраля Петя весил `90` кг.
    За февраль: `90*1,1=99` кг.
    Значит его вес увеличился на `9` кг.

    Ответ: `9`.
  • 11 класс. Номер 2.
    Найдите наименьшее целое число, удовлетворяющее неравенству `x>=4345/x`.

    Решение:
    `x-4345/x>=0`,
    `(x^2-4345)/x>=0`,
    `x in [-sqrt4345;0)uu[sqrt4345;+oo)`.
    `-sqrt4345 ~ -65,9`.
    `x=-65` - наименьшее целое число.

    Ответ: `-65`.

    11 класс. Номер 2.
    Найдите наименьшее целое число, удовлетворяющее неравенству `x>=3217/x`.

    Решение:
    `x-3217/x>=0`,
    `(x^2-3217)/x>=0`,
    `x in [-sqrt3217;0)uu[sqrt3217;+oo)`.
    `-sqrt4345 ~ -56,7`.
    `x=-56` - наименьшее целое число.

    Ответ: `-56`.

    10 класс. Номер 2.
    Зачеркните две цифры числа `214570`, чтобы число делилось на `6`.
    В ответе указать подряд две цифры, в исходном порядке.

    Решение:
    Мы не можем зачеркнуть `0`, иначе число будет нечетным (даже если зачеркнуть потом `7`).
    Значит можно зачеркивать цифры только из первых `5` цифр, это одновременно решает задачу делимости на `2`.
    Сумма цифр равна `2+1+4+5+7+0=19`.
    Число делится на `3`, если делится на `3` сумма его цифр.
    `2+1=3, 2+4=6, 2+7=9` - при зачеркивании данных пар сумма цифр не будет делится на `3`.
    `2+5=7, 19-7=12` - делится на `3`.
    Остальные пары можно не проверять, т.к. ответ должен быть однозначный.
    `1470=245*6`.

    Ответ: `25`.
  • 11 класс. Номер 3.
    Компьютерные часы показывают время от `00.00.00` до `23.59.59`. Сколько секунд в течение суток сумма всех цифр, горящих на табло, равна `3`?

    Решение:
    `3=3+0=2+1=1+1+1`.
    Каждая нужная расстановка цифр дает ровно `1` секунду.
    Учтем, что первая цифра не может принимать значение `3`.
    `(3,0)` - `5` расстановок (`03.00.00 - 00.00.03`).
    `(2,1)` - для `2` есть `6` способов, для `1` остается `5` способов. Всего `30` расстановок.
    `(1,1,1)` - надо в `6` ячеек воткнуть 3 одинаковых элемента. `C_6^3=(6!)/(3!*3!)=(4*5*6)/6=20` расстановок.
    Всего получили `55` расстановок `= 55` секунд.

    Ответ: `55`.

    11 класс. Номер 3.
    Компьютерные часы показывают время от `00.00.00` до `23.59.59`. Сколько секунд в течение суток сумма всех цифр, горящих на табло, равна `36`?

    Решение:
    Первая цифра может принимать значения `0,1,2`, вторая цифра от `0` до `9`, третья и пятая от `0` до `5`, четвертая и шестая от `0` до `9`.
    Максимальная сумма цифра равна `2+9+5+9+5+9=39`.
    Чтобы сумма цифра равнялась `36`, необходимо, чтобы суммарно от максимальной суммы убавилось ровно `3`.
    Каждая нужная расстановка цифр дает ровно `1` секунду.
    Вместо расстановок цифр будем считать расстановки разностей цифр.
    Т.е. вместо `(a,b,c,d,e,f)` посчитаем `(2-a,9-b,5-c,9-d,5-e,9-f)=(x,y,z,t,p,q)`.
    `a+b+c+d+e+f=36 iff x+y+z+t+p+q=3`.
    `3=3+0=2+1=1+1+1`.
    Учтем, что первая цифра не может принимать значение `3`.
    `(3,0)` - `5` расстановок (`03.00.00 - 00.00.03`).
    `(2,1)` - для `2` есть `6` способов, для `1` остается `5` способов. Всего `30` расстановок.
    `(1,1,1)` - надо в `6` ячеек воткнуть 3 одинаковых элемента. `C_6^3=(6!)/(3!*3!)=(4*5*6)/6=20` расстановок.
    Всего получили `55` расстановок `= 55` секунд.

    Ответ: `55`.

    11 класс. Номер 3.
    Компьютерные часы показывают время от `00.00.00` до `23.59.59`. Сколько секунд в течение суток сумма всех цифр, горящих на табло, равна `36`?

    Решение:
    Первая цифра может принимать значения `0,1,2`, вторая цифра от `0` до `9`, третья и пятая от `0` до `5`, четвертая и шестая от `0` до `9`.
    Максимальная сумма цифра равна `2+9+5+9+5+9=39`.
    Чтобы сумма цифра равнялась `36`, необходимо, чтобы суммарно от максимальной суммы убавилось ровно `3`.
    Каждая нужная расстановка цифр дает ровно `1` секунду.
    Вместо расстановок цифр будем считать расстановки разностей цифр.
    Т.е. вместо `(a,b,c,d,e,f)` посчитаем `(2-a,9-b,5-c,9-d,5-e,9-f)=(x,y,z,t,p,q)`.
    `a+b+c+d+e+f=36 iff x+y+z+t+p+q=3`.
    `3=3+0=2+1=1+1+1`.
    Учтем, что первая цифра не может принимать значение `3`.
    `(3,0)` - `5` расстановок (`03.00.00 - 00.00.03`).
    `(2,1)` - для `2` есть `6` способов, для `1` остается `5` способов. Всего `30` расстановок.
    `(1,1,1)` - надо в `6` ячеек воткнуть 3 одинаковых элемента. `C_6^3=(6!)/(3!*3!)=(4*5*6)/6=20` расстановок.
    Всего получили `55` расстановок `= 55` секунд.

    Ответ:
     `55`.

    11 класс. Номер 3.
    Компьютерные часы показывают время от `00.00.00` до `23.59.59`. Сколько секунд в течение суток произведение всех цифр, горящих на табло, равна `6`?

    Решение:

    `6=3*2=6*1` (все остальные цифры берем за `1`).
    Каждая нужная расстановка цифр дает ровно `1` секунду.
    Учтем, что первая цифра не может принимать значение `3` и `6`, третья и пятая цифры не могут быть равны `6`.
    `(6,1)` - `3` расстановки (`16.11.11 - 11.11.16`).
    `(2,3)` - для `3` есть `6` способов, для `2` остается `5` способов. Всего `30` расстановок. Выкидываем расстановки, когда первая цифра равна `3` (таких расстановок пять). 
    Остается `25` расстановок.
    Всего получили `28` расстановок `= 28` секунд.

    Ответ: `28`.

    11 класс. Номер 3.
    Компьютерные часы показывают время от `00.00.00` до `23.59.59`. Сколько секунд в течение суток на табло часов горит ровно `5` цифр `0`?

    Решение:
    Первая цифра может принимать значения `0,1,2`, вторая цифра от `0` до `9`, третья и пятая от `0` до `5`, четвертая и шестая от `0` до `9`.
    Каждая нужная расстановка цифр дает ровно `1` секунду.
    Всего получаем `2*9*6*9*6*9 = 52488` вариантов.

    Ответ: `52488`.

    10 класс. Номер 3.
    Решите уравнение
    `(1+1/x)(1+1/(x+1))...(1+1/(x+2014))=6`.

    Решение:
    `1+1/(x+k)=(x+k+1)/(x+k)`.
    Тогда произведение слева запишется в виде:
    `(x+1)/x*(x+2)/(x+1)*...*(x+2015)/(x+2014)=6`.
    После сокращений почти всех скобок:
    `(x+2015)/x=6`,
    `x+2015=6x`,
    `5x=2015`,
    `x=403`.

    Ответ: `403`.

  • 11 класс. Номер 4.
    Найдите наименьшее возможное значение выражения `x+y^2+z^2`, если  — `x,y,z` произвольные действительные числа с единственным ограничением `x+y+z=3`. (Если ответ не целый, в поле ответов следует записывать его в виде десятичной дроби, отделяя целую часть от дробной части точкой.)

    Решение:
    `x+y+z=3`,
    `x=3-y-z`.

    `f=x+y^2+z^2=3-y-z+y^2+z^2`.
    `f=(y-1/2)^2+(z-1/2)^2+5/2`.
    `f>=5/2`, равенство возможно при `y=z=1/2`.

    Ответ: `2.5`.

    11 класс. Номер 4.
    Найдите наименьшее возможное значение выражения `2x+y^2+z^2`, если  — `x,y,z` произвольные действительные числа с единственным ограничением `x+y+z=2`. (Если ответ не целый, в поле ответов следует записывать его в виде десятичной дроби, отделяя целую часть от дробной части точкой.)

    Решение:
    `x+y+z=2`,
    `x=2-y-z`.

    `f=2x+y^2+z^2=4-2y-2z+y^2+z^2`.
    `f=(y-1)^2+(z-1)^2+2`.
    `f>=2`, равенство возможно при `y=z=1`.

    Ответ:
     `2`.
  • 11 класс. Номер 5.
    Петя при сложении чисел в столбик всегда допускает одну и ту же ошибку: он забывает правило «один в уме», и вместо того, чтобы прибавить единицу к следующему разряду, он вписывает её в само число. Например, при сложении чисел `4826` и `347` у него получается число `411613`. Петя сложил два натуральных числа, и получил в ответе `15821160111941`. Какое наименьшее число у него могло получиться, если бы он сложил числа правильно?

    Решение:
    `a,b in [0,9] => a+b in [0;18]`, т.е. при "неправильном" сложении двух чисел получим максимум `18`.
    Исходное число:
    `15821160111941`.
    Сумма чисел будет минимальной, если число разрядов будет минимальным. Будем минизировать данное число.
    `41>18 => 1=1+0=0+1`. Т.е. сумма последних цифр складываемых чисел равна `1`.
    `94>18 =>` сумма предпоследних цифр чисел равна `4`.
    `19>18 =>` сумма третьих с конца цифр равна `9`.
    `10<11<18 =>` сумма четвертых с конца цифра равна `11`.
    `601` - сумма пятых и шестых с конца цифр равна соотв. `1` и `0`.
    `10<16<18` - сумма седьмых с конца цифр равна `16`.
    `21>18` - сумма восьмых с конца цифр равна `1`.
    `82>18` - сумма девятых с конца цифр равна `2`.
    `58>18` - сумма десятых с конца цифр равна `8`.
    `10<15<18` - сумма `11`-х с конца цифр равна `15`.

    У обоих чисел по `11` цифр.
    `a=bar(a_11a_10...a_1), b=bar(b_11b_10...b_1)`.
    Понятно, что `a+b=bar(15c_10...c_1)` - `12` цифр.
    Надо минимзировать `c_i`.
    `c_1=1, c_2=4, c_3=9, c_4=1, c_5=2, c_6=0`, 
    `c_7=6, c_8=2, c_9=2, c_10=8`.
    `min(a+b)=158226021941`.

    Ответ: `158226021941`.

    10 класс. Номер 5.
    Найдите наименьшее возможное значение выражения `x+y^2+z^2`, если  — `x,y,z` произвольные действительные числа с единственным ограничением `x+y+z=1`. (Если ответ не целый, в поле ответов следует записывать его в виде десятичной дроби, отделяя целую часть от дробной части точкой.)

    Решение:
    `x+y+z=1`,
    `x=1-y-z`.

    `f=x+y^2+z^2=1-y-z+y^2+z^2`.
    `f=(y-1/2)^2+(z-1/2)^2+1/2`.
    `f>=1/2`, равенство возможно при `y=z=1/2`.

    Ответ: `0.5`.
  • 11 класс. Номер 6.
    Дан прямоугольный треугольник `ABC` с гипотенузой `AB`. Окружность радиуса `24` касается стороны `BC` и продолжений двух других сторон. 
    Окружность радиуса `18` касается стороны `AC` и продолжений двух других сторон. Найти длину стороны `AB`.

    Решение:
    `r_a+r_b=S/(p−a)+S/(p−b)=(ab)/(−a+b+c)+(ab)/(a−b+c)=`
    `=(ab(−a+b+c+a−b+c))/(c^2−(a−b)^2)=c`,
    `c=r_a+r_b`.
    `r_a=24, r_b=18 => c=42`.

    Ответ:
     `42`.

    11 класс. Номер 6.
    Дан прямоугольный треугольник `ABC` с гипотенузой `AB`. Окружность радиуса `29` касается стороны `BC` и продолжений двух других сторон. 
    Окружность радиуса `20` касается стороны `AC` и продолжений двух других сторон. Найти длину стороны `AB`.

    Решение:
    `r_a+r_b=S/(p−a)+S/(p−b)=(ab)/(−a+b+c)+(ab)/(a−b+c)=`
    `=(ab(−a+b+c+a−b+c))/(c^2−(a−b)^2)=c`,
    `c=r_a+r_b`.
    `r_a=29, r_b=20 => c=49`.

    Ответ: `49`.

    11 класс. Номер 6.
    Дан прямоугольный треугольник `ABC` с гипотенузой `BC`. Окружность радиуса `16` касается стороны `AB` и продолжений двух других сторон. 
    Окружность радиуса `34` касается стороны `BC` и продолжений двух других сторон. Найти длину стороны `AC`.

    Решение:
    `r_a+r_b=S/(p−a)+S/(p−b)=(ab)/(−a+b+c)+(ab)/(a−b+c)=`
    `=(ab(−a+b+c+a−b+c))/(c^2−(a−b)^2)=c`,
    `c=r_a+r_b`.
    `r_a=16, r_b=34 => c=50`.

    Ответ: `50`.

    11 класс. Номер 6.
    Дан прямоугольный треугольник `ABC` с гипотенузой `BC`. Окружность радиуса `20` касается стороны `AB` и продолжений двух других сторон. 
    Окружность радиуса `21` касается стороны `BC` и продолжений двух других сторон. Найти длину стороны `AC`.

    Решение:
    `r_a+r_b=S/(p−a)+S/(p−b)=(ab)/(−a+b+c)+(ab)/(a−b+c)=`
    `=(ab(−a+b+c+a−b+c))/(c^2−(a−b)^2)=c`,
    `c=r_a+r_b`.
    `r_a=20, r_b=21 => c=41`.

    Ответ: `41`.

    10 класс. Номер 6.
    Петя при сложении чисел в столбик всегда допускает одну и ту же ошибку: он забывает правило «один в уме», и вместо того, чтобы прибавить единицу к следующему разряду, он вписывает её в само число. Например, при сложении чисел `4826` и `347` у него получается число `411613`. Петя сложил два натуральных числа, и получил в ответе `111199112119118`. Какое наименьшее число у него могло получиться, если бы он сложил числа правильно?

    Решение:
    `a,b in [0,9] => a+b in [0;18]`, т.е. при "неправильном" сложении двух чисел получим максимум `18`.
    Исходное число:
    `111199112119118`.
    Сумма чисел будет минимальной, если число разрядов будет минимальным. Будем минизировать данное число.
    `18=18`. Т.е. сумма последних цифр складываемых чисел равна `18`.
    `91>18 =>` сумма предпоследних цифр чисел равна `1`.
    `19>18 =>` сумма третьих с конца цифр равна `9`.
    `10<11<18 =>` сумма четвертых с конца цифра равна `11`.
    `10<12<18` - сумма пятых с конца цифр равна `12`.
    `91>18` - сумма шестых с конца цифр равна `1`.
    `99>18` - сумма седьмых с конца цифр равна `9`.
    `19>18` - сумма восьмых с конца цифр равна `8`.
    `10<11<18` - сумма девятых с конца цифр равна `11`.
    `10<11<18` - сумма десятых с конца цифр равна `11`.

    У обоих чисел по `10` цифр.
    `a=bar(a_10...a_1), b=bar(b_10...b_1)`.
    Понятно, что `a+b=bar(12c_10...c_1)` (во вторую цифру переходит `+1` из предыдущего разряда) - `11` цифр.
    Надо минимизировать `c_i`.
    `c_1=8, c_2=2, c_3=9, c_4=1, c_5=3, c_6=2`,
    `c_7=9, c_8=8, c_9=1, c_10=2`.
    `min(a+b)=12189231921`.

    Ответ:
     `12189231921`.
  • 10 класс. Номер 7.
    Дан прямоугольный треугольник `ABC` с гипотенузой `AB`. Окружность радиуса `24` касается стороны `BC` и продолжений двух других сторон. 
    Окружность радиуса `18` касается стороны `AC` и продолжений двух других сторон. Найти длину стороны `AB`.

    Решение:
    `r_a+r_b=S/(p−a)+S/(p−b)=(ab)/(−a+b+c)+(ab)/(a−b+c)=`
    `=(ab(−a+b+c+a−b+c))/(c^2−(a−b)^2)=c`,
    `c=r_a+r_b`.
    `r_a=24, r_b=18 => c=42`.

    Ответ: `42`.
  • 11 класс. Номер 9.
    Углы некоторого треугольника равны `alpha,beta,gamma`. Оказалось, что `(sin^2beta+sin^2alpha-sin^2gamma)/(sinbeta*sinalpha)=sqrt55/4`.  Найти `singamma`. 
    (Если ответ не целый, в поле ответов следует записывать его в виде десятичной дроби, отделяя целую часть от дробной части точкой.)

    Решение:

    Теорема синусов:
    `sinalpha=a/c*singamma, sinbeta=b/c*singamma`.
    Подставим в равенство, сократим все на `sin^2gamma`:
    `(b^2/c^2+a^2/c^2-1)/((ba)/c^2)=sqrt55/4`,
    `(b^2+a^2-c^2)/(ab)=sqrt55/4`,
    `b^2+a^2-c^2=sqrt55/4ab`,
    `c^2=a^2+b^2-2ab*sqrt55/8`.
    По теореме косинусов получаем, что `sqrt55/8=cosgamma`.
    `singamma=3/8 = 0.375`.

    Ответ: `0.375`.

    11 класс. Номер 9.
    Углы некоторого треугольника равны `gamma,beta,gamma`. Оказалось, что `(sin^2beta+sin^2gamma-sin^alpha)/(sinbeta*singamma)=sqrt51/5`.  Найти `sinalpha`. 
    (Если ответ не целый, в поле ответов следует записывать его в виде десятичной дроби, отделяя целую часть от дробной части точкой.)

    Решение:
    Теорема синусов:
    `singamma=c/a*sinalpha, sinbeta=b/a*sinalpha`.
    Подставим в равенство, сократим все на `sin^2alpha`:
    `(b^2/a^2+c^2/a^2-1)/((bc)/a^2)=sqrt51/5`,
    `(b^2+c^2-a^2)/(bc)=sqrt51/5`,
    `b^2+c^2-a^2=sqrt51/5bc`,
    `a^2=c^2+b^2-2bc*sqrt51/10`.
    По теореме косинусов получаем, что `sqrt51/10=cosalpha`.
    `sinalpha=7/10 = 0.7`.

    Ответ: `0.7`.

    11 класс. Номер 9.
    Углы некоторого треугольника равны `gamma,beta,gamma`. Оказалось, что `(sin^2beta+sin^2gamma-sin^alpha)/(sinbeta*singamma)=sqrt7/2`.  Найти `sinalpha`. 
    (Если ответ не целый, в поле ответов следует записывать его в виде десятичной дроби, отделяя целую часть от дробной части точкой.)

    Решение:
    Теорема синусов:
    `singamma=c/a*sinalpha, sinbeta=b/a*sinalpha`.
    Подставим в равенство, сократим все на `sin^2alpha`:
    `(b^2/a^2+c^2/a^2-1)/((bc)/a^2)=sqrt7/2`,
    `(b^2+c^2-a^2)/(bc)=sqrt7/2`,
    `b^2+c^2-a^2=sqrt7/2bc`,
    `a^2=c^2+b^2-2bc*sqrt7/4`.
    По теореме косинусов получаем, что `sqrt7/4=cosalpha`.
    `sinalpha=3/4 = 0.75`.

    Ответ: `0.75`.

    11 класс. Номер 10.
    Дана бесконечная арифметическая прогрессия, в которой `a_1=1, a_2=54^2`.  
    Назовём натуральное число плохим, если оно взаимно просто с каждым членом этой прогрессии. Найти количество плохих натуральных чисел на отрезке `[1;2014]`.

    Решение:

    `d=54^2-1=53*55=5*11*53`.
    `a_(n+1)=a_1+nd=5*11*53n+1`.
    `m in [1;2014], (m,5*11*53n+1)=1` при любых `n in NN`.
    `a_(n+1)` взаимно просто с любых числом, которое делится ТОЛЬКО на `5,11` и `13`. И также с `1`.
    Из теории вычетов следует, что найдется такой `n`, что `5*11*53n -= -1` `mod` `k`, если `(k,5*11*53)=1`.
    Если `k` будет делителем `m`, нарушается условие взаимной простоты.
    Осталось посчитать кол-во чисел из нашего отрезка, которые кратны ТОЛЬКО `5,11,53`.
    `5,5^2,5^3,5^4, 5*11, 5^2*11, 5^3*11, 5*11^2, 5*53, 5^2*53`.
    `11,11^2,11^3,53, 11*53`.
    Всего `15` чисел, вместе с `1` будет `16` чисел.

    Ответ: `16`.

    11 класс. Номер 10.
    Дана бесконечная арифметическая прогрессия, в которой `a_1=1, a_2=2015^2`.  
    Назовём натуральное число плохим, если оно взаимно просто с каждым членом этой прогрессии. Найти количество плохих натуральных чисел на отрезке `[40;60]`.

    Решение:
    `d=2015^2-1=2014*2016=2^6*3^2*7*19*53` - `6` различных простых делителей.
    `a_(n+1)=a_1+nd=2^6*3^2*7*19*53n+1`.
    `m in [40;60], (m,2^6*3^2*7*19*53n+1)=1` при любых `n in NN`.
    `a_(n+1)` взаимно просто с любых числом, которое делится ТОЛЬКО на `2,3,7,19,53`.
    Из теории вычетов следует, что найдется такой `n`, что `2^6*3^2*7*19*53n -= -1` `mod` `k`, если `(k,2^6*3^2*7*19*53)=1`.
    Если `k` будет делителем `m`, нарушается условие взаимной простоты.
    Осталось посчитать кол-во чисел из нашего отрезка, которые кратны ТОЛЬКО `2,3,7,19,53` и их степеням и произведениям.
    `16*3, 8*7, 19*3, 53, 49, 2*3*7`
    Всего `6` чисел.

    Ответ: `6`.

    11 класс. Номер 10.
    Дана бесконечная арифметическая прогрессия, в которой `a_1=1, a_2=2015^2`.  
    Назовём натуральное число плохим, если оно взаимно просто с каждым членом этой прогрессии. Найти количество плохих натуральных чисел на отрезке `[100;120]`.

    Решение:
    `d=2015^2-1=2014*2016=2^6*3^2*7*19*53` - `6` различных простых делителей.
    `a_(n+1)=a_1+nd=2^6*3^2*7*19*53n+1`.
    `m in [40;60], (m,2^6*3^2*7*19*53n+1)=1` при любых `n in NN`.
    `a_(n+1)` взаимно просто с любых числом, которое делится ТОЛЬКО на `2,3,7,19,53`.
    Из теории вычетов следует, что найдется такой `n`, что `2^6*3^2*7*19*53n -= -1` `mod` `k`, если `(k,2^6*3^2*7*19*53)=1`.
    Если `k` будет делителем `m`, нарушается условие взаимной простоты.
    Осталось посчитать кол-во чисел из нашего отрезка, которые кратны ТОЛЬКО `2,3,7,19,53` и их степеням и произведениям.
    `2*53, 16*7, 27*4, 2*3*19, `
    Всего `4` числа.

    Ответ: `4`.

Рассылка решений заочных туров олимпиад по математике