Рассылка решений заочных туров олимпиад по математике

Подписывайтесь на нашу рассылку решений заочных туров всех олимпиад по математике: Ломоносов, Покори Воробьевы горы, Высшая проба, Физтех 2018 и другие перечневые олимпиады.

Московская Математическая Олимпиада (ММО) 2014-2015 / Задания и решения заочного тура


  • Сезон олимпиад 2016-2017 открыт!
    Идет запись на наши курсы подготовки к олимпиадам по математике с гарантированным результатом.
    image
    1. Индивидуальные занятия и консультации.
    2. Помощь в прохождении заочных туров олимпиад. Одна олимпиада 1-5 тыс. руб.
    3. Помощь эксперта на очных турах олимпиад. Одна олимпиада от 30 тыс. руб.
    4. Гарантия успешного результата (курсы ведутся пятый сезон).

    Стоимость курсов от 3000 до 25000 руб. в месяц. Стандартный курс - 10000 руб. в месяц. Длительность курсов - 6 месяцев.
    В составе стандартного курса заочные туры 10 олимпиад и очные туры 2 олимпиад.
    Посмотреть тарифные планы и подробную информацию по курсам подготовки.


    Отборочный этап Московской Математической Олимпиады (ММО) 2014-2015. Задания и решения.
    Заочный тур!
  • Задача №1.
    Попарно различные числа `x,y,z` таковы, что
    `x^3+2015x^2+x=y^3+2015y^2+y=z^3+2015z^2+z`.
    Найдите `x+y+z` (при необходимости округлите ответ до целого числа).

    Решение:
    Пусть наши выражения равны `a`.
    Тогда `x,y,z` являются различными корнями уравнения
    `t^3+2015t^2+t-a=0`.
    У кубического уравнения не может быть больше трех различных корней.
    По т. Виета `t_1+t_2+t_3=-2015`.
    `x+y+z=-2015`.
    Данный ответ можно получить и вычислительно.

    Ответ:
    `-2015`

    Задача №2.
    Два велогонщика ехали со скоростью `40` км/ч, расстояние между ними было равно `30` метрам. Начался (пологий) подъем, на котором скорость велосипедиста падает до `30` км/ч. Каким стало расстояние между велосипедистами, когда они оба находились на подъеме? (при необходимости округлите ответ до целого числа метров).

    Решение:
    Понятно, что расстояние между велосипедистами стало уменьшаться после того, как первый въехал на подъем и снова зафиксировалось сразу после того, как второй въехал на подъем.
    Также понятно, что новое расстояние между ними станет равно
    `S_2=S_1*(v_2)/(v_1)=30*30/40=22.5` метров.
    `(S_1)/(v_1)` - время, пока второй въедет на подъем.
    `(S_1)/(v_1)*v_2` - расстояние, которое проедет первый за это время.
    Округляем до целого числа метров, получаем `23` метра.

    Ответ: `23`

    Задача №3.
    Найдите на чертеже узел `C'` такой, что `S_(ABC'D)=2S_(ABCD)`. (Ответ запишите в формате типа `(3,2)`.)
    image
    Решение:
    По клеткам вычислим `S_(ABCD)=9 => S_(ABC'D)=18`.
    `S_(AD0)=6, S_(ABy)=4`.
    Площадь всего квадрата равна `36`.
    `S_(ABC'D)=36-6-4-S'=26-S' => S'=8`.
    Если `C'=(6,2) => S'=8`.

    Ответ: `(6,2)`

    Задача№4.
    В таблицу `10`х`10` выписали числа по возрастанию от `1` до `100` (в первой строке числа от `1` до `10`, во второй от `11` до `20` и т.д.). Перед некоторыми из чисел поставили знак "`-`", так чтобы в каждой строке и в каждом столбце было ровно по два знака "`-`". Чему может быть равна сумма всех чисел в таблице? В ответе запишите минимальную и максимальную возможную сумму в формате типа `-100, 1000`.

    Решение:
    Классическая задача на инвариант. Сумма при любом варианте расстановки знаков "`-`" остается неизменной. Посчитаем сумму модулей (для удобства) отрицательных чисел.
    Каждая строка дает прибавку в виде базы и хвоста. По условию в каждой строке два отрицательных числа, каждое из которых состоит из базы и хвоста.
    База для первой строки - `0`, для последней строки `90`.
    Хвост - номер места (от `1` до `10`), на котором расположено отрицательное число.
    Сумма всех баз постоянна и равна `0+0+10+10+...+90+90`.
    `S_1=2*(10+20+...+90)=900`.
    Сумма всех хвостов тоже постоянна, поскольку в каждом столбце может быть только два отрицательных числа, значит каждый номер (столбец) используется ровно `2` раза.
    Тогда сумма всех хвостов постоянна и равна `1+1+2+2+...+10+10`.
    `S_2=2(1+2+...+10)=110`.
    `S=S_1+S_2=900+110=1010`.
    `S_(таблицы)=1+2+...+100-S=5050-1010=4040`.

    Ответ: `4040,4040`

    Задача №5.
    У Сизифа есть кучка из `2015` камней, которую он хочет разделить на `2015` кучек по одному камню. За одну операцию он может разбить любую из имеющихся кучек на две, но если эти две кучки не одинаковые, то Сизиф платит штраф в `1` рубль. Какой наименьший штраф ему придется заплатить?

    Решение:
    На каждом шаге будем выделять максимальную степень `2`, поскольку любую кучку из `2^n` можно разбить на `2^n` кучек по `1` камню без штрафа.
    `2015=1024+991` - `1` рубль.
    `991=512+479` - `1` рубль.
    `479=256+223` - `1` рубль.
    `223=128+95` - `1` рубль.
    `95=64+31` - `1` рубль.
    `31=16+15` - `1` рубль.
    `15=8+7` - `1` рубль.
    `7=4+3` - `1` рубль.
    `3=2+1` - `1` рубль.
    Всего `9` рублей штрафа. Очевидно, что меньшим числом рублей не обойтись.
    Иначе говоря, ответом является количество единичек в двоичном представлении числа.

    Ответ: `9`

    Задача №6.
    Вычислите с точностью до `1/100`:
    `1-sqrt49+sqrt51-sqrt2499+sqrt2501-...-sqrt(50^100-1)+sqrt(50^100+1)`
    (Ответ запишите в формате типа `3,14`.)

    Решение:
    `sqrt(50^n+1)-sqrt(50^n-1)=(50^n+1-50^n+1)/(sqrt(50^n+1)+sqrt(50^n-1))=`
    `=2/(sqrt(50^n+1)+sqrt(50^n-1))`.
    `S=1+a_1+a_2+...+a_100`, где `a_n=2/(sqrt(50^n+1)+sqrt(50^n-1))`.
    `a_4=2/(sqrt6250001+sqrt6249999) > 2/(2sqrt6250000)=1/2500`.
    Легко доказать нер-во `sqrt(a-1)+sqrt(a+1)<2sqrta`, возведением в квадрат.
    Легко доказать, что `a_4<1/2000`.
    Аналогично, `a_5 < 1/10^4, a_6 < 1/10^5, a_7< 1/10^6`.
    Очевидно, что `a_(n+1)<a_n`.
    Тогда `a_7+a_8+...+a_100<94/10^6<100/10^6=0.0001`.
    `1+a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6` вычислим калькулятором.
    `a_1=0.141428`,
    `a_2=0.020000`,
    `a_3=0.002828`,
    `a_4=0.000400`,
    `a_5=0.000057`,
    `a_6=0.000001`.
    `S=1.164714+epsilon`, где `epsilon < 0.0001`.
    `1,1647 < S < 1,1648`.

    Ответ: `1,16`

    Задача №7.
    У куба и (правильного) октаэдра совпадают середины ребер. Найдите отношение объема куба к объему октаэдра. (Ответ округлите до `1/100` и запишите в формате типа `2,78`.)

    Решение:
    image
    Пусть ребро октаэдра равно `a`, тогда `V_1=1/3sqrt2a^3`.
    Ребро куба легко найти из прямоугольного равнобедренного треугольника с катетом, равным `a/2`.
    `sqrt(a^2/4+a^2/4)=1/sqrt2a`.
    Объем куба `V_2=(1/sqrt2a)^3=1/(2sqrt2)a^3`.
    `(V_2)/(V_1)=1/(2sqrt2)*3/sqrt2=3/4=0,75`.

    Ответ: `0,75`

Рассылка решений заочных туров олимпиад по математике