Рассылка решений заочных туров олимпиад по математике

Подписывайтесь на нашу рассылку решений заочных туров всех олимпиад по математике: Ломоносов, Покори Воробьевы горы, Высшая проба, Физтех 2018 и другие перечневые олимпиады.

Отборочный этап олимпиады школьников СПбГУ по математике 2014-2015 / Задания и решения


  • Сезон олимпиад 2016-2017 открыт!
    Идет запись на наши курсы подготовки к олимпиадам по математике с гарантированным результатом.
    image
    1. Индивидуальные занятия и консультации.
    2. Помощь в прохождении заочных туров олимпиад. Одна олимпиада 1-5 тыс. руб.
    3. Помощь эксперта на очных турах олимпиад. Одна олимпиада от 30 тыс. руб.
    4. Гарантия успешного результата (курсы ведутся пятый сезон).

    Стоимость курсов от 3000 до 25000 руб. в месяц. Стандартный курс - 10000 руб. в месяц. Длительность курсов - 6 месяцев.
    В составе стандартного курса заочные туры 10 олимпиад и очные туры 2 олимпиад.
    Посмотреть тарифные планы и подробную информацию по курсам подготовки.

    Олимпиада СПбГУ 2015-2016 - задания и решения отборочного этапа по математике.
    Отборочный этап (заочный тур) олимпиады школьников СПбГУ по математике 2014-2015. Задания и решения всех вариантов.
  • Задача №2-1.
    Сколько существует четных `2017`-значных чисел, каждая цифра десятичной записи которых равна одной из цифр `0`, `1` или `7`?

    Решение:
    Число четное, поэтому последняя цифра всегда равна `0`.
    Первая цифра не может равняться `0`, остается два варианта.
    Цифры со второй до `2016`-ой могут принимать любое из трех значений.
    Всего получаем `2*3^2015` вариантов.

    Ответ: `2*3^2015`.
  • Задача №4-1.
    Десять пиратов делят добычу из золотых и серебряных монет, в которой серебряных монет в два раза больше, чем золотых. Они поделили между собой все золотые монеты так, что разность количеств золотых монет у любых двоих из них не делится на `10`. Докажите, что им не удастся разделить и серебряные монеты по такому же принципу.

    Решение:
    Предположим обратное.
    `n` золотых монет и `2n` серебряных монет.
    `a_1+a_2+...+a_10=2n`, где `a_1,a_2,...,a_10` - серебряные монеты у пиратов.
    Пусть `a_i` дает остаток `b_i` при делении на `10`, тогда все `b_i` различны. Но по модулю `10` всего `10` разных остатков, поэтому множество `b_i` совпадает с множеством `{0,1,2,...,9}`.
    Тогда `2n` дает остаток `0+1+2+...+9=(9*10)/2=45` (или `5`) при делении на `10`.
    Значит `2n=10k+5` - противоречие, т.к. слева четное число, справа нечетное.

    Ответ: доказано.
  • Задача №2-2.
    Докажите, что число `(1+1/1)*(1+1/3)*(1+1/5)*...*(1+1/2015)` не является целым.

    Решение:
    `1+1/k=(k+1)/k`.
    `(1+1/1)*(1+1/3)*(1+1/5)*...*(1+1/2015)=`
    `=(2*4*6*...*2016)/(1*3*5*...*2015)=(2^1008*1*2*3*...*1008)/(1*3*5*...*2015)`.
    Полученная дробь является нецелой, поскольку в знаменателе есть много простых сомножителей, бОльших `1008`. Например, `2011`. Получаем несократимую дробь.

    Ответ: доказано.
  • Задача №4-2.
    На доске написано `2015` попарно различных положительных вещественных чисел. Оказалось, что для любого числа `a > 0` количество чисел на доске, меньших `2014/a`, и количество чисел, больших `a`, имеют одинаковую четность. Чему может быть равно произведение всех чисел?

    Решение:
    `0<a_1<a_2<...<a_2015` - наши числа.
    Два числа одинаковой четности тогда и только тогда, когда их сумма четна.
    Пусть `a>=sqrt2014 => 2014/a<=a`.
    Если `a=sqrt2014 => 2014/a=a=sqrt2014`.
    По условию, среди `2015` чисел четное количество находится вне точки `sqrt2014`, следовательно одно из чисел совпадает с `sqrt2014`. Пусть `a_i=sqrt2014`.
    Рассмотрим числа `a_(i-1)<sqrt2014<a_(i+1)`.
    Если `a=2014/(a_(i-1)) =>` вне отрезка `[a_(i-1);2014/(a_(i-1))]` находится четное кол-во наших чисел.
    Следовательно, `a_(i+1)<=2014/(a_(i-1)) => a_(i+1)*a_(i-1)<=2014`.
    Если `a=a_(i+1) =>` вне отрезка `[2014/(a_(i+1));a_(i+1)]` находится четное кол-во наших чисел.
    Следовательно, `a_(i-1)>=2014/(a_(i+1)) => a_(i+1)*a_(i-1)>=2014`.

    Итак, получили, что `a_(i-1)*a_(i+1)=2014`, или `a_(i-1)=2014/(a_(i+1))`. Это верно для любого произведения вида `a_(i-k)*a_(i+k)`.
    Очевидно, что `i=1008`. При таких `a_k` выполняется условие задачи.
    При `a<sqrt2014` условие выполняется, поскольку какое то подмножество чисел считается дважды (в каждом множестве) и на одинаковую четность в каждом множестве это не влияет.
    `a_1*a_2*...*a_2015=sqrt2014*2014^1007=2014^(2015/2)`.

    Ответ: `2014^(2015/2)`.
  • Задача №2-3.
    Сколько существует четных `888`-значных чисел, каждая цифра десятичной записи которых равна одной из цифр `1`, `4` или `0`?

    Решение:
    Число четное, поэтому последняя цифра всегда равна `0` или `4`.
    Первая цифра не может равняться `0`, остается два варианта.
    Цифры со второй до `887`-ой могут принимать любое из трех значений.
    Всего получаем `2*3^886*2` вариантов.

    Ответ: `2^2*3^886`.
  • Задача №4-3.
    В системе Альфа Центавра города нумеруются различными восьмизначными числами, получающимися друг из друга перестановкой цифр, а город, чей номер равен среднему арифметическому номеров двух других городов, согласно нумерологическому закону, должен полностью освобождаться от уплаты налогов в казну. Могут ли в системе Альфа Центавра быть города, не платящие налогов?

    Решение:
    Попробуем найти такие числа среди трехзначных:
    `a,b,c` - цифры.
    `bar(abc),bar(acb),bar(bca),bar(bac),bar(cab),bar(cba)` - перестановки.
    Пусть `bar(abc)+bar(bac)=2bar(acb)`,
    `100a+100b+10b+10a+c+c=200a+20c+2b`,
    `90a+18c=108b`,
    `90(a-b)=18(b-c)`,
    `5(a-b)=b-c`,
    `a-b=1, b-c=5, a-c=6`,
    `a=7, c=1, b=6`.
    `761+671=2*716`.
    Из найденной тройки чисел легко получить искомые `8`-значные числа.
    `(76122222+67122222)/2=71622222`.

    Ответ: да.
  • Задача №2-4.
    Пусть `a_1, a_2, …, a_2015` – некая перестановка чисел `2015, 2016, 2017, ..., 4029`. Доказать, что произведение `(a_1-1)(a_2-2)(a_3-3)*...*(a_2015-2015)` равно четному числу.

    Решение:
    Предположим обратное, тогда каждый сомножитель вида `a_k-k` - нечетный.
    `a_k=k+b_k`, где `b_k` - нечетное число при любом `k`.
    `sum a_k = sum k + sum b_k`,
    `sum a_k = (2015*2016)/2 + sum b_k`,
    `sum a_k = 2015*(2015+4029)/2=6089330`,
    `sum b_k = 6089330-2031120 = 4058210` - четное число.
    С другой стороны, `sum b_k` - сумма нечетного кол-ва нечетных чисел, поэтому эта сумма нечетная. Противоречие.

    Ответ: доказано.
  • Задача №4-4.
    Петя, Федя и Вася придумывают в десятичной системе счисления различные шестизначные числа, получающиеся друг из друга перестановкой цифр. Может ли получиться так, что число, придуманное Петей, будет равняться среднему арифметическому чисел, придуманных Федей и Васей?

    Решение:
    Попробуем найти такие числа среди трехзначных:
    `a,b,c` - цифры.
    `bar(abc),bar(acb),bar(bca),bar(bac),bar(cab),bar(cba)` - перестановки.
    Пусть `bar(abc)+bar(bac)=2bar(acb)`,
    `100a+100b+10b+10a+c+c=200a+20c+2b`,
    `90a+18c=108b`,
    `90(a-b)=18(b-c)`,
    `5(a-b)=b-c`,
    `a-b=1, b-c=5, a-c=6`,
    `a=8, c=2, b=7`.
    `872+782=2*827`.
    Из найденной тройки чисел легко получить искомые `6`-значные числа.
    `(872456+782456)/2=827456`.

    Ответ: да.
  • Задача №2-5.
    Пусть `a_1, a_2, …, a_2015` – некая перестановка чисел `1, 2, ..., 2015`. Доказать, что произведение `(a_1-1)(a_2-2)(a_3-3)*...*(a_2015-2015)` равно четному числу.

    Решение:
    Предположим обратное, тогда каждый сомножитель вида `a_k-k` - нечетный.
    `a_k=k+b_k`, где `b_k` - нечетное число при любом `k`.
    `sum a_k = sum k + sum b_k`.
    С другой стороны `sum a_k = sum k`, т.к. множество `{a_k}` совпадает с множеством `{1,2,...,2015}`.
    Следовательно `sum b_k = 0` - четное число.
    С другой стороны, `sum b_k` - сумма нечетного кол-ва нечетных чисел, поэтому эта сумма нечетная. Противоречие.

    Ответ: доказано.
  • Задача №4-5.
    На клетчатом листе обведен прямоугольник размером `4*15=60` клеточек, а также проведена прямая. Эта прямая пересекает ровно `n` клеток прямоугольника (возможно по одной точке, то есть по вершине клетки) Чему может быть равно число `n`?

    Решение:
    Будем считать, что прямая пересекает хотя бы одну клетку прямоугольника, т.е. `n>=1`.
    В нашем прямоугольнике `15` строк и `4` столбца.
    Будем рассматривать прямые, угол наклона которых не меньше `45` градусов по отношению к столбцам. Диагональ внутреннего прямоугольника `4*4` пересекает `12` клеток (если прямоугольник внутри большого прямоугольника). Другие прямые, с углом меньше `45` градусов пересекают меньшее число клеток.
    В каждой строке прямая может пересечь `0`,`1` или `2` клетки. Если прямая проходит по внутреннему узлу клеток, тогда она пересекает по `2` клетки в верхней и нижней строке узла.
    Диагональ проходит по узлам прямоугольника `(a,b)`, если `a,b` имеют общий делитель, причем `НОД(a,b)+1=`числу всех (внутренние, узлы на стороне, угловые узлы) узлов.
    Продолжим наш прямоугольник на новую строку (получим `4*16`), проведем диагональ. В нашем прямоугольнике данная прямая проходит через `3` внутренних узла и пересечет `15+3*2=21` клетку.
    Отсечем один столбец, получим `3*15` и проведем диагональ. Получим `15+2*2+1=20` клеток. Два внутренних узла, один узел на стороне и один угловой узел.
    Очевидно, что при других прямых, которые пересекают все строки, мы не получим бОльшее число узлов, поэтому `n<=21`.
    Если отсечь три строки, получим `4*12`, `3` внутренних узла и один узел на стороне. Всего пересечений `12+3*2+1=19`.
    Значения `1<=n<=15` легко получить регулируя прямую на одном столбце.
    `n=16` получаем, когда прямая проходит весь первый столбец и одну клетку второго столбца.
    `n=17` получаем, когда прямая является диагональю для `1*14`.
    `n=18` получаем, когда отсекаем нижнюю строку и проводим диагональ в `2*14`.

    Ответ:
    `1<=n<=21`.

Рассылка решений заочных туров олимпиад по математике