ОММО 2019
Условия и ответы ОММО (все варианты).
info@olympiads.biz - почта для подключения следующих олимпиад.

Отборочный этап олимпиады школьников СПбГУ по математике 2014-2015 / Задания и решения
  • Задача №2-6.
    Известно, что площадь некоторого треугольника равна `12sqrt2`, а угол при вершине `C` треугольника равен `45` градусам. Какими должны быть стороны `a` и `b`, сходящиеся в вершине `C`, для того, чтобы сторона `c`, противолежащая вершине `C`, имела наименьшую длину?

    Решение:
    `1/2ab*sin45^0=12sqrt2`,
    `c^2=a^2+b^2-2abcos45^0`.
    Т.е. надо найти `a,b>0`, при которых `f=a^2+b^2-sqrt2ab -> min` при `ab=48`.
    `f=a^2+b^2-48sqrt2>=2ab-48sqrt2` т.к. `(a-b)^2>=0`, равенство достигается только при `a=b`.
    `f_min=96-48sqrt2` при `a=b=sqrt48=4sqrt3`.

    Ответ: `a=b=4sqrt3`.
  • Задача №4-6.
    Решите систему уравнений
    `{(yz=x^2/(1+x^2)),(zx=y^2/(1+y^2)),(xy=z^2/(1+z^2)):}`.

    Решение:
    Пусть одна из неизвестных равна `0`. В силу симметрии системы, без ограничения общности, можем считать, что `x=0`.
    Тогда `y^2=z^2=0 => x=y=z=0`.
    Пусть `xyz!=0` (все неизвестные отличны от `0`).
    Перемножим три уравнения системы:
    `x^2y^2z^2=(x^2y^2z^2)/((1+x^2)(1+y^2)(1+z^2))`,
    `xyz!=0`, можем поделить уравнение на `x^2y^2z^2`:
    `(1+x^2)(1+y^2)(1+z^2)=1`.
    С другой стороны, каждый из сомножителей больше `1`, поскольку `xyz!=0`.
    Следовательно, `(1+x^2)(1+y^2)(1+z^2)>1`. Противоречие.

    Ответ: `(x,y,z)=(0,0,0)`.
  • Задача №2-7.
    Правильный треугольник с единичными сторонами разбит тремя прямыми, параллельными его сторонам, на `4` равных треугольника, и средний треугольник выброшен. Каждый из оставшихся трех треугольников, в свою очередь, разделен тремя прямыми, параллельными его сторонам, на `4` равных части, и его средний треугольник также выброшен, после чего аналогичная операция проделана над каждым из оставшихся треугольников и т.д. Предположим, что операция повторена `12` раз. Сколько правильных треугольников со стороной `1/2^12` осталось?

    Решение:
    После первой операции получим три треугольника, каждый из которых после второй операции даст еще по три треугольника. Следовательно, кол-во треугольников на каждом шаге становится ровно в три раза больше. Получаем геометрическую прогрессию, где `b_1=3` (после первой операции стало три треугольника), `q=3 => b_12=b_1*q^11=3^12=531441`.

    Ответ: `531441`.
  • Задача №4-7.
    Даша, Маша и Саша придумывают в десятичной системе счисления различные пятизначные числа, получающиеся друг из друга перестановкой цифр. Может ли получиться так, что сумма чисел, придуманных Сашей и Машей, будет равняться удвоенному числу, придуманному Дашей?

    Решение:
    Попробуем найти такие числа среди трехзначных:
    `a,b,c` - цифры.
    `bar(abc),bar(acb),bar(bca),bar(bac),bar(cab),bar(cba)` - перестановки.
    Пусть `bar(abc)+bar(bac)=2bar(acb)`,
    `100a+100b+10b+10a+c+c=200a+20c+2b`,
    `90a+18c=108b`,
    `90(a-b)=18(b-c)`,
    `5(a-b)=b-c`,
    `a-b=1, b-c=5, a-c=6`,
    `a=6, c=0, b=5`.
    `650+560=2*605`.
    Из найденной тройки чисел легко получить искомые пятизначные числа.
    `(65011+56011)/2=60511`.

    Ответ: да.
  • Задача №2-8.
    Отрезок единичной длины разбивается на `3` равных части, и средняя часть выбрасывается. Каждый из двух оставшихся отрезков, в свою очередь, разделяется на `3` равные части, и его средняя часть также выбрасывается, после чего аналогичная операция проделывается над каждым из оставшихся отрезков и т.д. Предположим, что операция повторена `16` раз. Сколько отрезков длины `1/3^16` осталось?

    Решение:
    После каждой операции общее количество отрезков удваивается, получаем геометрическую прогрессию.
    После первой операции получаем два отрезка, поэтому `b_1=2`.
    `q=2 => b_16=b_1*q^15=2^16=65536`.

    Ответ: `65536`.
  • Задача №2-9.
    Единичный куб разбит плоскостями, параллельными его сторонам, на `27` равных кубиков, и центральный кубик выброшен. Каждый из оставшихся `26` кубиков, в свою очередь, разделен плоскостями, параллельными его сторонам, на `27` равных частей, и его центральная часть также выброшена, после чего аналогичная операция проделана над каждым из оставшихся кубиков и т.д. Предположим, что операция повторена `9` раз. Сколько кубиков со стороной `1/3^9` осталось?

    Решение:
    Пусть `f(n)` - количество кубиков со стороной `1/3^n` после `n` операций.
    Понятно, что `f(1)=26, f(2)=26*f(1)=26^2` и т.д.
    Тогда `f(9)=26^8*f(1)=26^9`.

    Ответ: `26^9`.
  • Задача №4-8.
    Маша и Петя выписывают на доске различные положительные вещественные числа. За время большой перемены они выписали `2013` таких чисел. Оказалось, что для любого числа `a > 0` количество чисел на доске, меньших `13/a`, и количество чисел, больших `a`, имеют одинаковую четность. Чему может быть равно произведение всех чисел?

    Решение:
    `0<a_1<a_2<...<a_2013` - наши числа.
    Два числа одинаковой четности тогда и только тогда, когда их сумма четна.
    Пусть `a>=sqrt13 => 13/a<=a`.
    Если `a=sqrt13 => 13/a=a=sqrt13`.
    По условию, среди `2013` чисел четное количество находится вне точки `sqrt13`, следовательно одно из чисел совпадает с `sqrt13`. Пусть `a_i=sqrt13`.
    Рассмотрим числа `a_(i-1)<sqrt13<a_(i+1)`.
    Если `a=13/(a_(i-1)) =>` вне отрезка `[a_(i-1);13/(a_(i-1))]` находится четное кол-во наших чисел.
    Следовательно, `a_(i+1)<=13/(a_(i-1)) => a_(i+1)*a_(i-1)<=13`.
    Если `a=a_(i+1) =>` вне отрезка `[13/(a_(i+1));a_(i+1)]` находится четное кол-во наших чисел.
    Следовательно, `a_(i-1)>=13/(a_(i+1)) => a_(i+1)*a_(i-1)>=13`.

    Итак, получили, что `a_(i-1)*a_(i+1)=13`, или `a_(i-1)=13/(a_(i+1))`. Это верно для любого произведения вида `a_(i-k)*a_(i+k)`.
    Очевидно, что `i=1007`. При таких `a_k` выполняется условие задачи.
    При `a<sqrt13` условие выполняется, поскольку какое то подмножество чисел считается дважды (в каждом множестве) и на одинаковую четность в каждом множестве это не влияет.
    `a_1*a_2*...*a_2013=sqrt13*13^1006=13^(2013/2)`.

    Ответ: `13^(2013/2)`.
  • Задача №4-9.
    На клетчатом листе обведен прямоугольник размером `7*8=56` клеточек, а также проведена прямая. Эта прямая пересекает ровно `k` клеток прямоугольника (возможно по одной точке, то есть по вершине клетки) Чему может быть равно число `k`?

    Решение:
    Будем считать, что прямая пересекает хотя бы одну клетку прямоугольника, т.е. `k>=1`.
    В нашем прямоугольнике `8` строк и `7` столбцов.
    Будем рассматривать прямые, угол наклона которых не меньше `45` градусов по отношению к столбцам.
    В каждой строке прямая может пересечь `0`,`1` или `2` клетки. Если прямая проходит по внутреннему узлу клеток, тогда она пересекает по `2` клетки в верхней и нижней строке узла.
    Диагональ проходит по узлам прямоугольника `(a,b)`, если `a,b` имеют общий делитель, причем `НОД(a,b)+1=`числу всех (внутренние, узлы на стороне, угловые узлы) узлов.
    `7` и `8` взаимно простые, поэтому диагональ пересекает `7+8-1=14` клеток.
    Внутренний узел дает `+2` клетки, узел на стороне `+1` клетку, угловой узел не дает прибавку. Имеется ввиду прибавка к кол-ву строк, которые пересекает прямая.
    Выделим квадрат `7*7`, проведем диагональ. Всего `6` внутренних узлов, `1` узел на стороне и `1` угловой. Всего пересеченных клеток `7+6*2+1=20`.
    Кол-во пересеченных клеток есть функция `f=a+b-НОД(a,b)+2c+d`, где `a` - кол-во строк, которые пересекает прямая, `b` - кол-во столбцов, `c` - кол-во внутренних узлов и `d` - кол-во узлов на стороне.
    Очевидно, что `f<=20`.
    Диагональ пройдет через внутренние узлы, если стороны прямоугольника не взаимно-простые.
    Если `a=8, b=4 => c=3, d=1` (случай диагонали прямоугольника `4*8`) `=> f=8+6+1=15`.
    Легко получить любое значение `1<=k<=8` регулируя прямую по одному из столбцов.
    `k=9` можно получить прямой, которая переходит на второй столбец только в одной строке.
    `k=10` можно получить во внутреннем прямоугольнике `2*8`, где прямая проходит ровно через `1` внутренний узел, но не проходит через узел на стороне.
    `k=11,12,13` также легко получаются.
    Остались значения `k=16,17,18,19`.
    Диагональ внутреннего прямоугольника `6*6 => f=6+6-6+5*2+2*1=18`.
    `k=16` можно получить рассматривая диагональ внутреннего прямоугольника `4*8` (слева и справа остается по `1` и `2` столбца соотв.). `f=8+4-4+3*2+2*1=16`.
    Мы перебрали все случаи прохождения прямой через `2` внутренних узла или больше, поэтому для всех остальных прямых `f<=15`, т.е. значения `f=17, 19` недостижимы.

    Ответ: `1<=k<=20, k!=17,19`.
  • Задача №3-1.
    Дан вписанный четырехугольник `ABCD`. На продолжении стороны `CD` за точку `D` отмечена такая точка `H`, что `AB = AH` и угол `HAC` равен углу `BDC`. Отрезки `AC` и `BH` пересекаются в точке `X`. Найдите угол `BXC`.

    Решение:
    image
    Пусть `/_BDC=/_HAC=a`.
    `/_BAC` и `/_BDC` опираются на одну дугу `BC`, поэтому углы равны.
    `/_BAC=/_BDC=a`.
    По условию отрезки `AC` и `BH` пересекаются, поэтому `/_BAH < 180^0`.
    Рассмотрим треугольник `BAH`: `AB=AH`, треугольник равнобедренный.
    `/_BAX=/_HAX=a => AX` - биссектриса треугольника. В равнобедренном треугольнике биссектриса совпадает с медианой и высотой, поэтому `AX` - высота.
    Следовательно, `/_BXC=90^0`.

    Ответ: `90^0`.
  • Задача №3-2.
    Пусть `K, L, M `и `N` – центры квадратов, построенных (вовне) на сторонах параллелограмма. Доказать, что четырехугольник `KLMN` – квадрат.

    Решение:
    image
    Пусть стороны параллелограмма равны `a,b`. Высоты проведенные к этим сторонам равны соотв. `c,d`. Тогда `ac=bd=S_(параллелограмма)`.
    В силу симметрии очевидно, что `KL=MN` и `LM=KN`.
    Противоположенные стороны `KLMN` равны, равенство противоположенных углов легко получить из равенства треугольников по трем сторонам `=> KLMN` - параллелограмм.
    Вычислим длину отрезка `LN`. Для этого опустим перпендикуляр к стороне `b` параллелограмма `LA`, так, чтобы `NA` был параллелен этой же стороне `b`.
    Легко заметить, что `LA=b/2+d+b/2=b+d`.
    `L` и `N` являются центрами квадратов, построенных на параллельных сторонах параллелограмма, поэтому `NA` равно "смещению" параллелограмма (следует из рисунка), т.е. `NA^2=a^2-d^2`.
    Тогда `LN^2=LA^2+NA^2=(b+d)^2+a^2-d^2=a^2+b^2+2bd`.
    Аналогично, `KM^2=a^2+b^2+2ac`.
    Но `ac=bd => LN=KM`.
    У параллелограмма диагонали равны тогда и только тогда, когда он является квадратом.

    Ответ: доказано.

    Другое решение:
    Пусть `ABCD` - параллелограмм, и пусть `L` - центр квадрата, построенного на стороне `BC`. Рассмотрим поворот на угол `90` градусов вокруг точки `L`, при котором `B` переходит в `C`.
    Квадраты, построенные на `AB` и `CD`, обозначим через `AB B′A′` и `CD D′C′` соответственно. Отрезок `B B′` при повороте перейдёт в перпендикулярный отрезок той же длины с началом `C`. Этим свойством обладает отрезок `CD`. При этом надо обосновать, что получится именно такой отрезок, а не отрезок, лежащий на луче противоположного направления. Использовать при этом надо то, что квадраты построены во внешнюю сторону. Действительно, если вершины параллелограмма перечислены по часовой стрелке, то поворот осуществляется против часовой стрелки. Луч `B B′` при этом перейдёт в луч, сонаправленный `BA`, а потому и `CD`.

    Итак, отрезок `B B′` перешёл в `CD`, а `BA` отобразился на `C C′`. Тем самым, квадрат, построенный на стороне `AB`, перешёл в квадрат, построенный на `CD`, и это же верно для их центров `K` и `M`. Отсюда следует, что `LK=LM` и `/_KLM` - прямой угол. Ввиду того, что сторону параллелограмма мы выбирали произвольно, этого достаточно для доказательства.

    Ответ:
    доказано.

Рассылка решений заочных туров олимпиад по математике