ОММО 2019
Условия и ответы ОММО (все варианты).
info@olympiads.biz - почта для подключения следующих олимпиад.

Отборочный этап олимпиады школьников СПбГУ по математике 2014-2015 / Задания и решения
  • Задача №2-18.
    Сколько существует нечетных `2014`-значных чисел, каждая цифра десятичной записи которых равна одной из цифр `1`, `2` или `0`?

    Решение:
    Число нечетное, поэтому последняя цифра может принимать только одно значение (`1`).
    Первая цифра не может равняться `0`, поэтому остается два значения (`1,2`).
    Все остальные цифры (`2012` цифр) могут принимать любое из трех значений.
    Всего чисел будет `2*3^2012*1`.

    Ответ: `2*3^2012`.
  • Задача №3-14.
    Биссектриса `BK` треугольника `ABC` пересекает его описанную окружность в точке `M` (отличной от `B`) Описанная окружность треугольника `AKM` пересекает продолжение стороны `AB` за точку `A` в точке `N`. Докажите, что `NC` и `BM` перпендикулярны.

    Решение:
    image
    Пусть `/_BCM=a, /_ABM=/_MBC=b`.
    Четырехугольники `ABCM, AKMN` вписанные, значит суммы противоположенных углов равны `180^0`.
    `/_BAM=180^0-a => /_NAM=a`.
    `/_BMC=180^0-a-b => /_BAC=180^0-a-b` (опираются на одну дугу).
    `/_AKB=a => /_AKM=180^0-a => /_ANM=a`.
    Треугольник `ANM` равнобедренный, `AM=NM`.
    `/_ACB=a-b => /_ACM=b`.
    `/_BAM=180^0-a, /_BAC=180^0-a-b => /_CAM=b`.
    Получили, что `AMC` равнобедренный `=> MC=AM`.
    Ранее нашли, что `AM=NM => MC=NM`.
    Треугольник `MNC` равнобедренный.
    Но углы `/_NMK=180^0-a-b=/_CMK`, следовательно `MK` биссектриса треугольника `MNC`, а в силу равнобедренности является и высотой, т.е. `NC _|_ BM` ч.т.д.

    Ответ: доказано.
  • Задача №2-19.
    Прошедшим летом `200` выпускников города `N`-ска подавали документы в `5` разных вузов нашей страны. Как оказалось, в каждом из вузов ровно половина из поступающих при выборе специальностей консультировалась с любимой троюродной бабушкой. После приемной кампании Совет пенсионеров решил привлечь к общественной работе среди молодежи бабушек тех выпускников, которые консультировались с ними по поступлению хотя бы в три вуза. У какого наибольшего количества выпускников города `N`-ска любимые троюродные бабушки теперь могут быть привлечены к общественной работе?

    Решение:
    Будем считать, что все выпускники подавали заявления по все вузы.
    "Хороший внук" - выпускник, который консультировался с любимой троюродной бабушкой по поступлению в минимум три вуза. Пусть `n` - количество "хороших внуков".
    В каждый вуз подали `200` документов, по каждому вузу получилось `100` консультаций.
    Пусть `a` - кол-во абитуриентов, которые сделали `5` консультаций, `b` - кол-во абитуриентов, которые сделали `4` консультации, `c` - `3` консультации, `d` - 2 консультации, `e` - `1` консультацию, `f` - `0` консультаций.
    Тогда `a+b+c+d+e+f=200`,
    `5a+4b+3c+2d+e=500`.
    `n=a+b+c`.
    `2a+b+3n+2d+e=500 => 3n<=500 => n<=166` (округлили до меньшего целого числа).
    `n=166` подходит:
    `a+b+c=166, d+e+f=34, 5a+4b+3c+2d+e=500`,
    `2a+b+2d+e=2`.
    `d=0, e=2, f=32, c=166, a=b=0`.

    Ответ: `166`.
  • Задача №3-15.
    Во вписанном четырехугольнике `KLMN` стороны `LM` и `MN` равны. Окружность `Z` с центром `M` касается отрезка `LN`. Точка `O` – центр вписанной окружности треугольника `KLN`. Докажите, что прямая, проходящая через `O` параллельно `KL`, касается `Z`.

    Решение:
    image
    Проведем прямую, которая параллельна `KL` и касается окружности `K`, и докажем, что биссектриса из угла `K` и биссектриса из угла `L` пересекаются на данной прямой.
    Пусть `/_LKN=2a`. Докажем, что `KM` - биссектриса угла `K`. Из треугольника `KLM`: `LM=2Rsin/_LKM`. Из треугольника `KMN`: `MN=2Rsin/_MKN`.
    Но `LM=MN => /_LKM=/_MKN=a`.

    `KLMN` вписанный, поэтому `/_LMN=180^0-2a`.
    `MH_|_LN, LM=MN => MH` является биссектрисой угла `/_LMN`.
    `/_LMH=/_NMH=90^0-a`.
    Тогда `/_MLH=/_MNH=a`.
    `/_FGM=/_LKM=a` (из-за параллельности) `=> /_FMG=90^0-a`.

    Рассмотрим треугольники `LMH` и `FMG`. Они подобны по углам, и также у них есть одинаковый катет (`FM=MH`) напротив одинакового угла `a`. Значит, треугольники равны `=> LM=GM`.
    Треугольник `LMG` равнобедренный, углы при основании равны `=> /_HLG=/_FGL=b`.
    Тогда `/_KGL=180^0-b-a =>`
    `=>/_KLG=180^0-a-(180^0-b-a)=b=/_HLG`.
    Получили, что точка `G` совпадает с точкой `O` (центром вписанной окружности), поскольку является пересечением двух биссектрис.

    Ответ: доказано.

    Другое решение:
    Пускай `P` - точка касания окружности `K` и `LN`, `Q` - такая точка на прямой, проходящей через `O` параллельно `KL`, что `/_OQM=90^0`.
    Если мы докажем, что `QM=PM`, то отсюда будет следовать, что `Q` - точка касания с окружностью `Z`.

    Согласно теоремы трилистника `OM=LM`, поэтому `QM=OMsin(alpha/2)=LMsin(alpha/2)=PM`.
    Теорема трилистника: Если продолжение биссектрисы угла `B` пересекает описанную окружность `Delta ABC` в точке `D`, то выполняется равенство: `DK=DC=DI=DJ`, где `J` — центр вневписанной окружности, касающейся стороны `AC`.

    Доказать равенство `OM=LM` можно и так:
    `/_OLM=(/_KLN+alpha)/2=/_LOM`.

    Ответ: доказано.
  • Задача №1.
    В таблице `3`х`6` расставили все числа от `1` до `18` по одному разу так, что сумма чисел в любом столбике из трех клеток делится на `3`. Потом некоторые из них стерли и заменили на числа `x, y, z`:
    image
    Какое из утверждений верно?
            
    `x=16, y=6`
            
    `x=7, z=5`
            
    `z=17, y=3`
            
    `x=3, y=7`
            
    ни один из вариантов не верен

    Решение:
    В условии сказано, что каждое число использовано ровно ОДИН раз, поэтому выкидываем варианты, в которых есть числа, которые дублируют числа в таблице.
    Первый вариант не годится, т.к. число `6` уже есть в таблице.
    Второй вариант не годится, т.к. число `5` уже есть в таблице.
    Третий и четвертый вариант подходят, теперь надо быть внимательнее.
    Третий вариант: `z=17, y=3`. Значение `x` нам не дали, но его его легко найти, `x=7`, поскольку это единственное число, которого нет в таблице (в таблице должны быть все число от 1 до 18). Значение третьей переменной надо найти ОБЯЗАТЕЛЬНО.
    Проверяем суммы столбцов, в которых наши найденные `x,y,z`: `27,18,36` - все делятся на `3`.
    Четвертый вариант: `x=3,y=7 => z=17` (аналогично третьему варианту).
    Суммы столбцов: `23,22,36` - не подходит.

    На всякий случай проверим суммы в остальных столбцах: `33,24,33` - все делятся на `3`.
    Подходит третий вариант, т.е. `z=17,y=3`.

    Ответ: `z=17,y=3`.

Рассылка решений заочных туров олимпиад по математике