Рассылка решений заочных туров олимпиад по математике

Подписывайтесь на нашу рассылку решений заочных туров всех олимпиад по математике: Ломоносов, Покори Воробьевы горы, Высшая проба, Физтех 2018 и другие перечневые олимпиады.

Олимпиада МИФИ Росатом по математике 2014-2015 / Задания и решения отборочного этапа


  • Сезон олимпиад 2016-2017 открыт!
    Идет запись на наши курсы подготовки к олимпиадам по математике с гарантированным результатом.
    image
    1. Индивидуальные занятия и консультации.
    2. Помощь в прохождении заочных туров олимпиад. Одна олимпиада 1-5 тыс. руб.
    3. Помощь эксперта на очных турах олимпиад. Одна олимпиада от 30 тыс. руб.
    4. Гарантия успешного результата (курсы ведутся пятый сезон).

    Стоимость курсов от 3000 до 25000 руб. в месяц. Стандартный курс - 10000 руб. в месяц. Длительность курсов - 6 месяцев.
    В составе стандартного курса заочные туры 10 олимпиад и очные туры 2 олимпиад.
    Посмотреть тарифные планы и подробную информацию по курсам подготовки.



    Олимпиада Росатом 2015-2016 - задания и решения отборочного этапа по математике.
    Задания и решения всех задач заочного тура олимпиады "Росатом" МИФИ по математике 2014-2015.
  • Задача №3-1.
    image
    При каких значениях `a` уравнение `x^2+6x+5^(x-1)+5^(3-x)=1+2a(x+3)-a^2` имеет решение?
    Решение:
    `x^2+2x(3-a)+a^2-6a+5^(x-1)+5^(3-x)=1`,
    `(x+3-a)^2+5(5^(x-2)+5^(2-x))=10`,
    `(x+3-a)^2+5(5^(x-2)-2+5^(2-x))=0`,
    `(x+3-a)^2+5(5^(1/2x-1)-5^(1-1/2x))^2=0`.
    Уравнение имеет решение `iff` оба квадрата равны `0`.
    `{(x=a-3),(5^(1/2x-1)=5^(1-1/2x)):}`
    `1/2x-1=1-1/2x iff x=2 => a-3=2 iff a=5`.

    Ответ: `5`.
  • Задача №3-2.
    image

    Решение:
    image
    `MQC_1RN`− искомое сечение. Объем нижней части `V=V_(C_1KCL)−V_(QKBM)−V_(RNDL)=`
    `=16(37,5⋅50⋅30−7,5⋅10⋅6−15⋅20⋅12)=8700` (см3).
    Масса съеденного сыра `m=8700⋅0,8=6960` (г).

    Ответ: `6960`.
  • Задача №3-4.
    image

    Решение:
    Числа `x,y,z` являются последовательными членами геометрической прогрессии `iff xz=y^2`.
    Числа `xy,yz,xz` являются последовательными членами арифметической прогрессии `iff xy+xz=2yz`.
    `|MN|^2=(x-1)^2+(y-1)^2+(z-1)^2=f`.
    Надо найти `f_min` при `{(xz=y^2),(xy+xz=2yz):}`.
    Понятно, что `xyz!=0` т.к. в геом. прогрессии не может быть нулей.
    `xz=y^2 => xy+y^2=2yz` - поделим на `y!=0`:
    `x+y=2z`.
    `x=y^2/z => y^2/z+y=2z => y^2+yz-2z^2=0`,
    `(y-z)(y+2z)=0`.
    `y=z => x=z`, но геометрическая прогрессия не может состоять из одинаковых чисел.
    `y=-2z => x=4z` - нашли все решения системы.
    Тогда `f=(4z-1)^2+(2z+1)^2+(z-1)^2=21z^2-6z+3`,
    `z_min=6/42=1/7`, но по условию `z>=1` - на этом луче `f` возрастает, т.е. `f_min=f(1)=18`.

    Ответ: `18`.
  • Задача №3-5.
    image

    Решение:
    Пусть кратчайший путь имеет вид `PCDB`, где `C` - точка переправы, расположенная на расстоянии `x` правее проекции точки `P` (символика должна быть понятна). Переправа, если считать её совершающейся в стоячей воде, занимает `(0,5)/2=1/4` часа. За это время береговая точка смещается влево относительно лодки на расстояние `0,25` км, то есть мы попадаем в точку `D`, абсцисса которой на `1/4` больше `x`, и тогда до точки `B` по горизонтали остаётся `3−x`. Общее расстояние, которое при таком плане передвижений приходится пройти пешком, равно `sqrt(x^2+3^2)+sqrt((x-3)^2+1^2)`. Минимум этой функции проще находить не при помощи производной, а при помощи геометрии. Проще говоря, мы можем представить ситуацию, что река пересохла, а противоположный берег "пристыковался" так, что точки `C` и `D` "склеились". Тогда мы должны пройти `3` км по горизонтали и `4` км по вертикали. Минимум достигается при движении по прямой и составляет `5` км. На это уходит `5/4=1,25` часа. Вместе со временем, затраченным на переправу, общий путь займёт полтора часа.

    Ответ: `1.5`.
  • Задача №3-6.
    image
    Найти последние две цифры числа `14^(14^14)`.
    Решение:
    Иначе говоря, надо найти остаток числа `14^(14^14)` при делении на `100`.
    Пусть `n=14^(14^14)`.
    `14^4-=16` `mod` `100`,
    `16-=16` `mod` `100, 16^6-=16` `mod` `100 => 16^(5k+1)-=16` `mod` `100`.
    `16^(5k+4)-=16^4-=36` `mod` `100`.
    `n=(14^4)^(49*14^12)-=16^(49*14^12)` `mod` `100`,
    `49*14^12=(50-1)*(15-1)^12 -= -1*1` `mod` `5`,
    `49*14^12=5k+4 => n-=36` `mod` `100`.

    Ответ: `36`.
  • Задача №3-7.
    image
    Найти число двоек в разложении на множители числа `2011*2012*2013*...*4020`.
    Решение:
    `n=2011*2012*...*4020=(4020!)/(2010!)`.
    Степень двойки факториала `k!` выражается формулой:
    `f(2,k)=[k/2]+[k/2^2]+[k/2^3]+...` .
    Тогда `f(2,2k)=[k]+[k/2]+[k/2^2]+...=k+f(2,k)`,
    `f(2,2k)-f(2,k)=k`.
    Степень двойки `n` равна `f(2,4020)-f(2,2010)=2010`.

    Ответ: `2010`.
  • Задача №3-8.
    image
    При каких `a` уравнение `|x|=ax-2` не имеет решения? Длину промежутка значений параметра `a` введите в предложенное поле.
    Решение:
    График функции `y=|x|` состоит из двух лучей: `y=-x` при `x<=0` и `y=x` при `x>=0`.
    График функции `y=ax-2` зависит от `a`.
    `y(0)=-2`, т.е. прямая проходит через точку `(0;-2)` (под двумя лучами), при любых `a`.
    `a=1` - прямая параллельна лучу `y=x`.
    `a=-1` - прямая параллельна лучу `y=-x`.
    Если `a in [-1;1]`, то графики функций `y=|x|` и `y=ax-2` не пересекутся. При любых других значениях `a` будет ровно одна точка пересечения.
    Длина найденного отрезка равна `2`.

    Ответ: `2`.
  • Задача №3-9.
    image

    Решение:
    График функции `y=|x-3|` состоит из двух лучей: `y=3-x` при `x<=3`, `y=x-3` при `x>=3`.
    График функции `y=ax-1` зависит от `a`.
    `y(0)=-1`, поэтому график `y=ax-1` всегда проходит через точку `(0;-1)`.
    `a=1` - прямая параллельна одному из лучей и пересекает другой луч.
    `a=-1` - прямая параллельна другому лучу и НЕ пересекает первый луч.
    Понятно, что при `a in [-1;0]` решений нет, при `a in (-oo;-1)` одно решение.
    При `a=1/3` прямая проходит через вершину двух лучей.
    При `a in (1/3;1)` два решения, при `a in {1/3}uu[1;+oo)` одно решение, при `a in (0;1/3)` нет решений.
    Середина найденного интервала точка `a=2/3~0.667`.

    Ответ: `0.667`.
  • Задача №3-10.
    image

    Решение:
    График функции `y=|x-2|` состоит из двух лучей: `y=2-x` при `x<=2`, `y=x-2` при `x>=2`.
    График функции `y=ax-2` зависит от `a`, но всегда проходит через точку `(0;-2)`.
    Если `a=1`, то прямая проходит по лучу `y=x-2`, т.е. получаем бесконечно много решений.
    При `a in [0;1)` решений нет.
    При отрицательных значениях `a` получаем `0` или `1` решение.

    Ответ: `1`.
  • Задача №3-11.
    image

    Решение:
    График функции `y=|x-1|` состоит из двух лучей: `y=1-x` при `x<=1, y=x-1` при `x>=1`.
    График функции `y=ax-3` зависит от `a`, но всегда проходит через точку `(0;-3)`.
    Если `a=1`, то прямая пройдет параллельно правому лучу и не пересечет правый луч.
    Если `a in [0;1)` решений снова не будет.
    При `a in [-1;0)` аналогично нет решений.
    При остальных значениях `a` получим одно решение.
    Итак, при `a in [-1;1]` решений нет. Середина найденного промежутка равна `0`.

    Ответ: `0`.

Рассылка решений заочных туров олимпиад по математике