ОММО 2019
Условия и ответы ОММО (все варианты).
info@olympiads.biz - почта для подключения следующих олимпиад.

Олимпиада МИФИ Росатом по математике 2014-2015 / Задания и решения отборочного этапа
  • Задача №3-12.
    image

    Решение:
    `(x-1)^2(x+2)<=0`.
    `x=1`: `0<=0` - верно, поэтому `x=1` является решением нер-ва.
    Пусть `x!=1`, тогда `(x-1)^2>0`, можем поделить нер-во на этот квадрат:
    `x+2<=0 iff x<=-2`.
    `x in (-oo;-2]uu{1}` - все решения неравенства.
    `y=sqrt2-|x|`.
    Надо найти `y_max` при `x in (-oo;-2]uu{1}`.
    Понятно, что `y_max=y(1)=sqrt2-1 ~ 0.414`.

    Ответ: `0.414`.
  • Задача №3-13.
    image

    Решение:
    `R=a/(2sinalpha) => a=R*2sinalpha=1`.
    `S_(ABC)=1/2bc*sinalpha=1/4bc -> max`.
    По теореме косинусов:
    `a^2=b^2+c^2-2bc*cosalpha`,
    `b^2+c^2-sqrt3bc=1`,
    `(b-c)^2+bc(2-sqrt3)=1`,
    `bc(2-sqrt3)=1-(b-c)^2<=1`,
    `bc<=1/(2-sqrt3) => S_max=1/(8-4sqrt3)`.
    `S_max ~ 0.933`.

    Ответ: `0.933`.
  • Задача №3-14.
    image

    Решение:
    image
    `AM=MC, AMC` - равнобедренный треугольник, поэтому окружность делит основание AC пополам.
    `AC=2x => x=sqrt8/2=sqrt2`.
    `CP=x=sqrt2`.
    Аналогично, `BMC` - равнобедренный треугольник.
    `BC=2y => y=7/2`.
    `MB=y+MQ => MQ=MB-7/2`.

    `PQ=CM-CP-MQ=CM-sqrt2-MB+7/2=7/2-sqrt2`.
    `PQ ~ 2.086`.

    Ответ: `2.086`.
  • Задача №3-15.
    image

    Решение:
    `D=9m^2+12m+4-4m^2=5m^2+12m+4>=0`,
    `m in (-oo;-2]uu[-2/5;+oo)`.
    `x^2=(3m+2-sqrtD)/2, x^2=(3m+2+sqrtD)/2`.
    Чтобы получить `4` действительных корня, меньший квадрат должен быть положителен:
    `3m+2>sqrtD => m>=-2/3`,
    `9m^2+12m+4>5m^2+12m+4`,
    `m!=0 => m in [1;+oo)` - возможные значения `m`.
    При таких значениях `m` получим два отрицательных и два положительных корня.
    `-sqrt((3m+2+sqrtD)/2), -sqrt((3m+2-sqrtD)/2)`,
    `sqrt((3m+2-sqrtD)/2), sqrt((3m+2+sqrtD)/2)` - расставили в порядке возрастания.
    `a_2-a_1=a_3-a_3`:
    `-sqrt((3m+2-sqrtD)/2)+sqrt((3m+2+sqrtD)/2)=`
    `=sqrt((3m+2-sqrtD)/2)+sqrt((3m+2-sqrtD)/2)`,
    `sqrt((3m+2+sqrtD)/2)=3sqrt((3m+2-sqrtD)/2)`,
    `3m+2+sqrtD=9(3m+2-sqrtD)`,
    `10sqrtD=8(3m+2)`,
    `25D=16(3m+2)^2`,
    `25(5m^2+12m+4)=16(9m^2+12m+4)`,
    `125m^2+300m+100=144m^2+192m+64`,
    `19m^2-108m-36=0`,
    `m=-6/19, m=6` - подходит только второе значение.
    Проверка: `x^4-20x^2+36=0`,
    `x_(1,2,3,4)=-3sqrt2,-sqrt2,sqrt2,3sqrt2` - все верно.
    Решение можно провести проще, используя теорему Виета.

    Ответ: `6`.
  • Задача №3-16.
    image

    Решение:
    Если `p^2=1`, получаем уравнение `4`-ой степени, которое не может иметь больше `4` корней.
    Значит `p^2=1`, при этом коэффициенты при остальных степенях x слева и справа тоже совпадают, чтобы получить тождество, которое дает бесконечно много решений (соотв. выполняется условие "не менее `5` решений").
    `(px^2+qx+r)^2=p^2x^4+2pqx^3+x^2(q^2+2pr)+2qrx+r^2`.
    `{(p^2=1),(2pq=4),(q^2+2pr=-2),(2qr=-12),(r^2=9):}`
    `qr=-6, p=+-1 => |pqr|=6`.
    Решать систему необходимости нет, но если требуется развернутое решение, то надо все расписать.

    Ответ:
    `6`.
  • Задача №3-17.
    image

    Решение:
    `a_1+a_3=2a_2`,
    `a_1+a_2+a_3=126`,
    `a_1+b_1=85, a_2+b_2=76, a_3+b_3=84`.
    `3a_2=126 iff a_2=42 => b_2=34`.
    `(a_1+a_2+a_3)+(b_1+b_2+b_3)=245`,
    `126+b_2(1/q+1+q)=245`,
    `34(1/q+1+q)=119`,
    `1/q+1+q=7/2 iff q+1/q=5/2 => q=2, 1/2`.
    `q=2 => b_1=17, b_3=68, a_1>a_3` - не подходит под условие возрастания прогрессии.
    `q=1/2 => 2q=1`.

    Ответ:
    `1`.
  • Задача №3-18.
    image

    Решение:
    Нашу сумму обозначит через `S`.
    Без ограничения общности расставим числа в порядке возрастания.
    `x<=y<=z`.
    Пусть `y>=3 => z>=3`.
    Тогда `S<=1+1/3+1/3+1+1+1+1/3=5`, причем последнее слагаемое равно `1/3` только если `x=y=z=3`, тогда `S<5` т.к. `1/x=1/3`, либо если `x=1,y=z=3`, тогда предпоследнее слагаемое равно `1/3 => S<5`. Решений нет.
    `y=2, x=1`:
    `1+1/2+1/z+1+1+1/(2,z)+1/[1,2,z]=5`,
    `1/z+1/(2,z)+1/[1,2,z]=3/2`,
    `z>=5 => 3/2<=1/5+1+1/5` - решений нет.
    `z=4`: `1/4+1/2+1/4=3/2` - решений нет.
    `z=3`: `1/3+1+1/6=3/2` - подходит.
    `z=2`: `1/2+1/2+1/2=3/2` - подходит.
    Получили решения `(1,2,3), (1,2,2)`.
    `y=2,x=2`:
    `1/2+1/2+1/z+1/2+2/(2,z)+1/[2,z]=5`,
    `1/z+2/(2,z)+1/[2,z]=7/2`.
    `z>=3: 7/2<=1/3+2+1/4` - решений нет.
    `z=2: 1/2+1+1/2=7/2` - решений нет.

    `y=1 => x=1`:
    `1+1+1/z+1+1+1+1/[1,z]=5` - решений нет.

    Из базовых троек `(1,2,3), (1,2,2)` получим остальные тройки:
    `(1,3,2), (2,3,1), (2,1,3), (3,1,2), (3,2,1)`,
    `(2,1,2), (2,2,1)`. Всего `9` троек.

    Ответ:
    `9`.
  • Задача №3-19.
    image

    Решение:
    Найдем все целые решения системы:
    `2y=5-x^2`,
    `x+(5-x^2)^2=17`,
    `x^4-10x^2+x=-8`,
    `x(x^3-10x+1)=-8 => x` является делителем числа `8`.
    `x=+-1,+-2,+-4,+-8`.
    `x^2=1 => y=2 => x=1 => xy=2`,
    При любых других значениях `x^2` - четное число `=> 2y=5-x^2` - нечетно. Целых решений нет.

    Ответ: `2`.
  • Задача №3-20.
    image

    Решение:
    `(x-y)^2+y^2-6y=0`,
    `(x-y)^2+(y-3)^2=9`.
    `(x-y)^2<=9 iff |x-y|<=3`,
    Аналогично `|y-3|<=3 => y in [0;6]`.
    `y=0 => x=0, (x,y)=(0,0)`,
    `y=1,5 => (x-1)^2=5` - целых решений нет,
    `y=2,4 => (x-1)^2=8` - решений нет,
    `y=3 => |x-y|=3, (x,y)=(0;3), (6,3)`,
    `y=6 => (x,y)=(6,6)`.
    Получили четырехугольник с вершинами `(0;0), (0;3), (6;3), (6;6)`. Понятно, что площадь четырехугольника равна половине квадрата `6` на `6`, т.е. `S=18`.

    Ответ: `18`.
  • Задача №3-21.
    image

    Решение:
    Для удобства можно сказать, что `x,y in (0;pi/2), x+y in (0;pi/2]`.
    Пусть `x+y=pi/2 => f_max=16*3/2=24` при `x=y=pi/4`.
    Если `x+y<pi/2 => f<f_max`.

    Ответ: `24`.

Рассылка решений заочных туров олимпиад по математике