ОММО 2019
Условия и ответы ОММО (все варианты).
info@olympiads.biz - почта для подключения следующих олимпиад.

Олимпиада МИФИ Росатом по математике 2014-2015 / Задания и решения отборочного этапа
  • Задача №2-6.
    image

    Решение:
    `p=2` - не подходит.
    `p=3 => p+10=13, p+14=17` - подходит.
    `p>3 => p-=1,2` `mod` `3`:
    `p-=1` `mod` `3 => p+14 vdots 3` - нет решений,
    `p-=2` `mod` `3 => p+10 vdots 3` - нет решений.

    Ответ: `3`.
  • Задача №2-7.
    image

    Решение:
    Посчитаем число натуральных чисел, меньших чем `17^3` и делящихся на `17`.
    `17k<17^3 => k<17^2 => k<=17^2-1`.
    Всего таких чисел `288`.
    Всего чисел меньших `17^3`: `17^3-1=4912`.
    Поэтому кол-во искомых чисел равно `4912-288=4624`.

    Ответ: `4624`.
  • Задача №2-8.
    image

    Решение:
    `x=[x]+{x}, [x]=n in ZZ, {x}=a in [0;1)`.
    `(n+a)^3-n=3`,
    `n^3-n+(3n^2a+3na^2+a^3)=3`.
    Если `n>=2` получаем противоречие, левая часть всегда больше `3`.
    `n=1`: `(a+1)^3=4 => a=root(3)4-1, x=root(3)4`.
    `n=0`: `a^3=3 => a=root(3)3>1` - не подходит.
    `n=-1`: `(a-1)^3=2 => a=root(3)2+1>1` - не подходит.
    `a^3=3+n-n^3-3na(n+a)=3-n(n^2-1+3a(n+a))=`
    `=3-n(n^2+3an+9/4a^2+3/4a^2-1)=`
    `=3-n((n+3/2a)^2+3/4a^2-1)`.
    Видим, что выражение в скобках всегда положительно при `n<=-3` т.к. `a in [0;1)`.
    Значит `a^3>3` - решений нет.
    `n=-2`: `(a-2)^3=1 => a=3` - решений нет.

    `x=root(3)4 ~ 1.587`.

    Ответ:
    `1.587`.


  • Задача №2-9.
    image

    Решение:
    Продолжим боковые стороны трапеции, получим треугольник. Сумма углов при основании равна `90^0`, значит третий угол треугольника прямой.
    Медиана треугольника пройдет через середины оснований трапеции.
    Пусть меньшее основание равно `2a`, тогда другое основание равно `2a+10`.
    Медиана прямоугольного треугольника равна половине большего основания, т.е. `a+5`.
    Верхнее основание отсекает другой прямоугольный треугольник, медиана которого равна половине меньшего основания, т.е. `a`.
    Отрезок, соединяющий середины оснований, равен разности двух медиан, т.е. `a+5-a=5`.

    Ответ:
    `5`.
  • Задача №2-10.
    image

    Решение:
    Задача на алгоритм Евклида.
    `НОД(60,450)=30`, поэтому сторона последнего отрезанного квадрата равна `30`.
    `S_(квадрата)=30^2, S_(листа)=60*450`,
    `30^2/(60*450)=1/30 ~ 0.033`.

    Либо можно в лоб: `450=60*7+30` - отрезается `7` квадратов `60` на `60`.
    Остается `30*60` - отрезается квадрат `30` на `30`.

    Ответ: `0.033`.
  • Задача №2-11.
    image

    Решение:
    `НОД(78,396)=6`, поэтому последний квадрат будет вида `6` на `6`.
    `396=78*5+6` - совершили `5` разрезов, получили прямоугольник вида `6` на `78`.
    `78=6*13` - совершили `12` разрезов (последним разрезом получили сразу два квадрата), чтобы получить `13` квадратов.
    Всего разрезов `5+12=17`.

    Ответ: `17`.
  • Задача №2-12.
    image

    Решение:
    Сначала считаем путь до того момента, когда колесо коснётся первого катета.
    Это считается следующим образом: берутся две касательные, идущие под углом `(3pi)/4`, и считается длина катета треугольника с другим катетом `1` и противолежащим углом `(3pi)/8`.
    Это `cot((3pi)/8) = tan(pi/8)`. В итоге первый отрезок равен `2 - tan(pi/8)`.
    Потом прибавляем отрезок, где он катится по катету `(3 - tan(pi/8))`.
    Потом прибавляем дугу окружности, где он перекатывается с одного катета на другой. Угол между ними - `pi/2`, значит, длина дуги будет `pi−pi/2=pi/2`.
    Затем прибавляем отрезок качения по второму катету (тот же, что и по первому), а в конце добавляем отрезок качения до `Q`, т.е. `1 - tan(pi/8)`.
    Итого `9 + pi/2 - 4tan(pi/8) ~ 8.914`.

    Ответ: `8.914`.
  • Задача №2-13.
    image

    Решение:
    Колесо проходит полный путь по прямой `PA` и по катету ямы и вниз и вверх и только в самом низу ямы колесо сразу касается противоположной стороны ямы и начинает подниматься вверх не проехав путь вниз равный радиусу колеса и такой же путь наверх. Наверху колесо также проходит весь путь вверх по катету и путь `ВQ = 4`. Таким образом центр колеса проходит путь равный `3 + (5-2) + (5-2) + 4 = 13`.
    Между моментом, когда радиус перпендикулярен `AB` и моментом, когда он перпендикулярен `AC`, должен происходить момент перекатывания, то есть вращения вокруг `A`.
    будет две дуги по `45` градусов и если их сложить, то получится одна дуга, равная четверти окружности и ее длина будет `L=(2pi*R)/4=pi`. Тогда общий путь центра колеса будет равен `13+pi`.
    `13+pi ~ 16.142`.

    Ответ: `16.142`.
  • Задача №2-14.
    image

    Решение:
    Пусть `MP=PN=x, NQ=QM=y`.
    Тогда из прямоугольных треугольников получаем:
    `BP=sqrt(x^2-9), AP=sqrt(x^2-4)`,
    `CQ=sqrt(y^2-4), DQ=sqrt(y^2-9)`.
    `sqrt(x^2-9)+sqrt(x^2-4)=5`.
    Для `y` уравнение аналогично. Функция в левой части уравнения возрастает на всем ОДЗ, поэтому корень может быть только один `=> x=y`.
    `x^2=13` подходит, а по замечанию выше иных корней не может быть.
    Также легко заметить, что все углы `MPNQ` прямые, следовательно `MPNQ` - квадрат.
    Тогда `S_(MPNQ)=x^2=13`.

    Ответ: `13`.
  • Задача №2-15.
    image

    Решение:
    Пусть `MP=PN=x, NQ=QM=y`.
    Тогда из прямоугольных треугольников получаем:
    `BP=sqrt(x^2-9), AP=sqrt(x^2-25)`,
    `CQ=sqrt(y^2-25), DQ=sqrt(y^2-9)`.
    `sqrt(x^2-9)+sqrt(x^2-25)=8`.
    Для `y` уравнение аналогично. Функция в левой части уравнения возрастает на всем ОДЗ, поэтому корень может быть только один `=> x=y`.
    `x^2=34` подходит, а по замечанию выше иных корней не может быть.
    Также легко заметить, что все углы `MPNQ` прямые, следовательно `MPNQ` - квадрат.
    Тогда `S_(MPNQ)=x^2=34`.

    Ответ: `34`.

Рассылка решений заочных туров олимпиад по математике