ОММО 2019
Условия и ответы ОММО (все варианты).
info@olympiads.biz - почта для подключения следующих олимпиад.

Олимпиада МИФИ Росатом по математике 2014-2015 / Задания и решения отборочного этапа
  • Задача №2-16.
    image

    Решение:
    Сумма модулей равна `0 iff` каждый из модулей равен `0`.
    `{(2sinx-1=0),(2cos2x-1=0):} iff {(sinx=1/2),(cos2x=1/2):}`
    Из первого равенстве следует второе (но не наоборот), значит решением системы является решение первого уравнения.
    `x=(-1)^npi/6+pin, n in ZZ`.
    `x in [0;10pi] => x_max=9pi-pi/6 ~ 27.751`.

    Ответ: `27.751`.
  • Задача №2-17.
    image

    Решение:
    `|2y-|x||=x+2 => x>=-2`,
    `2y-|x|=x+2` ИЛИ `2y-|x|=-x-2`,
    `y=1/2|x|+1/2x+1` ИЛИ `y=1/2|x|-1/2x-1`.
    `x in [-2;0]`: `y=1` ИЛИ `y=-x-1`,
    `x in [0;1]`: `y=x+1` ИЛИ `y=-1`.
    image
    Длина ломаной равна `l=sqrt2+2+2sqrt2+1=3+3sqrt2`,
    `l ~ 7.243`.

    Ответ: `7.243`.
  • Задача №2-18.
    image

    Решение:
    `a+b=2013, a,b in NN`.
    `a=100n+bar(xy)=100n+k`, где `x,y` - цифры, `n` - число.
    Тогда `b=5(n+1)`.
    `100n+k+5n+5=2013`,
    `105n+k=2008 iff 105n=2008-k`,
    `k in [0;99] => 105n in [1909;2008]`,
    `n>=19, n<=19 => n=19`.
    `b=5(n+1)=100 => a=1913`.

    Ответ: `1913`.
  • Задача №2-19.
    image

    Решение:
    `a+b=2014, a,b in NN`.
    `a=100n+bar(xy)=100n+k`, где `x,y` - цифры, `n` - число.
    Тогда `b=3n-6`.
    `100n+k+3n-6=2014`,
    `103n+k=2020 iff 103n=2020-k`,
    `k in [0;99] => 103n in [1921;2020]`,
    `n>=19, n<=19 => n=19`.
    `b=3n-6=51 => a=1963`.

    Ответ: `51`.
  • Задача №2-20.
    image

    Решение:
    Пусть `p=1 => q in (2013;2014)` чего не может быть в силу целостности `q`.
    Значит, `p>=2`.
    Если `p=2 => q in (4026;4028) => q=4027`. Дробь `2/4027` подходит.
    Пусть `p>=3 => q in (2013p;2014p) => q>2013p>=6039`.
    Нашли минимальный натуральный `q=4027`.

    Ответ: `4027`.
  • Задача №2-21.
    image

    Решение:
    `5a-3=nb, 5b-1=ka, n,k,a,b in NN`.
    Тогда `{(a=(n+15)/(25-nk)),(b=(3k+5)/(25-nk)):}`
    Значит `nk<=24`. Осталось перебрать все возможные случаи.
    Если `25-nk vdots 3`, получаем, что `b` не целый, т.к. числитель не делится на `3`.
    Выкидываем случаи `nk=1,4,7,10,13,16,19,22`.
    Если `25-nk vdots 5 => n+15,3k+5 vdots 5 => n,k vdots 5` чего не может быть одновременно при `nk<25`. Выкидываем случаи `nk=5,10,15,20`.
    `nk=2,3 => 25-nk>=22>18>=n+15 => a<1` - целых решений нет.
    `nk=6 => n+15 vdots 19 => n=4` чего не может быть.
    `nk=8 => n+15 vdots 17 => n=2,k=4` - получили одну пару решений.
    `nk=9 => n+15,3k+5 vdots 16 => (n,k)=(1,9)` - еще одна пара.
    `nk=11 => n+15,3k+5 vdots 14 => n+15=28` - нет решений.
    `nk=12 => n+15,3k+5 vdots 13 => n+15=26` - нет решений.
    `nk=14 => n+15,3k+5 vdots 11 => n=7,k=2` - еще одна пара.
    `nk=17 => n+15,3k+5 vdots 8 => n=1,k=17;n=17,k=1` - две пары решений.
    `nk=18 => n+15,3k+5 vdots 6 => n,k` нечетные, чего не может быть одновременно.
    `nk=21 => n+15,3k+5 vdots 4 => (n,k)=(1,21),(21,1)` - две пары.
    `nk=23 => n+15,3k+5 vdots 2 => (n,k)=(1,23),(23,1)` - две пары.
    `nk=24 => (n,k)=(1,24),(2,12),(3,8),(4,6)` и т.д. - `8` пар.

    Легко заметить, что каждая пара `(n,k)` дает ровно одну различную пару `(a,b)`. Поэтому всего различных натуральных пар `(a,b)`: `8+2+2+2+1+1+1=17`.

    Ответ: `17`.
  • Задача №2-22.
    image

    Решение:
    `AB=4, AC=x, v` - скорость по суше, тогда `vsqrt13` - скорость по воде.
    `BC^2=16+x^2-2*4*xcos60^0`,
    `BC=sqrt(x^2-4x+16)`.
    `t_1=x/(vsqrt13), t_2=sqrt(x^2-4x+16)/v`.
    `f(x)=v(t_1+t_2)=x/sqrt13+sqrt(x^2-4x+16)` - понятно, что минимум достигается при `x<2`.
    `f'(x)=1/sqrt13+(x-2)/sqrt(x^2-4x+16)=0`,
    `sqrt13(2-x)=sqrt(x^2-4x+16)`,
    `13(x^2-4x+4)=x^2-4x+16`,
    `12x^2-48x+36=0`,
    `x^2-4x+3=0 => x=1,3 => x_min=1`.

    Ответ: `1`.
  • Задача №2-23.
    image

    Решение:
    Окружность пересекает `40` горизонтальных и `40` вертикальных линий, причем каждую линию дважды. Случай касания с какой-либо линией выкидываем по условию.
    Следовательно окружность разделена данными линиями на `160` частей. Таким образом, окружность может пересекать `160` клеток или меньше. Меньше - это только когда окружность дважды пересекает одну и ту же сторону клетки. Таких особых клеток может быть не более одной. Действительно, если есть такая клетка на "севере" окружности, то рассмотрим клетку, где находится центр окружности. Центр должен находиться примерно над серединой южной стороны и достаточно близко к южной стороне. Поэтому особых клеток на юге, западе и востоке нет.

    Ответ:
    `159`.
  • Задача №2-24.
    image

    Решение:
    Угол `n`-угольника `(n-2)/n*pi=2alpha`. Сторона равна `a`.
    Тогда меньшая диагональ `d_1/(2sinalpha)=a`,
    `d_1=2a*sinalpha`.
    При четном `n` большая диагональ совпадает с диаметром описанной вокруг n-угольника окружности.
    `d_2=2R=a/sin(pi/n)`.
    `d_2-d_1=a`,
    `1/sin(pi/n)-2sinalpha=1`.
    `alpha=pi/2-pi/n => pi/n=pi/2-alpha`,
    `1/cosalpha-2sinalpha=1`,
    `1-sin2alpha=cosalpha`,
    Нужный решений нет - не годится.
    Значит, `n` - нечетно.
    Рассмотрим треугольник составленный из двух больших диаметров и стороны `n`-угольника.
    Угол при вершине треугольника равен `pi/2-alpha`, остальные два угла равны `pi/4+alpha/2`.
    Тогда `d_2=a/sin(pi/2-alpha)*sin(pi/4+alpha/2)`,
    `sin(pi/4+alpha/2)/sin(pi/2-alpha)-2sinalpha=1`,
    `sin(pi/4+alpha/2)-sin2alpha=cosalpha`,
    `alpha=(7pi)/18 => (n-2)/n=7/9 => n=9`.
    Решение можно провести проще, построив правильный `6`-угольник и нужным образом достроив `9`-угольник.

    Ответ: `9`.
  • Задача №2-26.
    image

    Решение:
    `x,y>0,a=y+1/x,b=1/y, c=min(x,a,b), max(c^2)` - ?
    Пусть все числа равны друг другу: `x=1/y=y+1/x`,
    `y+1/x=y+y=2y => 1/y=2y => y^2=1/2 =>`
    `=> y=1/sqrt2, x=sqrt2 => c=sqrt2, c^2=2`.
    Докажем от противного, что `c<sqrt2`.
    Пусть `c>sqrt2 =>` существуют такие `x,y>0`, что `x>sqrt2, 1/y>sqrt2, y+1/x>sqrt2`.
    `x>sqrt2 => 1/x<1/sqrt2`,
    `1/y>sqrt2 => y<1/sqrt2`,
    `sqrt2<y+1/x<1/sqrt2+1/sqrt2=sqrt2` - противоречие.

    Ответ: `2`.

Рассылка решений заочных туров олимпиад по математике