ОММО 2019
Условия и ответы ОММО (все варианты).
info@olympiads.biz - почта для подключения следующих олимпиад.

Олимпиада МИФИ Росатом по математике 2014-2015 / Задания и решения отборочного этапа
  • Задача №2-27.
    image

    Решение:
    Пусть `cosx=t, t in [-1;1]`:
    `cos3x=4cos^3x-3cosx=cosx(4cos^2x-3)`,
    `cosx(a+b(4cos^2x-3))<=0`,
    `t(a+b(4t^2-3))<=0` - выполняется при любых `t in [-1;1]`.
    Пусть `t_0 in (0;1] => a+b(4t_0^2-3)<=0`,
    тогда `(-t_0) in [-1;0) => a+b(4t_0^2-3)>=0`.
    Следовательно, `a+b(4t_0^2-3)=0` при любых `t_0 in (0;1]`.
    Это верно только при `a=b=0`.

    Ответ: `0`.
  • Задача №2-25.
    image

    Решение:
    Понятно, что `x-y>=0 => x=y+z, z in NN`.
    `3y^2z+3yz^2+z^3=2y(y+z)+40`,
    `y^2(3z-2)+yz(3z-2)+z^3=40`,
    `(3z-2)(y^2+yz)+z^3=40`.
    Произведение скобок в левой части уравнения всегда положительно, поэтому `z^3<40 => z=1,2,3`.
    `z=1`: `y^2+y-39=0` - натуральных решений нет.
    `z=2`: `4y^2+8y-32=0`,
    `y^2+2y-8=0 => y=2,x=4 => x+y=6`.
    `z=3`: `7y^2+21y-13=0` - натуральных решений нет.

    Ответ: `6`.
  • Задача №1-1.
    image

    Решение:
    Пусть двойняшкам по `x` лет, тогда `x+3` лет первому ребенку, `x+40` папе и `x+37` маме.
    `2x+x+3+x+40+x+37=200`,
    `5x=120`,
    `x=24`.

    Ответ: `24`.
  • Задача №1-3.
    image

    Решение:
    Заметим, что `O_1O_2O_3O_4` является прямоугольником. Пусть стороны равны `x<y, xy=100`.
    Тогда меньшая диагональ ромба равна `x`.
    Центры треугольников делят высоты в отношении `2:1`, поэтому длинная диагональ ромба поделится на отрезки `y/4,y/2,y/2,y/4`. Длина диагонали равна `3/2y`.
    Тогда, площадь ромба `S=1/2x*3/2y=3/4xy=3/4*100=75`.

    Ответ: `75`.
  • Задача №1-4.
    image

    Решение:
    `2x+3>=1 => x>=-1, 2x+3 in NN => x=y/2, y in ZZ`.
    Если `y` - нечетный `=> 8x-x^2-12` нецелый `=> x in ZZ`.
    `8x-x^2-12>0 iff x^2-8x+12<0 iff x in (2;6) =>`
    `=> x=3,4,5`.
    `x=3`: `НОК(9,3)=3`,
    `x=4`: `НОК(11,4)=44`,
    `x=5`: `НОК(13,3)=39`.
    Выбираем наибольшее число `44`.

    Ответ: `44`.
  • Задача №1-5.
    image

    Решение:
    Даня съел минимум `6` конфет `=>` Костя съел минимум `7` конфет, а оба брата съели минимум `13` конфет, значит Саша съела минимум `14` конфет. Общая сумма съеденных конфет не меньше `27`, а по условию они съели ровно `27` конфет, значит Саша съела `14` конфет.

    Ответ: `14`.
  • Задача №1-6.
    image

    Решение:
    Пусть `x>1 => (|x|-2)(|x+2|-3)<=0`.
    Заметим, что оба модуля раскрываются положительно:
    `(x-2)(x-1)<=0 => x in [1;2] => x in (1;2]`.
    Нашли один целый корень `x=2`. Понятно, что при `x<1` целых корней, больших `2`, не может быть.

    Ответ: 2.
  • Задача №1-7.
    image

    Решение:
    Данные точки являются вершинами тетраэдра. Они не могут лежать все по одну сторону от искомой плоскости, тогда как они лежали бы в одной плоскости, параллельной этой плоскости. Аналогично ни одна из них не лежит в искомой плоскости. Поэтому возможны лишь два случая:
    1) По одну сторону от искомой плоскости лежат три данные точки, по другую — одна. Плоскость походит через середины ребер тетраэдра, исходящих из одной вершины. Расстояния равны половине высоты тетраэдра, исходящей из этой точки.
    2) По одну сторону от плоскости две точки, по другую — также две. Плоскость проходит через середины ребер, исходящих из двух вершин. Расстояния равны половине расстояния между скрещивающимися ребрами, то есть расстоянию между параллельными плоскостями, проходящими через эти ребра.

    Первому условию удовлетворяют четыре плоскости, второму — три; всего имеем семь плоскостей.

    Ответ: `7`.
  • Задача №1-8.
    image

    Решение:

    Пусть `h_a` — высота, опущенная из одной из вершин параллелограмма на сторону `a`, `h_b` — на сторону `b`. Докажем, что объём тела, полученного вращением такого параллелограмма вокруг стороны `a` равен объёму цилиндра с высотой `a` и радиусом основания `h_a`. Если основание высоты `h_a` попадает на сторону `a`, тогда можно разрезать исходное тело по кругу, образованному вращением этой высоты и, переставив части, получить цилиндр с высотой `a` и радиусом основания `h_a`. А значит, объём цилиндра равен объёму исходного тела вращения. Если же основание высоты попадает на продолжение стороны `a`, тогда разрежем исходное тело на две части конусом, получающимся при вращении меньшей из диагоналей параллелограмма. Переставив части, получим фигуру, полученную вращением вокруг стороны `a` параллелограмма, полученного переставлением частей исходного параллелограмма, на которые его делит меньшая диагональ. При этом основание высоты сместится на `a` в сторону стороны `a`. Такими операциями можно добиться того, чтобы высота попала на сторону. Тем самым получили, что объём тела, полученного вращением параллелограмма вокруг стороны `a` равен `pi*ah_a^2`, аналогично вокруг стороны `b` — `pi*h_b^2`. Заметим, что площадь параллелограмма `S = ah_a = bh_b`. А значит, `(V_a)/(V_b)=b/a`.
    В нашем случае получим `6/2=3`.

    Ответ: `3`.
  • Задача №1-9.
    image

    Решение:
    Пусть `a` - сторона основания, `alpha` - плоский угол при вершине.
    `a^2=1+1-2cosalpha=2-2cosalpha`.
    Построим перпендикуляр к плоскости основания:
    `h=sqrt(1-r^2)`, где `r` - радиус окружности, описанной около основания.
    По теореме синусов из основания:
    `a/sin(60^0)=2r => r=a/sqrt3 => h=sqrt(1-a^2/3)`.
    `S_(основание)=sqrt3/4*a^2 => V_(пирамиды)=1/3*sqrt3/4a^2*sqrt(1-a^2/3)`,
    `1/6=1/3*sqrt3/4a^2*sqrt(1-a^2/3)`,
    `2=a^2sqrt(3-a^2) => a^2=2 => cosalpha=0, alpha=pi/2`.

    Ответ: `90`.

Рассылка решений заочных туров олимпиад по математике