ОММО 2019
Условия и ответы ОММО (все варианты).
info@olympiads.biz - почта для подключения следующих олимпиад.

Олимпиада МИФИ Росатом по математике 2014-2015 / Задания и решения отборочного этапа
  • Задача №1-10.
    image
    В классе `24` человека, все они учатся без двоек. Отличников в классе в два раза больше, чем троечников, а число отличников относится к числу хорошистов, как `2:3`. На сколько троечников меньше, чем хорошистов?
    Решение:
    `n` троечников `=> 2n` отличников `=> 3n` хорошистов.
    `n+2n+3n=24 iff 6n=24 iff n=4`.
    `3n-n=2n=8`.

    Ответ: `8`.
  • Задача №1-11.
    image
    В банку собраны `84` мухи. Число мух с зелеными глазами относится к числу мух с черными глазами, как `8:9`. Количество мух с желтыми глазами относится к числу мух с серыми, как `25:9`. Мух с иным цветов глаз в банке нет. На сколько мух с желтыми глазами больше, чем с зелеными?
    Решение:
    `9n` серых мух `=> 8n` зеленых мух `=> 25n` желтых мух.
    `9n+8n+25n=84 iff 42n=84 iff n=2`.
    `25n-8n=17n=34`.

    Ответ: `34`.
  • Задача №1-12.
    image
    Найти наименьшее число `x` на отрезке `[0;pi]`, для которого `sinx, (cos2x)/sqrt2, cosx` являются тремя последовательными членами арифметической прогрессии. Ответ в радианах округлить до трех значащих цифр по правилам округления и записать в предложенное поле.
    Решение:
    `sinx+cosx=2*(cos2x)/sqrt2`,
    `sinx+cosx=sqrt2*cos2x`,
    `sqrt2*sin(x+pi/4)=sqrt2*cos2x`,
    `sin(x+pi/4)=sin(2x+pi/2)`,
    `2sin(x/2+pi/8)*cos(3/2x+3/8pi)=0`,
    `x/2+pi/8=pik, k in ZZ => x=-pi/4+2pik, k in ZZ`.
    `3/2x+3/8pi=pi/2+pin, n in ZZ => x=pi/12+2/3pin, n in ZZ`.
    `x in [0;pi] => x_min = pi/12 ~ 0.262`.

    Ответ: `0.262`.
  • Задача №1-13.
    image
    Найти наибольшее число `x` на отрезке `[pi/2;(3pi)/2]`, для которого `cos2x, (cosx)/sqrt2, sin2x` являются тремя последовательными членами арифметической прогрессии. Ответ в радианах округлить до трех значащих цифр по правилам округления и записать в предложенное поле.
    Решение:
    `cos2x+sin2x=2*(cosx)/sqrt2`,
    `sqrt2*sin(2x+pi/4)=sqrt2*cosx`,
    `sin(2x+pi/4)=sin(x+pi/2)`,
    `2sin(x/2-pi/8)*cos(3/2x+3/8pi)=0`,
    `x/2-pi/8=pik, k in ZZ => x=pi/4+2pik, k in ZZ`.
    `3/2x+3/8pi=pi/2+pin, n in ZZ => x=pi/12+2/3pin, nin ZZ`.
    `x in [pi/2;(3pi)/2] => x_max=pi/12+4/3pi=17/12pi ~~ 4.451`.

    Ответ: `4.451`.
  • Задача №1-14.
    image
    На катетах прямоугольного треугольника `ABC` построены квадраты. Найти квадрат расстояния между центрами этих квадратов, если сумма длина катетов равна `3,5`. Ответ округлить до трех значащих цифр по правилам округления и записать в предложенное поле.
    Решение:
    `a,b` - катеты, `c` - искомое расстояние.
    `a+b=3.5`.
    Очевидно, что расстояние между центрами квадратов проходит через вершину прямого угла треугольника.
    Если достроить прямоугольный треугольник, гипотенузой которого будет искомое расстояние, то катеты прямоугольного треугольника равны `a/2+b/2, a/2+b/2`.
    Тогда `c^2=2(a/2+b/2)^2=2*(7/4)^2=49/8=6.125`.

    Ответ: `6.125`.
  • Задача №1-15.
    image
    Сколько натуральных решений имеет уравнение `НОД(26;x)=2` на отрезке `[1;100]`?
    Решение:
    `НОД(26;x)=2 iff x` делится на `2` и не делится на `13`.
    Четных чисел на отрезке `[1;100]` ровно `50` штук.
    Из них на `13` делятся `26, 52, 78` - три числа. Остается `47` подходящих чисел.

    Ответ: `47`.
  • Задача №1-17.
    image
    Найти наименьшее целое положительное число, которое при делении на `2, 3, 4, 5` и `6` дает остатки `1,2,3,4` и `5` соответственно.
    Решение:
    `n=2a+1=3b+2=4c+3=5d+4=6e+5`, где `a,b,c,d,e, in ZZ^+, n in NN`.
    `2a+1=4c+3 => a=2c+1`.
    `3b+2=6e+5 => b=2e+1`.
    `4c+3=5d+4 => 4c=5d+1`,
    `c=5f+4, d=4f+3`.
    `5d+4=6e+5 => 5d=6e+1`,
    `d=6g+5, e=5g+4`.
    `4f+3=6g+5 => 2f=3g+1`,
    `f=3k+2, g=2k+1`.
    `e=5g+4=10k+9, d=6g+5=12k+11, c=5f+4=15k+14`
    `b=2e+1=20k+19, a=2c+1=30k+29`. Получили все необходимые и достаточные условия на `a,b,c,d,e`.
    Тогда `n=2a+1=60k+59 => n_min=59` при `k=0`.

    Простое решение: `n+1` делится на `2,3,4,5,6 => n+1 vdots 60 => n_min=59`.

    Ответ: `59`.
  • Задача №1-18.
    image
    В какой системе исчисления число `16324` есть точный квадрат числа `125`?
    Решение:
    `n in NN` - основание системы исчисления.
    `16324_n=n^4+6n^3+3n^2+2n+4`,
    `125_n=n^2+2n+5`,
    `n^4+6n^3+3n^2+2n+4=(n^2+2n+5)^2`,
    `n^4+6n^3+3n^2+2n+4=n^4+4n^2+25+4n^3+10n^2+20n`,
    `2n^3-11n^2-18n-21=0`,
    `(n-7)(2n^2+3n+3)=0`,
    `n=7`.

    Ответ: `7`.
  • Задача №1-20.
    image
    В книге некоторое число страниц. Для нумерации всех страниц наборщик использовал `1890` цифр, начиная с `1`. Сколько страниц в книге? 
    Решение:
    Если в книге `999` страниц, то всего используется `9+2*90+3*900=2899` цифр. Значит в нашей книге меньше `999` и больше `100` страниц.
    Если книга имеет `x` страниц, то общее кол-во используемых цифр выражается формулой:
    `189+3(x-99)=1890`,
    `x=666`.

    Ответ: `666`.
  • Задача №1-21.
    image
    Найти обыкновенную несократимую дробь, равную сумме всех дробей вида `a_n=1/(n(n+1))` для натуральных чисел `n in [1;101]`. 
    Решение:
    `a_n=1/n-1/(n+1)`,
    `sum a_n=1-1/2+1/2-1/3+...+1/n-1/(n+1)=1-1/(n+1)=n/(n+1)`
    `n=101 => sum a_n=101/102`.

    Ответ: `102`.

Рассылка решений заочных туров олимпиад по математике