ОММО 2019
Условия и ответы ОММО (все варианты).
info@olympiads.biz - почта для подключения следующих олимпиад.

Олимпиада МИФИ Росатом по математике 2014-2015 / Задания и решения отборочного этапа
  • Задача №1-25.
    image
    Найти наибольшее целое `x`, для которого `4^18+4^507+4^(x-5)` является квадратом целого числа.
    Решение:
    Пусть `x>=23`:
    `y^2=4^18(1+4^489+4^(x-23))`, где `x,y in NN`.
    `y^2=4^18(1+2*2^977+2^(2x-46))`.
    Если `x-23=977 => y^2=4^18(1+2^977)^2` - условие задачи выполнено.
    `x=1000` - подходит.
    Пусть `x>1000 => 1+2*2^977+2^(2x-46)=z^2, z in NN`.
    `z^2=(1+2^(x-23))^2+2^978-2^(x-22)<(1+2^(x-23))^2`,
    тогда `z<1+2^(x-23) => z<=2^(x-23)`:
    `1+2*2^977+2^(2x-46)=z^2<=2^(2x-46)` - противоречие.

    Ответ: `1000`.
  • Задача №1-26.
    image
    Через `S(a)` обозначим наименьшую площадь прямоугольника на плоскости со сторонами, параллельными координатным осям, содержащего точки, координаты `(x;y)` которых удовлетворяют неравенствам `x^2+2x+y+1-2a<=0` и `x^2-2x-y+1-4a^2<=0`. Найти наименьшее значение `S(a)` на отрезке `[2;3]`.
    Решение:
    `y<=-x^2-2x-1+2a => y<=-(x+1)^2+2a, A(-1;2a)` - вершина.
    `y>=(x-1)^2-4a^2, B(1;-4a^2)` - вершина.
    `a in [2;3]`.
    Два неравенства задают область, ограниченную двумя параболами с указанными вершинами.
    Найдем точки пересечения:
    `(x-1)^2+(x+1)^2=4a^2+2a`,
    `2x^2+2=4a^2+2a => x^2=2a^2+a-1`,
    `x_1=-sqrt(2a^2+a-1)< -1` при `a in [2;3]`.
    `x_2=sqrt(2a^2+a-1)>1`.
    Понятно, что прямоугольник пройдет через вершины и точки пересечения парабол.
    Длина горизонтальной стороны равна `x_2-x_1=2sqrt(2a^2+a-1)`.
    Длина вертикальной стороны равна `2a-(-4a^2)=2a+4a^2`.
    `S(a)=4(2a^2+a)sqrt(2a^2+a-1)`.
    Видно, что при `a in [2;3]` функция возрастает.
    `S_min=S(2)=4*10*3=120`.

    Ответ: `120`.
  • Задача №1-27.
    image


    Решение:
    В условии скорее всего пропущено фраза "в записи которой участвуют `k` двоек, равна `y`".
    От `k` задача не зависит:
    `2+x/(1+sqrt(1+x))=2+x(sqrt(1+x)-1)/(1+x-1)=`
    `=2+sqrt(1+x)-1=1+sqrt(1+x)`. И т.д.
    Т.е. в конечном итоге получим
    `x/(1+sqrt(1+x))=y`,
    `sqrt(1+x)-1=y`,
    `1+x=(y+1)^2`,
    `x=y^2+2y` - это и есть ответ.
    Если в условии будут даны конкретные `k,y`, тогда ответ получаем по алгоритму выше.

    Ответ: `y^2+2y` (подставить в выражение свое значение `y`).
  • Задача №1-28.
    image

    Какое наименьшее число выстрелов надо произвести в игре "морской бой" на поле `9`х`9` клетов, чтобы наверняка ранить большой четырех клеточный корабль.
    Решение:
    `9*9=81` клеток.
    Прежде всего, на поле можно нарисовать `20` кораблей, не имеющих общих клеток. Это значит, что как минимум `20` выстрелов необходимо. После этого достаточно построить пример из `20` клеток, стреляя в которые, мы поражаем каждый из кораблей - тогда всё будет доказано.

    Ответ: `20`.

Рассылка решений заочных туров олимпиад по математике