Рассылка решений заочных туров олимпиад по математике

Подписывайтесь на нашу рассылку решений заочных туров всех олимпиад по математике: Ломоносов, Покори Воробьевы горы, Высшая проба, Физтех 2018 и другие перечневые олимпиады.

Отборочный этап олимпиады по математике Паруса Надежды 2014-2015 (МИИТ) / Задания и решения


  • Сезон олимпиад 2016-2017 открыт!
    Идет запись на наши курсы подготовки к олимпиадам по математике с гарантированным результатом.
    image
    1. Индивидуальные занятия и консультации.
    2. Помощь в прохождении заочных туров олимпиад. Одна олимпиада 1-5 тыс. руб.
    3. Помощь эксперта на очных турах олимпиад. Одна олимпиада от 30 тыс. руб.
    4. Гарантия успешного результата (курсы ведутся пятый сезон).

    Стоимость курсов от 3000 до 25000 руб. в месяц. Стандартный курс - 10000 руб. в месяц. Длительность курсов - 6 месяцев.
    В составе стандартного курса заочные туры 10 олимпиад и очные туры 2 олимпиад.
    Посмотреть тарифные планы и подробную информацию по курсам подготовки.


    Отборочный этап олимпиады по математике Паруса Надежды 2014-2015. Задания и решения.
    Межрегиональная транспортная олимпиада школьников «Паруса Надежды» (математика). Проводится МИИТ.
  • Решения идут не по порядку.

    Задание №1.
    Решить неравенство:
    `log_2(log_(1/2)(log_(1/4)((x-1)/x)))>1`.
    В ответе записать наименьшее целое положительное число, являющееся решением неравенства.

    Решение:
    `f(x)=(x-1)/x>0`.
    `log_(1/4)f(x)>0 => f(x)<1`.
    `log_(1/2)(log_(1/4)f(x))>0`,
    `log_(1/4)f(x)<1 => f(x)>1/4`.
    `f(x) in (1/4;1)` - ОДЗ.
    `log_(1/2)(log_(1/4)f(x))>2`,
    `log_(1/4)f(x)<1/4`,
    `f(x)>1/sqrt2`. В пересечении с ОДЗ: `f(x) in (1/sqrt2;1)`.
    `(x-1)/x<1 iff -1/x<0 => x>0`.
    `(x-1)/x>1/sqrt2 iff -1/x>1/sqrt2-1 iff 1/x < 1-1/sqrt2=(sqrt2-1)/sqrt2`.
    Перевернем поменяв знак один раз т.к. `x>0`:
    `x>sqrt2/(sqrt2-1)=2+sqrt2 ~ 3.414`.
    `x=4` - наименьшее целое `x`.

    Ответ: `4`.
  • Задание №5.
    Решить в целых числах уравнение
    `5x^2+6xy+2y^2+2x+2y=4`.
    В ответе записать сумму всех полученных решений `(x,y)`.

    Решение:
    `(x+y)^2+2(x+y)+4x^2+4xy+y^2=4`,
    `(x+y+1)^2+(2x+y)^2=5`,
    `|x+y+1|<=sqrt5 => |x+y+1|<=2`, в силу целостности выражения под модулем.
    `|x+y+1|=0 => |2x+y|=sqrt5` - нет целых решений.
    `|x+y+1|=1 => |2x+y|=2`.
    `|x+y+1|=2 => |2x+y|=1`.
    `{(x+y+1=+-1),(2x+y=+-2):}` - `4` системы.
    `{(x+y+1=+-2),(2x+y=+-1):}` - `4` системы.
    Видно, что каждая система даст целую пару различных решений.
    Решать все системы необходимости нет, поскольку требуется найти сумму всех `(x,y)`, при этом для двух пар `x+y=0`, для двух пар `x+y=-2` и для остальных пар `1,-3`, т.е. сумма равна `-2-2+1+1-3-3=-8`.

    Ответ: `-8`.
  • Задание №6.
    Дано, что `cos^2alpha+cos^2beta=sin(alpha+beta)`, где `alpha,beta` острые углы.
    Найти в градусах сумму `alpha+beta`.

    Решение:
    Решим нестандартно, угадаем ответ и покажем, что других не может быть.
    По условию, `alpha+beta in (0;pi)` т.к. `alpha,beta in (0;pi/2)`.
    Пусть `alpha+beta=pi/2`:
    `sin(alpha+beta)=1=cos^2alpha+sin^2alpha=`
    `=cos^2alpha+sin^2(pi/2-beta)=cos^2alpha+cos^2beta`.
    Равенство выполняется.
    Пусть `alpha+beta in (0;pi/2)`:
    `sin(alpha+beta)<1=cos^2alpha+sin^2alpha=`
    `=cos^2alpha+cos^2(pi/2-alpha)<cos^2alpha+cos^2beta`,
    т.к. `alpha+beta<pi/2`, а косинус убывает в первой четверти.
    Аналогично при `alpha+beta in (pi/2;pi)`.

    Ответ: `90`.
  • Задание №7.
    Найдите максимум выражения `x^3y^2z^3t`, где `x,y,z,t>=0` и `2x^2+xy^2+z^2+4zt=8`.

    Решение:
    Задача решается за один шаг, применением неравенства о среднем арифметическом и среднем геометрическом.
    `8/4=(2x^2+xy^2+z^2+4zt)/4>=root(4)(2x^2*xy^2*z^2*4zt)`,
    `2>=root(4)(8x^3y^2z^3t)`,
    `8x^3y^2z^3t<=16`,
    `x^3y^2z^3t<=2`.

    Максимум достигается `iff 2x^2=xy^2=z^2=4zt`.
    Найдем такие `x,y,z,t>=0`:
    `x=y^2/2, z=4t, z=xsqrt2`.
    Например, подходит четверка `(x,y,z,t)=(2sqrt2;2root(4)2;4;1)`.

    Ответ: `2`.
  • Задание №8.
    Определить какое из чисел больше `31^11` или `17^14`? В ответе написать `1`, если первое число больше; `0`, если они равны, и `2` если второе число больше.

    Решение:
    Такие задачи стандартно решаются введением промежуточной величины, с которой легко сравнить оба данных числа. Числа между собой сравнить намного сложнее. Понятно, что здесь все крутится около степени `2` т.к. `31` и `17` "почти" являются степенями `2`.
    `31^11<32^11=(2^5)^11=2^55`.
    `17^14>16^14=(2^4)^14=2^56>2^55>31^11`.
    Второе число больше.
    Если начать сравнивать числа в лоб, то будет очень длинно и нудно.

    Ответ: `2`.
  • Задание №9.
    В треугольнике две высоты не меньше сторон, на которые они опущены. Найдите углы треугольника. В ответе указать сумму наибольшего и наименьшего углов этого треугольника (в градусах!).

    Решение:
    `h_a, h_b` - высоты, проведенные к сторонами `a,b`.
    `h_a>=a, h_b>=b`.
    `S_(Delta)=1/2h_a*a>=1/2a^2`,
    `S_(Delta)>=1/2b^2`.
    `1/2a^2+1/2b^2<=2S_(Delta) => S_(Delta)>=1/4(a^2+b^2)`.
    Известно, что `a^2+b^2>=2ab => S_(Delta)>=1/2ab`.
    С другой стороны, `S_(Delta)=1/2ab*singamma`:
    `1/2ab*singamma>=1/2ab => singamma>=1 => gamma=pi/2`.
    Получили прямоугольный треугольник, в котором `a,b` являются катетами.
    `a=b` т.к. мы использовали нер-во `a^2+b^2>=2ab`, которое должно перейти в равенство (чтобы `singamma=1` было возможным), а это возможно только при `a=b`.
    Углы треугольника равны `45^0, 45^0, 90^0`. Сумма наибольшего и наименьшего углов равна `135^0`.

    Ответ: `135`.
  • Задание №4.
    Найти все корни уравнения
    `1-x/1+(x(x-1))/(1*2)-(x(x-1)(x-2))/(1*2*3)+(x(x-1)(x-2)(x-3))/(1*2*3*4)=0`
    В ответе указать сумму всех корней уравнения.

    Решение:
    Решение можно провести нестандартно.
    Легко заметить, что `x=1,2,3,4` являются корнями уравнения.
    `x=1`: `1-1=0`,
    `x=2`: `1-2+1=0`,
    `x=3`: `1-3+3-1=0`,
    `x=4`: `1-4+6-4+1=0`.
    Других корней не может быть, поскольку после раскрытия всех скобок и приведения подобных мы получаем уравнение `4` степени, которое не может иметь больше `4` действительных корней.
    `x_1+x_2+x_3+x_4=1+2+3+4=10`.

    Ответ: `10`.
  • Задание №2.
    Папа Карло дал Буратино некоторое количество (не больше `30`) монет на покупку букваря. Но Буратино часть монет сунул себе за щёку, а остальные закопал на Поле чудес. Кот Базилио заметил, что удвоенное количество монет за щекой, увеличенное на `6`, больше количества закопанных на Поле Чудес. В свою очередь Лиса Алиса разведала, что количество монет, закопанных на Поле Чудес, более чем на `12` превосходит количество монет за щекой. Сколько монет было выдано на покупку букваря?

    Решение:
    Буратино получил `n<=30` монет.
    `n=k+m`, `k` - за щекой, `m` - закопано, `n,k,m in NN`.
    `2k+6>m`,
    `m>k+12`.
    Поскольку у нас целые числа перейдем к нестрогим неравенствам, для этого надо взять следующие целые числа в наших неравенствах:
    `2k+6>=m+1`,
    `m>=k+13`.
    Сложим:
    `2k+6+m>=m+1+k+13`,
    `k>=8 => m>=k+13>=21 => m+k>=29`.
    С другой стороны, `m+k=n<=30`.
    `m+k=29` или `m+k=30`.

    `m+k=29 => m=21, k=8`:
    `22>=22`,
    `22>=22`.
    Оба неравенства выполняются.
    `m+k=30 => (m,k)=(22,8), (21,9)`, других решений, очевидно, нет.
    `(m,k)=(22,8)` - не выполняется первое неравенство.
    `(m,k)=(21,9)` - не выполняется второе неравенство.

    Ответ: `29`.
  • Задание №3.
    Найти площадь области, заданной неравенством
    `|y-|x-1||+|x|<=2`.

    Решение:
    `|x|<=2 => x in [-2;2]`.

    `x in [1;2]`: `|y-x+1|<=2-x`,
    `x-2<=y-x+1<=2-x`,
    `2x-3<=y<=1`.
    `S_(Delta_1)=1/2*2*1=1`.

    `x in [0;1]`: `|y+x-1|<=2-x`,
    `x-2<=y+x-1<=2-x`,
    `-1<=y<=-2x+3`.
    `S_(трапеции)=1/2*1*(2+4)=3`.

    `x in [-2;0]`: `|y+x-1|<=x+2`,
    `-x-2<=y+x-1<=x+2`,
    `-2x-1<=y<=3`.
    `S_(Delta_2)=1/2*2*4=4`.

    `S=1+3+4=8`.

    Ответ: `8`.

Рассылка решений заочных туров олимпиад по математике