Рассылка решений заочных туров олимпиад по математике

Подписывайтесь на нашу рассылку решений заочных туров всех олимпиад по математике: Ломоносов, Покори Воробьевы горы, Высшая проба, Физтех 2018 и другие перечневые олимпиады.

Олимпиада ОММО 2015 (Объединенная Межвузовская Математическая Олимпиада) - задания и решения (очка)


  • Сезон олимпиад 2016-2017 открыт!
    Идет запись на наши курсы подготовки к олимпиадам по математике с гарантированным результатом.
    image
    1. Индивидуальные занятия и консультации.
    2. Помощь в прохождении заочных туров олимпиад. Одна олимпиада 1-5 тыс. руб.
    3. Помощь эксперта на очных турах олимпиад. Одна олимпиада от 30 тыс. руб.
    4. Гарантия успешного результата (курсы ведутся пятый сезон).

    Стоимость курсов от 3000 до 25000 руб. в месяц. Стандартный курс - 10000 руб. в месяц. Длительность курсов - 6 месяцев.
    В составе стандартного курса заочные туры 10 олимпиад и очные туры 2 олимпиад.
    Посмотреть тарифные планы и подробную информацию по курсам подготовки.


    Олимпиада ОММО 2015 (Объединенная Межвузовская Математическая Олимпиада) - задания и решения очного тура.
    1 вариант
    image
    2 вариант
    image
    3 вариант
    image
    4 вариант
    image
  • Ответы (решения будут выложены позже).

    1 вариант:
    1. `20`.
    2. C ответит - "B по рангу выше, чем A".
    3. `11000`.
    4. `2015`.
    5. `(x,y)=(-1,2), (1,-2), (-11,14), (11,-14)`.
    6. `(n-1)/2`.
    7. `C(1;2)`.
    8. `1/2+3/2ln2`.
    9. да, такие ставки возможны. 
    10. `64`.

    2 вариант:
    1. `22`.
    2. Задача на док-во.
    3. `45`.
    4. `2015`.
    5. `(x,y)=(1,2), (-1,-2), (11,14), (-11,-14)`.
    6. `(n+1)/2`.
    7. `C(2;4)`.
    8. `1/4+1.4ln6`.
    9. да, такие ставки возможны.
    10. `64`.

    3 вариант:
    1. `18`.
    2. C ответит - "однотипны".
    3. `5184` или нет решений (верны оба ответа).
    4. `-2015`.
    5. `(x,y)=(1,-2), (-1,2), (11,-7), (-11,7)`.
    6. `(n-1)/2`.
    7. `C(1;2)`.
    8. `1/2+3/2ln2`.
    9. да, такие ставки возможны. 
    10. `94.5`.

    4 вариант:
    1. `24`.
    2. Задача на док-во.
    3. `2025`.
    4. `-2015`.
    5. `(x,y)=(1,2), (-1,-2), (11,7), (-11,-7)`.
    6. `(n+1)/2`.
    7. `C(2;4)`.
    8. `1/4+1/4ln6`.
    9. да, такие ставки возможны.
    10. `94.5`.
  • Будет ли олимпиада "Паруса надежды"?
  • В третьем задании третьего варианта ошибка. Если ответ 5184 - то такое число нельзя получить из Х, вычитая сумму его цифр.
  • Согласен с match
  • Когда будут решения?
  • Вариант 3. Задача №1.
    Сумма первых тринадцати членов некоторой арифметической прогрессии составляет `50%` от суммы последних тринадцати членов этой прогрессии. Сумма всех членов этой прогрессии без первых трёх членов относится к сумме всех членов без последних трёх как `3 : 2`. Найдите количество членов этой прогрессии.

    Решение:
    `n` - число членов, `c_i=a+(i-1)*b`.
    Сумма первых `13` членов: `S_1=(a+a+12*b)/13`.
    Сумма последних `13` членов: `S_2=(a+(n-1)*b+a+(n-13)*b)/13`.
    Сумма без первых `3` членов: `S_3=(a+3*b+a+(n-1)*b)/(n-3)`.
    Сумма без последних `3` членов: `S_4=(a+a+(n-4)*b)/(n-3)`.

    `2*S_1=S_2`.
    `(2(a+a+12*b))/13=(a+(n-1)*b+a+(n-13)*b)/13`,
    `4*a+24*b=2*a+(2*n-14)*b`,
    `2*a = (2*n-38)*b`,
    `a = (n-19)*b`.

    `2*S_3=3*S_4`.
    `(2(a+3*b+a+(n-1)*b))/(n-3)=(3(a+a+(n-4)*b))/(n-3)`,
    `2*(a+3*b+a+(n-1)*b)=3*(a+a+(n-4)*b)`,
    `4*a+6*b+2*(n-1)*b = 6*a+3*(n-4)*b`,
    `2*a=(6+2*n-2-3*n+12)*b`,
    `2*(n-19)*b=(16-n)*b`,
    `2*n-38=16-n`,
    `3*n=54`,
    `n=18`.

    Ответ: `n=18`.
  • Вариант 3. Задача №2.
    На острове каждый житель либо рыцарь (всегда говорит правду), либо лжец (всегда лжет). Два жителя называются однотипными, если они либо оба рыцари, либо оба лжецы. `A,B` И `C` жители этого острова. `A` говорит: "`B` и `C` однотипны". Что ответит `C` на вопрос "`A` и `B` однотипны"?

    Решение:
    1) Пусть `A` - рыцарь.Тогда возможны `2` варианта:
     а) `B` - рыцарь, `C` - рыцарь, тогда `C` ответит - "однотипны".
     б) `B` - лжец, `C` - лжец , тогда `C` ответит - "однотипны". 

    2) Пусть `A` - лжец.Тогда возможны `2` варианта:
     а) `B` - рыцарь, `C` - лжец, тогда `C` ответит - "однотипны". 
     б) `B` -лжец, `C` - рыцарь , тогда `C` ответит - "однотипны". 

    Ответ: `C` ответит - "однотипны".
  • Вариант 3. Задача №3.
    Если из четырехзначного числа `X` вычесть сумму его цифр, то получится натуральное число `N=K^2`, причем `K` - натуральное число, дающее остаток `2` при делении на `10` и остаток `6` при делении на `11`. Найдите число `N`.

    Решение:
    Найдем число `K`. 
    Остаток от деления на `10` равен `2`, следовательно последняя цифра `2`.
    Остаток от деления на `11` равен `6`. 
    Это могут быть числа `72, 182` или больше
    `182^2` дает пятизначное число, однако в условии задачи сказано что `N` это четырехзначное число минус какое-то число и никак не может быть пятизначным.
    Следовательно единственный подходящий вариант `K = 72`.
    Тогда `N = K^2 = 5184`.
    Легко убедиться, что единственно возможное значение `N` не подходит, поэтому решений нет.
    Замечание: на самом деле в условии допущена ошибка, поэтому при проверке засчитывали решения с ответом `5184` (т.е. док-во того, что число не подходит - не требовалось).

    Ответ: решений нет или `5184`.
  • Вариант 3. Задача №4.
    Основания `AB` и `CD` трапеции `ABCD` равны `65` и `31` соответственно, а ее боковые стороны взаимно перпендикулярны. Найдите скалярное произведение векторов `vec(AC)` и `vec(BD)`.

    Решение:
    image
    Треугольники `ABH` и `CDH` подобны по трем углам.
    Пусть `CH = x, DH = y`.
    Тогда `x^2 + y^2 = 31^2`.
    `AH = (65y)/31, AC = sqrt(x^2 + ((65y)/31)^2)`.
    Аналогично `BH=(65x)/31, BD=sqrt(y^2+(65x)/31)^2`.
    Проведем `CE` параллельно `BD` как показано на рисунке:
    Тогда `AE = 65 + 31 = 96`:
    Запишем теорему косинусов для `AE`:
    `AE^2 = AC^2 + CE^2 - 2*CE*AC*cos(AC, EC)`.
    Заметим, что `CE*AC*cos(AC, EC)` есть искомое скалярное произведение.
    Тогда `CE*AC*cos(AC, EC) = (AC^2 + CE^2 - AE^2)/2 =` 
    `1/2(x^2 + ((65y)/31)^2 + y^2 + ((65x)/31)^2 - 96^2) = 1/2((x^2 + y^2)*(1 + (65/31)^2) - 96^2) = -2015`
    (отрицательное скалярное произведение означает, что угол между ними тупой)

    Ответ: `-2015`.
  • Вариант 3. Задача №5.
    Решите систему уравнений
    `{(5x^2+14xy+10y^2=17),(4x^2+10xy+6y^2=8):}`.

    Решение:
    Вычтем из первого уравнения второе:
    `x^2+4xy+4y^2=9`,
    `(x+2y)^2=9`,
    `x+2y=+-3`.
    Сложим уравнения:
    `9x^2+24xy+16y^2=25`,
    `(3x+4y)^2=25`,
    `3x+4y=+-5`.
    Осталось перебрать случаи:
    `1` случай: `x+2y=3, 3x+4y=5`,
    `x=-1, y=2`.
    `2` случай: `x+2y=-3, 3x+4y=5`,
    `x=11, y=-7`.
    `3` случай: `x+2y=3, 3x+4y=-5`,
    `x=-11, y=7`.
    `4` случай: `x+2y=-3, 3x+4y=-5`,
    `x=1, y=-2`.
    Проверкой убеждаемся, что все решения подходят.

    Ответ: `(x,y)=(1,-2), (-1,2), (11,-7), (-11,7)`.

Рассылка решений заочных туров олимпиад по математике