Рассылка решений заочных туров олимпиад по математике

Подписывайтесь на нашу рассылку решений заочных туров всех олимпиад по математике: Ломоносов, Покори Воробьевы горы, Высшая проба, Физтех 2018 и другие перечневые олимпиады.

Очный тур олимпиады по математике Покори Воробьевы горы 2014-2015 / Задания и решения


  • Сезон олимпиад 2016-2017 открыт!
    Идет запись на наши курсы подготовки к олимпиадам по математике с гарантированным результатом.
    image
    1. Индивидуальные занятия и консультации.
    2. Помощь в прохождении заочных туров олимпиад. Одна олимпиада 1-5 тыс. руб.
    3. Помощь эксперта на очных турах олимпиад. Одна олимпиада от 30 тыс. руб.
    4. Гарантия успешного результата (курсы ведутся пятый сезон).

    Стоимость курсов от 3000 до 25000 руб. в месяц. Стандартный курс - 10000 руб. в месяц. Длительность курсов - 6 месяцев.
    В составе стандартного курса заочные туры 10 олимпиад и очные туры 2 олимпиад.
    Посмотреть тарифные планы и подробную информацию по курсам подготовки.



    Олимпиада Покори Воробьевы горы 2015-2016 - задания и решения отборочного этапа по математике.
    Очный тур олимпиады по математике Покори Воробьевы горы 2014-2015. Задания и решения.
    Москва, вариант 02.
    image
  • Москва, вариант 02, задача №1.
    Можно ли представить выражение
    `(u^2+v^2+w^2)(x^2+y^2+z^2)-(ux+vz)^2-(vy+wz)^2-(wz-uy)^2`
    в виде квадрата некоторого многочлена от переменных `u,v,w,x,y,z`?

    Решение:
    Раскроем все скобки и приведем подобные.
    Пусть `G=(u^2+v^2+w^2)(x^2+y^2+z^2), H=(ux+vz)^2+(vy+wx)^2+(wz-uy)^2`.
    Заметим, что при раскрывании скобок в `G` получим сумму `9` выражений, из которых `6` получим при раскрывании скобок в `H`, эти выражения взаимно сократятся.
    Поэтому, `G-H=u^2z^2+v^2x^2+w^2y^2-2uxvz-2vywx+2wzuy`.
    Пусть `uz=a, vx=b, wy=c`.
    Легко заметить, что `G-H=a^2+b^2+c^2-2ab-2bc+2ac=(a-b+c)^2`.
    `G-H=(uz-vx+wy)^2`.
    Получили, что наше выражение можно представить в виде квадрата многочлена от любой переменной.

    Ответ: да, в виде `(uz-vx+wy)^2`.
  • Москва, вариант 02, задача №2.
    Найдите все значения `b`, при каждом из которых уравнение
    `x^2+(4+b)x-6b^2-13b=5`
    имеет два корня `x_1` и `x_2`, удовлетворяющие неравенству `(2x_1)/(x_2)+(x_2)/(2x_1)<=2`.

    Решение:
    `x^2+(4+b)x-(6b^2+13b+5)=0`.
    Из условия следует, что у уравнения есть два корня (не обязательно различных) `=> D>=0`.
    Также из условия следует, что оба корня не равны нулю `=> 6b^2+13b+5!=0`.
    `D=(4+b)^2+4(6b^2+13b+5)=16+8b+b^2+24b^2+52b+20=`
    `=25b^2+60b+36=(5b+6)^2>=0` при всех `b`. Первое условие выполнено при всех `b`.
    `6b^2+13b+5!=0`.
    `D=169-120=49`.
    `b != (-13+-7)/(12)`.
    `b != -5/3, -1/2`.

    `(2x_1)/(x_2)+(x_2)/(2x_1)<=2`,
    `(4x_1^2+x_2^2)/(2x_1x_2)-2<=0`,
    `(4x_1^2-4x_1x_2+x_2^2)/(2x_1x_2)<=0`,
    `(2x_1-x_2)^2/(2x_1x_2)<=0`.
    Заметим, что нер-во верно, если числитель равен `0`, т.е. `2x_1=x_2`.
    Если числитель не равен `0`, тогда числитель строго положительный (как квадрат), можем на него поделить, тогда остается `2x_1x_2<0`.
    Получили совокупность двух условий `2x_1=x_2` ИЛИ `x_1*x_2<0`.
    По т. Виета `x_1*x_2=-(6b^2+13b+5) => 6b^2+13b+5>0 =>`
    `b in (-oo;-5/3)uu(-1/2;+oo)`.
    Разберемся с первым условием:
    `x_(1,2)=(-4-b+-(5b+6))/2`.
    `x_1=-3b-5, x_2=2b+1` ИЛИ `x_1=2b+1, x_2=-3b-5`.
    `2x_1=x_2 => -6b-10=2b+1` ИЛИ `4b+2=-3b-5`,
    `8b=-11` ИЛИ `7b=-7`,
    `b=-11/8` ИЛИ `b=-1`.
    Получили все значения `b`.

    Ответ: `b in (-oo;-5/3)uu{-11/8}uu{-1}uu(-1/2;+oo)`.
  • Москва, вариант 02, задача №3.
    Что больше:
    сумма корней уравнения `(arcsinx)^2=16*(arccosx)^2 или 2sin(11/30pi)sin(7/15pi)`?

    Решение:
    1) `2sin(11/30pi)*sin=2*1/2*(cos(11/30pi-7/15pi)-cos(11/30pi+7/15pi))=`
    `=cos(-3/30pi)-cos(25/30pi)=cos(-pi/10)-cos(5/6pi)=cos(pi/10)+sqrt3/2`.

    2) `(arcsinx)^2=16*(arccosx)^2`.
     а) `arcsinx=4*arccosx`, т.к. `arcsinx+arccosx=pi/2`, то
      
       `pi/2-arccosx=4*arccosx`,
       `pi/2=5*arccosx`,
       `pi/10=arccosx`,
       `x=cos(pi/10)`.
       
     б) `arcsinx=-4*arccosx`.

       `pi/2-arccosx=-4*arccosx`,
       `pi/2=-3*arccosx`,
       `arccosx=-pi/6`, но `arccosx` принимает значения от `0` до `pi`, значит отбрасываем.

    3) Сравним:
    `cos(pi/10) < cos(pi/10)+sqrt3/2`.
    Больше второе число.

    Ответ: больше второе число.
  • Москва, вариант 02, задача №4.
    Города `A, B, C, D, E` лежат на одной окружности и попарно соединены прямолинейными дорогами. Два велосипедиста выехали одновременно из `A` в `D` и из `C` в `E`, повстречавшись в пути. Затем они выехали одновременно из `D` в `A` и из `E` в `B`, опять повстречавшись в пути. Наконец, они выехали одновременно из `A` в `B` и из `B` в `D`, прибыв в пункты назначения одновременно. Найдите `AB`, если `AE=3` км и `CD=1` км, а скорость каждого велосипедиста постоянна.

    Решение:
    Пусть `v_1, v_2` - скорости велосипедистов.
    image
    Тогда из условия получаем, что `(AO)/(v_1)=(CO)/(v_2), (DP)/(v_1)=(EP)/(v_2), (AB)/(v_1)=(BD)/(v_2)`.
    `(v_1)/(v_2)=(AO)/(CO)=(DP)/(EP)=(AB)/(BD)`.

    Углы `EAD` и `ECD` опираются на общую дугу `ED`. Углы `EAC` и `ADC` опираются на общую дугу `AC`. Углы `AOE` и `COD` равны как вертикальные,значит треугольники `AOE` и `COD` - подобны (т.к. равны все `3` угла).
    Тогда `(AO)/(OC)=(EO)/(OD)=(EA)/(CD)=3/1 => (v_1)/(v_2)=(AO)/(OC)=3`.

    Углы `EAD` и `EBD` опираются на общую дугу `ED`, поэтому они равны. Аналогично, равны углы `AEB` и `ADB`, общая дуга `AB`. Углы `APE` и `BPD` равны как вертикальные, значит треугольники `APE` и `BPD` - подобны(т.к. равны все `3` угла).
    Тогда `(BP)/(AP)=(DP)/(EP)=(BD)/(EA), BD=EA*(DP)/(EP)=EA*(v_1)/(v_2)=EA*3=9`.

    `AB=BD*(v_1)/(v_2)=9*3=27`.

    Ответ: `AB = 27`.
  • Москва, вариант 02, задача №5.
    Гипербола `y=1/x` пересекается с прямой `2x+y=8` в точках `A` и `B`, а с прямой `x+2y=4` - в точках `C` и `D`. Найдите координаты точки, равноудаленной от точек `A,B` и `C`.

    Решение:
    Координаты точек, которые лежат на объединении наших прямых, удовлетворяют уравнению
    `(2x+y-8)(x+2y-4)=0`,
    `2x^2+4xy-8x+xy+2y^2-4y-8x-16y+32=0`,
    `2x^2+5xy+2y^2-16x-20y+32=0`.
    Нам дана гипербола `y=1/x => xy=1`. Нужны только те точки, которые лежат на гиперболе и объединении данных прямых, поэтому можем подставить `xy=1` в полученное уравнение.
    `2x^2+2y^2-16x-20y+37=0`,
    `x^2+y^2-8x-10y+37/2=0`,
    `(x-4)^2+(y-5)^2=45/2`.
    Получили окружность с центром в точке `(4;5)` и радиусом `R=sqrt(45/2)`.
    На этой окружности лежат все точки пересечения гиперболы и наших прямых.
    По определению, центр окружности равноудален от этих точек, поэтому координаты искомой точки `(4;5)`.

    Ответ: `(4;5)`.
  • Челябинск
    Задача №1.
    Из пунктов A и B одновременно навстречу друг другу выехали два автобуса, которые встретились `2` февраля в `12 : 00`. Найдите дату и время начала движения автобусов, если их скорости на всем пути постоянные, и один из них прибыл `3` февраля в `4 : 00` в пункт `B`, а другой прибыл `3` февраля в `13 : 00` в пункт `A`.
    Ответ: `1` февраля в `16:00`.
    Задача №2.
    Через точку, лежащую на оси цилиндра радиуса `sqrt3` и отстоящую от ближайшего к ней основания цилиндра на расстояние `1`, проведена плоскость. Найдите объем меньшей части цилиндра, отсекаемой этой плоскостью, если угол между осью цилиндра и плоскостью равен `60^0`.
    Ответ: `3pi`.
    Задача №3.
    Найдите решения неравенства
    `sqrt(sinx+1/2)>2sinx`
    на отрезке `[-1/2;8/3]`.
    Ответ: `[-1/2;-pi/6)uu(5/6pi;8/3]`.
    Задача №4.
    Найдите произведение корней уравнения
    `log_(5+sqrt15)(x^2-2x-2)=log_(5-sqrt15)(12+2x-x^2)`.
    Ответ: `-7-sqrt15`.
    Задача №5.
    Найдите все значения `a`, при которых существует целое число `n`, удовлетворяющее уравнению
    `n^2*3^a-3^a-16n=9*3^(-a)-3^(2-a)*n^2`.
    Ответ: `a=1, a=1+log_3((16+-5sqrt7)/9)`.
  • Брянск.
    Задача №1.
    В контейнере находятся изделия нескольких типов из пяти возможных: весом `1` кг, `2` кг, `3` кг, `5` кг и `10` кг. Суммарный вес изделий в контейнере равен `100` кг. Известно, что если выбрать из контейнера по одному изделию каждого из имеющихся в нем типов, то их суммарный вес будет равен `15` кг. Количество самых тяжелых из находящихся в контейнере изделий на `5` больше, чем количество всех остальных изделий в нем. Определите, какие типы изделий и в каком количестве находятся в контейнере.
    Ответ: по `2` изделия весом `2` и `3` кг, `9` изделий весом `10` кг.
    Задача №2.
    Решите уравнение
    `|log_2(x/2)|^3+|log_2(2x)|^3=28`.
    Ответ: `x=4, x=1/4`.
    Задача №3.
    Найдите наибольшее натуральное число не превосходящее `2015`, такое что при умножении на `5` сумма его цифр (в десятичной записи) не меняется.
    Ответ: `2007`.
    Задача №4.
    Окружность касается одной из сторон угла с вершиной `A` в точке `B` и пересекает вторую сторону в точках `C` и `D`, причем `AD` в три раза меньше `AC`. Косинус угла `A` равен `sqrt3/4`.
    а. Найдите отношение `BC` к `BD`.
    б. Найдите отношение радиуса окружности к `BD`.
    Ответ: а) `sqrt3`, б) `sqrt(10/13)`.
    Задача №5.
    Решите систему уравнений
    `{(2sinx+sin^2y-sin^2xcos^2y=1),(2cos^2x+4sinx-cos^3y=5):}`.
    Ответ: `(x,y)=(pi/2+2pik, pi+2pin), k,n in ZZ`.
  • Чебоксары.
    Задача №1.
    Сравните `sqrt(|8sqrt3-16|)-sqrt(8sqrt3+16)` и наименьший корень уравнения `4x^2+21x+17`.
    Ответ: число больше корня.
    Задача №2.
    Окружности с центрами в точках `O_1` и `O_2` пересекаются внешним образом в точках `A` и `B` (т.е точки `O_1` и `O_2` лежат по разные стороны от прямой `AB`. Известно, что `/_AO_1B = alpha`, `/_AO_2B = beta`, `O_1O_2 = a`. Найдите радиусы окружностей.
    Ответ: `R_1=(asin(beta/2))/sin((alpha+beta)/2)`, `R_2=(asin(alpha/2))/sin((alpha+beta)/2)`.
    Задача №3.
    Найдите корни уравнения `log_2|tanpix|+log_4((cospix)/2cospix+sinpix)=0`, принадлежащие отрезку `[9/4;3]`.
    Ответ: `11/4; (arc cottan2)/pi+2`.
    Задача №4.
    Для перевозки `60` тонн песка автомобилю потребовалось сделать некоторое количество рейсов, а для перевозки `120` тонн песка оказалось необходимо на `5` рейсов больше. На всех рейсах, кроме, может быть, последнего в каждой из этих двух перевозок, автомобиль загружается полностью. Определите все возможные значения грузоподъёмности этого автомобиля (то есть наибольшей массы груза, которую автомобиль может перевезти за один раз).
    Ответ: `[10 10/11; 13 1/3)` тонн.
    Задача №5.
    Решите уравнение
    `|xsqrt(1-x^2)+x|=sqrt(1+x^2)`.
    Ответ: `+-sqrt((sqrt5-1)/2)`.
  • Уфа.
    Задача №1.
    Решите уравнение 
    `(1+x+x^2)(1+x+x^2+...+x^10)=(1+x+x^2+...+x^6)^2`.
    Ответ: `x=-1, x=0`.
    Задача №2.
    Две арифметические прогрессии содержат по `2015` членов каждая. Отношение последнего члена первой прогрессии к первому члену второй равно отношению последнего члена второй прогрессии к первому члену первой и равно `4`. Отношение суммы всех членов первой прогрессии к сумме всех
    членов второй равно `2`. Найдите отношение разностей этих прогрессий и приведите пример таких прогрессий.
    Ответ: `26`.
    Задача №3.
    Решите систему
    `{(tan^2pi(x-y)+cottan^2pi(y-x)=sqrt((2x)/x^2+1)+1),(x^2+y^2<=10):}`.
    Ответ: `(x,y)=(1, (2n+5)/4), n=-8,-7,...,0,1,2,3`.
    Задача №4.
    Плоскость проходит через точку `K`, лежащую на ребре `SA` пирамиды `SABC`, делит биссектрису `SD` грани `SAB` и медиану `SE` грани `SAC` пополам. В каком отношении эта плоскость делит объем пирамиды, если `SK:KA=SA:SB=2`?
    Ответ: `16/119`.
    Задача №5.
    Найдите все значения `a` при каждом из которых уравнение
    `25^(-|x-a|)log_(root(5)7)(x^2-2x+3)+5^(-x^2+2x)log_(1/7)(2|x-a|+2)=0`.
    Ответ: `a=1/2, a=1, a=3/2`.
  • Ставрополь.
    Задача №1.
    Из четырёх бегунов: Антона, Бориса, Виктора и Григория, - второе место занял самый старший. При этом Антон пробежал дистанцию быстрее, чем Виктор; Григорий - быстрее, чем Борис и Виктор. Известно также, что Борис старше Антона, а Виктор старше Григория. В каком порядке
    финишировали спортсмены?
    Ответ: Григорий, Борис, Антон, Виктор.
    Задача №2.
    На доске написаны числа `1, 2, ... , 2015`. Над ними последовательно проделывают `2014` операций, причем `n`-я по счету операция состоит в следующем: произвольные два числа `a` и `b` (из записанных на доске) стираются и дописывается одно число, равное `(ab)/n`. Что останется на доске в конце?
    Ответ: `2015`.
    Задача №3.
    В четырёхугольник `ABCD` со сторонами `AB = 2, BC = 4, CD = 5` вписали окружность и вокруг него описали окружность. Найдите площадь четырёхугольника.
    Ответ: `2sqrt30`.
    Задача №4.
    Решите уравнение:
    `(cos4x-6cos^2 2x + 8cos^2x)/sqrt(6x-x-x^2)=0`.
    Ответ: `x=pi/3, 2/3pi, 4/3pi`.
    Задача №5.
    При каждом значении a решите уравнение
    `|x-1|+|x+1|+|x-2|+|x+2|+|x-3|+|x+3|+...+|x-2015|+|x+2015|+`
    `+2x^2+2a^2+4030^2-8060x-8060a=4030x`.
    Ответ: если `a=2015`, то `x=2015`, если `a!=2015`, то решений нет.

Рассылка решений заочных туров олимпиад по математике