Рассылка решений заочных туров олимпиад по математике

Подписывайтесь на нашу рассылку решений заочных туров всех олимпиад по математике: Ломоносов, Покори Воробьевы горы, Высшая проба, Физтех 2018 и другие перечневые олимпиады.

Заключительный этап (очный тур) олимпиады Курчатов по математике 2014-2015 / Задания и решения


  • Сезон олимпиад 2016-2017 открыт!
    Идет запись на наши курсы подготовки к олимпиадам по математике с гарантированным результатом.
    image
    1. Индивидуальные занятия и консультации.
    2. Помощь в прохождении заочных туров олимпиад. Одна олимпиада 1-5 тыс. руб.
    3. Помощь эксперта на очных турах олимпиад. Одна олимпиада от 30 тыс. руб.
    4. Гарантия успешного результата (курсы ведутся пятый сезон).

    Стоимость курсов от 3000 до 25000 руб. в месяц. Стандартный курс - 10000 руб. в месяц. Длительность курсов - 6 месяцев.
    В составе стандартного курса заочные туры 10 олимпиад и очные туры 2 олимпиад.
    Посмотреть тарифные планы и подробную информацию по курсам подготовки.


    Заключительный этап (очный тур) олимпиады по математике Курчатов 2014-2015. Задания и решения всех вариантов.
    image
  • Задача №1 (олимпиада Курчатов 2014-2015, заключительный этап).
    Ученику дано число `x`: это обыкновенная дробь со знаменателем `9`. Ученик вычислил три новых числа `2x, 4x` и `5x`, каждое из этих трех чисел округлил до ближайшего целого и результаты округлений сложил. Получилось `120`. Найдите `x`. (Число округляется в меньшую сторону, если его дробная часть меньше `1/2`, и в большую, если дробная часть больше либо равна `1/2`.)

    Решение:
    Сперва найдем приближение:
    `2x + 4x + 5x = 11x`,
    `x ~~ 120/11 ~~ 10.9`,
    Получаем, что `x ~~ 10.9`.
    Попробуем ближайшие значения:
    `99/9 = 11 =>` пробуем `98`.
    Пусть `x = 98/9`.
    Тогда `2x = 196/9` (округляется в большую сторону до `22`).
    `4x = 392/9` (округляется в большую сторону до `44`)..
    `5x = 490/9` (округляется в меньшую сторону до `54`).
    В сумме получаем `22 + 44 + 54 = 120`.
    Если брать `x = 99/9 = 11`, то `11x = 121`.
    Если брать `x = 97/9`, то `4*97/9 = 388/9` (округляется до `43`, в сумме получим `119`).

    Ответ: `x = 98/9`.
  • Задача №2.
    `f(x)=x^3-9x, g(x)=x^3-5x^2+1`. Докажите, что если `b>0`, то у многочлена `f+bg` есть не менее `3` различных действительных корней.

    Решение:
    Пусть `h=f+bg`.
    `h(x)=x^3-9x+b*(x^3-5x^2+1)=x^3*(b+1)-5bx^2-9x+b`.
    Найдем производную:
    `h'(x)=3(b+1)x^2-10bx-9`.
    `D=100b^2+108(b+1)>0` при `b>0` (да и при любых `b` тоже).
    По т. Виета `x_1*x_2=-3/(b+1)<0` при `b>0`.
    `x_1+x_2=(10b)/(3b+3)>0` при `b>0`.
    Корни разных знаков. Без ограничения общности можем считать, что `x_1<x_2`.
    Тогда `x_1<0<x_2`.
    Тогда `h(x)>0` при `x in (-oo;x_1)uu(x_2;+oo)` - область возрастания.
    `h(x)<0` при `x in (x_1;x_2)` - интервал убывания.
    Также известно, что `h(x)` уходит в минус бесконечность при `x<x_1` и в плюс бесконечность при `x>x_2`, т.к. старший коэффициент `b+1` положителен.
    Из графических соображений ясно, что если `h(x_1)>0, h(x_2)<0`, то условие задачи выполняется.
    `h(0)=b>0 => h(x_1)>0`, поскольку `x_1<0` и `h(x)` убывает на отрезке `[x_1;0]`.

    `h(1)=b+1-5b-9+b=-3b-8<0`.
    Получили, что в точке `1` функция `h(x)<0 => h(x_2)<0` поскольку `1>0`, а на луче `(0;+oo)` точка `x_2` является минимумом функции.
    Следовательно, `h(x)` пересечет ось `X` в трех разных точках, левее `x_1`, между `0` и `x_2` (либо `1`), и правее `x_2`.

    Ответ: доказано.
  • Задача №3.
    Митя сложил все нечётные натуральные делители некоторого чётного числа `N` (включая единицу), а Ваня сложил все чётные натуральные делители числа `N` (включая само число). Затем Ванину сумму умножили на Митину. Может ли произведение быть квадратом натурального числа?

    Решение:
    Пусть `n` - максимальная степень двойки, на которую делится `N`.
    `N=2^n*M`, где `M` - нечетное число, `n` - натуральное число.
    Тогда все нечетные делители `N` по сути есть множество всех делителей `M`.
    Пусть `d_1, d_2,..., d_k` - все натуральные делители `M`, включая `1` и `M`.
    Понятно, что все `d_i` нечетные числа.
    `S=d_1+...+d_k` - сумма всех нечетных делителей `N` (число Мити).
    Тогда мы можем выписать все четные делители `N`:
    `2*d_1, 2*d_2,..., 2*d_k`,
    `2^2*d_1, 2^2*d_2,...,2^2*d_k`,
    `...`
    `2^n*d_1, 2^n*d_2,...,2^n*d_k`.
    Перечислены все четные делители, поскольку `d_1=1`, поэтому первый столбец состоит из делителей вида `2^i`, где `i=1,2.,...,n`.
    Сложим все полученные делители и получим число Вани:
    `2*(d_1+...+d_k)+2^2*(d_1+...+d_k)+...+`
    `+2^n*(d_1+...+d_k)=S*(2+2^2+...+2^n)`.
    По формуле геом. прогрессии: `2+2^2+...+2^n=2^(n+1)-1-1=2^(n+1)-2`.

    Тогда произведение числа Мити и числа Вани равно `S*S*(2^(n+1)-2)`.
    Пусть это произведение является точным квадратом.
    `S^2*(2^(n+2)-2)=K^2`, где `K` - натуральное число.
    `S` - натуральное число, поэтому выражение `2^(n+2)-2` должно быть точным квадратом.
    `2^(n+2)-2=m^2`.
    `2*(2^(n+1)-1)=m^2`.
    Левая часть уравнения четная, поэтому `m` - четный `=> m=2t, t` - натуральный.
    `2^(n+1)-1=2t^2` - решений нет, т.к. при натуральных `m,t` левая часть нечетна, правая четна.

    Ответ: нет, произведение чисел не может быть точным квадратом.
  • Задача №4.
    `ABCD` - вписанный четырехугольник, `AB>CD, BC>AD`. На сторонах `AB` и `BC` отмечены точки `X` и `Y` так, что `AX=CD` и `AD=CY`. `M` - середина `XY`. Докажите, что угол `AMC` - прямой.

    Решение:
    image
    Теорема: вокруг четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма противоположный углов равна `180^0`.
    Пусть угол `1 = alpha`.
    Тогда угол `2 = 180^0 - alpha`.
    Углы `3 + 4 = 180^0 - alpha` (сумма углов треугольника `= 180^0`).
    Углы `5 + 6 = 380^0 - 180^0 + alpha = 180^0 + alpha`.
    Углы `7 + 8 = 180^0 - 180^0 + alpha = alpha`.
    Углы `9 + 10 + 11 + 12` дадут в сумме `360^0 - 180^0 - alpha = 180^0 - alpha`.
    Тогда углы `7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12` в сумме дадут `180^0 - alpha + alpha = 180^0`.
    Но углы `A` и `C` так же дают `180^0` (по теореме).
    Получили, что углы `9 + 11` равны углам `13 + 14` (это все по суммам).
    Сумма углов `9 + 11 + x = 180^0` и `13 + 14 + x = 180^0`, получаем `x = 90^0` чтд.

    Ответ: доказано.
  • Задача №5.
    Вначале на каждой клетке доски `100х100` стоит по одной шашке –– они считаются столбиками из одной шашки (а в процессе игры будут образовываться столбики и из нескольких шашек). За один ход разрешается переставить любой столбик ходом ладьи: по вертикали или горизонтали на столько клеток,
    сколько  в  нем  шашек (то есть, столбик из одной шашки ходит на соседнюю клетку, из двух шашек –– прыгает через клетку и т.п.). Если столбик попал на непустую клетку, он ставится на верх стоящего там столбика и объединяется с ним. Можно ли за `9999` ходов собрать все шашки на одной клетке?

    Решение:
    Поскольку клеток всего `10000`, а ходов всего `9999`, то каждым ходом мы должны получать новую свободную клетку (клетку которую ранее не освобождали). Т.е. каждым ходом мы можем переставить столбец только в клетку в которой уже стоит другой столбец, иначе не выполнится ограничение по числу шагов.

    Заметим, что преодоление пути длиной `n` по горизонтали(вертикали) означает что столбец преодолевший это расстояние содержит не менее чем `n` фишек. 

    Пусть мы пытаемся собрать все фишки в клетке `[i,j]`. Заметим что в `j` столбце и `i` строке нужно освободить `198` клеток.

    Рассмотрим клетки лежащие на тех же диагоналях что и `[i,j]`, таких клеток будет не менее `99`.
    Возьмем `1` из этих клеток (пусть расстояние до клетки `i,j` будет `k` клеток вдоль вертикали и столько же клеток вдоль горизонтали) и рассмотрим путь фишек лежащих в ней, тогда чтобы эти фишки попали в клетку `[i,j]`, им необходимо либо сначала попасть в строку `i`, либо в столбец `j`. Пусть мы сначала попали в `[i,m]`, тогда в этой клетке окажется не менее чем `1+k+|m-j|` шашек (как минимум `1` шашка находилась в этой клетке, не менее `k` шашек на преодоление пути длиной `k` вдоль вертикали и не менее `|m-j|` шашек на преодоление пути вдоль горизонтали), но расстояние между клетками `[i,m]` и `[i,j]`, равно `|m-j|`, таким образом попасть за `1` ход в клетку `[i,j]` не сможем и нам будет необходимо потратить не менее `2` клеток из `i` строки чтобы попасть в клетку `[i,j]`. Всегда найдется диагональная клетка у которой `k>=50`, тогда существует максимум `1` возможный ход по горизонтали и расстояние от новой клетки до `[i,j]` будет менее `50`, но при этом в клетке будет более `50` фишек. Т.е. потребуется для какой-то диагональной клетки потратить не менее `3` клеток из строки `i`.

    Аналогично для случая когда мы попадаем на `j` столбец. 

    Тогда для клеток с тех же диагоналей что и `[i,j]` - нам потребуется потратить не менее `98*2+1=199` клеток (т.к. каждая клетка тратит либо `2` клетки с той же вертикали, либо `2` клетки с той же горизонтали и еще как минимум `1` раз придется потратить не менее `3` клеток). Но у нас на горизонтали и вертикали только `198` клеток которые мы можем потратить. Противоречие, значит `9999` ходов не хватит

    Ответ: нет, нельзя.
  • Задача №6.
    Для приготовления картофельного пюре повару Коле надо как можно быстрее получить заданный объём очищенной картошки. Не заботясь об экономии очисток, он из шарообразных картофелин вырезает кубики, каждым взмахом ножа очищая по одной грани. Может ли он справиться с заданием быстрее при той же частоте взмахов ножа, если будет вырезать какие-нибудь другие многогранники? (Формально: верно ли, что из всех многогранников, вырезаемых из данного шара, наибольшее отношение объема к числу граней –– у вписанного куба?)

    Решение:
    Рассмотрим сферу радиуса `1`.
    Найдем сторону вписанного куба.
    По формуле радиус описанной вокруг куба сферы равен `a*sqrt(3)/2`.
    Тогда `a = (2*R)/sqrt(3)`.
    Объем этого куба будет равен
    `a^3 = (2/sqrt(3))^3 = 8/(3*sqrt(3)`.
    Отношение объема к числу граней (`6`) `= 8/(18*sqrt(3)) ~~ 0.2566`.
    Попробуем построить пятиугольную призму вписанную в сферу.
    Пусть высота призмы равна `h`, тогда сторона пятиугольника (обозначим ее за `t`):
    `t = R*sqrt((5 - sqrt(5))/2)`.
    Площадь основания пятиугольника `S = (sqrt(5)*sqrt(5 + 2*sqrt(5)))/4*t^2`, объем `V = h*S`.
    Подставив в эту формулу значения можно посчитать, что при `h = 1.15`:
    `R ~~ 0.82`,
    `t ~~ 0.96`,
    `S ~~ 1.59`,
    `V ~~ 1.83`,
    `V/7 ~~ 1.83/7 ~~ 0.2614`.

    Ответ: куб не идеальная фигура, пятиугольная призма дает лучшие результаты (возможно есть еще лучше).
  • Задачи и решения по остальным классам (10 класс, 9 класс, 8 класс, 7 класс и 6 класс).


    10 класс

    image
    image
    image
    image

    9 класс
    image
    image
    image
    image

    8 класс
    image
    image
    image
    image

    7 класс
    image
    image
    image
    image

    6 класс
    image
    image
    image
    image

Рассылка решений заочных туров олимпиад по математике