Рассылка решений заочных туров олимпиад по математике

Подписывайтесь на нашу рассылку решений заочных туров всех олимпиад по математике: Ломоносов, Покори Воробьевы горы, Высшая проба, Физтех 2018 и другие перечневые олимпиады.

Олимпиада Физтех 2015 по математике / Задания и решения очного тура


  • Сезон олимпиад 2016-2017 открыт!
    Идет запись на наши курсы подготовки к олимпиадам по математике с гарантированным результатом.
    image
    1. Индивидуальные занятия и консультации.
    2. Помощь в прохождении заочных туров олимпиад. Одна олимпиада 1-5 тыс. руб.
    3. Помощь эксперта на очных турах олимпиад. Одна олимпиада от 30 тыс. руб.
    4. Гарантия успешного результата (курсы ведутся пятый сезон).

    Стоимость курсов от 3000 до 25000 руб. в месяц. Стандартный курс - 10000 руб. в месяц. Длительность курсов - 6 месяцев.
    В составе стандартного курса заочные туры 10 олимпиад и очные туры 2 олимпиад.
    Посмотреть тарифные планы и подробную информацию по курсам подготовки.



    Олимпиада Физтех 2016 - задания и решения отборочного этапа по математике.

    Олимпиада Физтех 2015 по математике. Задания и решения очного тура.
    Билет 1. Москва.
    image
    Билет 2. Москва.
    image
    Билет 3. Москва.
    image
    Билет 4. Москва.
    image
    Билет 5. Регионы.
    image
    Билет 6. Регионы.
    image
    Билет 7. Регионы.
    image
    Билет 8. Регионы.
    image
  • Физтех 2015. Регионы. Билет №7. Задача №1.
    Решите неравенство
    `(log_2(x^6)*log_(1/2)(x^2)-log_(1/2)(x^6)-8log_2(x^2)+2)/(8+(log_(1/2)(x^2))^3)<=0`.

    Решение:
    ОДЗ: `x!=0`.
    Замена `log_2(x^2)=t`.
    `log_2(x^6)*log_(1/2)(x^2)=3t*(-t)=-3t^2`,
    `log_(1/2)(x^6)=-3t`,
    `(log_(1/2)(x^2))^3=-t^3`.

    Неравенство запишется в виде:
    `(-3t^2+3t-8t+2)/(8-t^3)<=0`,
    `(3t^2+5t-2)/(t^3-8)<=0`,
    `((t+2)(t-1/3))/((t-2)(t^2+2t+4))<=0`,
    `t^2+2t+4>0` при любых `t`:
    `((t+2)(t-1/3))/(t-2)<=0`,
    `t in (-oo;-2]uu[1/3;2)`.
    1. `log_2(x^2)<=-2`,
    `x^2<=1/4 => x in [-1/2;1/2]`.
    2. `1/3<=log_2(x^2)<2`,
    `2^(1/3)<=x^2<4`,
    `x in (-2;-2^(1/6)]uu[2^(1/6);2)`.

    Объединяем полученные решения, выкидываем точку `x=0`.

    Ответ: `x in (-2;-2^(1/6)]uu[-1/2;0)uu(0;1/2]uu[2^(1/6);2)`.
  • Билет №7. Задача №2.
    Решите уравнение
    `(3cos2x+9/4)*|1-2cos2x|=sinx(sinx-sin5x)`.

    Решение:
    Упростим правую часть:
    `sinx - sin(5x) = 4sinx*cos^2x*(1 - 2cos2x)`,
    получим:
    `3cos2x + 9/4 = 4sin^2x*cos^2x` или `1 - 2cos2x = 0`.
    Решим `1 - 2cos2x = 0`,
    `cos2x = 1/2`,
    `2x = +- pi/3 + 2pik`,
    `x = +- pi/6 + pik, k in ZZ`.
    Решим `3cos2x + 9/4 = 4sin^2x*cos^2x`,
    `9 + 12cos2x -16cos^2x*sin^2x = 5 + 12cos2x + 4*cos^2(2x) = 0`.
    `(1 + 2*cos2x)(5 + 2cos2x) = 0`.
    `cos2x = -1/2` или `cos2x = -5/2` (второй случай корней не дает),
    из первого получим:
    `2x = +- (2pi)/3 + 2pik`,
    `x = +-pi/3 + pik, k in ZZ`.
    Итого, получили `8` корней на окружности.

    Ответ: `x = pi/6 + pik, x = -pi/6 + pik, x = pi/3 + pik, x = -pi/3 + pik, k in ZZ`.
  • Билет 7. Задача №3. 
    Решите систему уравнений
    `{(1/x+1/(y+z)=1),(1/y+1/(x+z)=4/3),(1/z+1/(x+y)=-4/5):}`.

    Решение:
    `x,y,z != 0`, попарные суммы тоже.
    `(x+y+z)/(x(y+z))=1`,
    `xy+xz=x+y+z`.
    Аналогично, 
    `4/3(xy+yz)=x+y+z`,
    `-4/5(xz+yz)=x+y+z`.

    Пусть `x+y+z=t`:
    `xy+xz=t, xy+yz=3/4t, xz+yz=-5/4t`.
    Сложим все три равенства: `2(xy+yz+zx)=t/2`,
    `xy+yz+zx=t/4`.
    `yz=-3/4t, xz=-t/2, xy=3/2t`.
    `x,y,z,t !=0`, можем делить равенства друг на друга:
    `y/x=-3/2, y/z=-3, z/x=-1/2`,
    `y=-3z, x=-2z`:
    `-4/5z(x+y)=x+y+z`,
    `4z^2=-4z => z=0, z=-1`. Первый корень не годится.
    `y=3, x=2`. Проверкой убедимся, что корни подходят.

    Ответ: `(x,y,z)=(2,3,-1)`. 
  • Билет 7. Задача №4.
    На стороне `BC` треугольника `ABC` взята точка `M` такая, что `BM:MC=3:8`. Биссектриса `BL` данного треугольника и отрезок `AM` пересекаются в точке `P` под углом `90^0`.
    а) Найдите отношение площади треугольника `ABP` к площади четырехугольника `LPMC`. 
    б) На отрезке `MC` отмечена точка `F` такая, что `MF:FC=1:7`. Пусть дополнительно известно, что прямые `LF` и `BC` перпендикулярны. Найдите угол `CBL`.

    Решение:
    Рассмотрим треугольник `ABM`:
    1) Из того факта, что биссектриса угла `ABM` является еще и высотой, можно сделать вывод, что треугольник `ABM` - равнобедренный, `AB=BM`. Тогда `BP` будет и медианой, значит, `AP=PM`.

    2) Обозначим площадь треугольника `ABC` за `S`.
    Тогда `S_(ABM)=S*3/11, S_(ACM)=S*8/11` т.к. `(BM)/(BC)=3/11, (MC)/(BC)=8/11`.
    `S_(ABP)=1/2*S_(ABM)=S*3/22`, т.к. `(AP)/(AM)=1/2`.
    `BL` - бисектрисса `=> (AB)/(AL)=(BC)/(CL)`,
    `(AL)/(LC)=(AB)/(BC)=(BM)/(BC)=3/11`, тогда `(AL)/(AC)=3/14 => S_(APL)=S_(AMC)*(AP)/(AM)*(AL)/(AC)=S*8/11*1/2*3/14`.
    `S_(LPMC)=S_(AMC)-S_(APL)=S*8/11-S*8/11*(3/28)=S*8/11*25/28`.

    3) `(S_(ABP))/(S_(LPMC))=(S*3/22)/(S*8/11*25/28)=21/100`.
    4) `(BP)/(PL)=(S_(ABP))/(S_(APL))=(S*3/22)/(S*8/11*3/28)=7/4`.
    `BP=7/11*BL`.

    5) Пусть `BM=3x, MC=8x, MF=x, FC=7x`.
    Треугольники `FBL` и `PBM` - подобны.
    `(BM)/(BL)=(BP)/(BF)`.
    `7/11*BL*BL=BM*BF=3x*4x`.
    `BL=x*sqrt(132/7)`.
    `cos/_CBL=(BF)/(BL)=(4x)/(x*sqrt(132/7))=sqrt(112/132)=sqrt(28/33)`.

    Ответ: а) `(S_(ABP))/(S_(LPMC))=21/100`.
    б) `/_CBL=arccos(sqrt(28/33))`.
  • Билет 7. Задача №5.
    Найдите количество пар целых чисел `(x;y)`, удовлетворяющих условию `x^2+6xy+5y^2=10^100`.

    Решение:
    `x^2+6xy+5y^2=(x+y)(x+5y)=z(z+4y)=2^100*5^100`, `x,y` - целые `=>z=x+y` тоже целое и по паре `(z,y)` однозначно  находится пара `(x,y)`, т.е. число пар `(z,y)` и `(x,y)` - совпадает.

    Поскольку `z,z+4y` - целые, то рассмотрим `2` случая:
    1) `z=2^u*5^v`, где `u,v` - целые, тогда: 
     `z+4y=2^(100-u)*5^(100-v)`,
     `4y=2^(100-u)*5^(100-v)-2^u*5^v`,
     `y=2^(98-u)*5^(100-v)-2^(u-2)*5^v` - целое, тогда:
     `98-u>=0`,
     `100-v>=0`,
     `u-2>=0`,
     `v>=0`,
     `2<=u<=98`,
     `0<=v<=100`.
    Число `z` мы можем выбрать `97*101` способом, для каждого из этих чисел существует единственное удовлетворяющее условию `y`, значит получим `97*101` пару.

    2) `z=-2^u*5^v`,
     `z+4y=-2^(100-u)*5^(100-v)`,
     `4y=-2^(100-u)*5^(100-v)+2^u*5^v`,
     `y=-2^(98-u)*5^(100-v)+2^(u-2)*5^v` - целое, тогда:
     `98-u>=0`,
     `100-v>=0`,
     `u-2>=0`,
     `v>=0`,
     `2<=u<=98`,
     `0<=v<=100`.
    Число `z` мы можем выбрать `97*101` способом, для каждого из этих чисел существует единственное удовлетворяющее условию y, значит получим `97*101` пару.

    Итого, получили `2*97*101` пару искомых чисел.

    Ответ: `19594`.
  • Билет 7. Задача №6.
    Найдите все значения параметра `a`, для каждого из которых найдется число `b` такое, что система
    `{(x^2+y^2+2a(a-x-y)=64),(y=8sin(x-2b)-6cos(x-2b)):}`.

    Решение:
    `x^2-2ax+a^2+y^2-2ay+a^2=64`,
    `(x-a)^2+(y-a)^2=64` - окружность с центром в точке `(a,a)` и радиусом `8`.
    `y=8sin(x-2b)-6cos(x-2b)=10*(4/5sin(x-2b)-3/5cos(x-2b))`.
    Пусть `t=arccos(4/5) => y=10*sin(x-2b-t)`.
    Окружность пересечет функцию `y=10*sin(x-2b-t)` если для какой то точки этой функции, расстояние от этой точки до точки `A(a,a)` будет не больше `8`.
    `|y|=|10sin(x-2b-t)|<=10`.
    Если `a>18 =>` ординаты точек окружности всегда больше `18-8=10`, поэтому функции не пересекутся.
    Аналогично нет пересечений при `a < -18`.
    Пусть `a` принадлежит отрезку `[-18;18]`.
    `a=18`: возьмем точку окружности `B(18;10)`.
    `10=10sin(18-2b-t)`,
    `sin(18-2b-t)=1 => 18-2b-t=pi/2+2pik`,
    `b=9-t/2-pi/4-pik`, где `k in ZZ`. 
    Для `a=18` нашли такое число `b`, при котором система имеет решение.

    Пусть `a in [0;18]`, возьмем точку окружности `B(a;a-8)`. Покажем, что найдется такое `b`, что тригонометрическая функция пройдет через эту точку.
    `a-8=10sin(a-2b-t)`,
    `sin(a-2b-t)=(a-8)/10` - уравнение имеет решение т.к. `(a-8)/10 in [-4/5;1]`.
    `a-2b-t=arcsin((a-8)/10)`,
    `b=1/2(a-arcsin((a-8)/10)-t)` - такое `b` существует.
    При `a in [-18;0]` все аналогично, берем точку `B(a;a+8)`.

    Ответ: `a in [-18;18]`.
  • Билет 7. Задача №7.
    В основании четырехугольной призмы `ABCDA_1B_1C_1D_1` лежит ромб `ABCD`, в котором `BD=12` и `/_BAC=60^0`. Сфера проходит через вершины `D,A,B,B_1,C_1,D_1`.
    а) Найдите площадь круга, полученного в сечении сферы плоскостью, проходящей через точки `A_1, B_1` и `C_1`.
    б) Найдите угол `A_1CB`.
    в) Пусть дополнительно известно, что радиус сферы равен `8`. Найдите объем призмы.

    Решение:
    а) Так как диагонали ромба являются биссектрисами его углов, то острый угол ромба равен `60^0`, а `AC=4sqrt3`. В сечении шара плоскостью `A_1C_1B_1` получаем круг, описанный около треугольника `C_1B_1D_1`. Центром этого круга является точка `A_1`, а его радиус равен стороне ромба, то есть `4sqrt3`. Значит, площадь равна `48pi`.
    б) Пусть `O` - центр шара. Опустим из точки `O` перпендикуляр `OH` на плоскость `ABCD`. Тогда треугольники `OHA, OHB` и `OHD` равны по катету и гипотенузе (`OH` - общая, `OA=OB=OD` как радиусы сферы). Значит, `HA=HB=HD`, поэтому `H` - центр окружности, описанной около треугольника `ABD`, т.е. точка `H` совпадает с точкой `C`.
    Таким образом, отрезок `OC` перпендикулярен плоскости основания `ABCD`. Аналогично доказывается, что отрезок `OA_1` перпендикулярен плоскости `A_1B_1C_1D_1`. Итак, диагональ `A_1C` является высотой призмы, а центр сферы `O` - ее середина. Поэтому `/_A_1CB=90^0`.
    в) В прямоугольном треугольнике `AOC` известна гипотенуза `AO=8` и катет `AC=4sqrt3`. 
    Значит, `CO=4, A_1C=8; V=A_1C*S_(ABCD)=8*24sqrt3=192sqrt3`.

    Ответ: а) `48pi`, б) `90^0`, в) `192sqrt3`.
  • Физтех 2015. Москва. Билет 4. Задача №1.
    Решите уравнение
    `(|sinx|+sin3x)/(cosxcos2x)=2/sqrt3`.

    Решение:
    Рассмотрим область `x` от `0+2pik` до `pi + 2pik`, где синус положителен.
    Тогда свернув верхнюю часть уравнения по формуле суммы синусов получим:
    `(2sin2xcosx)/(cosxcos2x) = 2sqrt(3)`, 
    получим `tan2x = 1/sqrt(3)`,
    `x = pi/12 + (pik)/2`, где `x` от `0+2pik` до `pi + 2pik, k in ZZ`.
    Теперь рассмотрим `3` и `4` четверти, где `x` принимает значения от `pi + 2pik` до `x=2pi + 2pik, k in ZZ`. 
    Синус раскрывается с минусом, сворачивая по формуле получим:
    `(2sinxcos2x)/(cosxcos2x) = 2sqrt(3)`, 
    `tanx = 1/sqrt(3)`,
    `x = pi/6 + pik`, где `x` принимает значения от `pi + 2pik` до `x=2pi + 2pik, k in ZZ`. 
    Итого с учетом областей решение можно разбить на `3` серии:

    Ответ: `x = pi/12 + 2pik`,
    `x = (7pi)/12 + 2pik`,
    `x = (7pi)/6 + 2pik, k in ZZ`.
  • Билет 4. Задача №2.
    Решите уравнение
    `(x/4)^(log_5(50x))=x^6`.

    Решение:
    ОДЗ: `x>0`.
    `(x/4)^(log_5(50x))=x^6`,
    `(x/4)^(log_5(2x)+log_5(25))=x^6`,
    `(x/4)^(log_5(2x)+2)=x^6`,
    `(x/4)^2*(x/4)^(log_5(2x))=x^6`, т.к.`x>0`.
    `(x/4)^(log_5(2x))=16*x^4`,
    `(x/4)^(log_5(2x))=(2x)^4`,
    `((2x)^(log_(2x)(x/4)))^(log_5(2x))=(2x)^4`,
    `(2x)^(log_(2x)(x/4)*log_5(2x))=(2x)^4`.

    1) `log_(2x)(x/4)*log_5(2x)=4`,
    `log_5(x/4)=4`,
    `x/4=5^4`,
    `x=4*625=2500`.
    2) `2x=1`,
    `x=1/2`.

    Ответ: `x=2500, x=1/2`.
  • Билет 4. Задача №3.
    Найдите количество натуральных чисел `k`, не превосходящих `267000` и таких, что `k^2-1` делится нацело на `267`.

    Решение:
    `267=3*89`, где `3` и `89` простые числа.
    `k^2-1=(k-1)(k+1)`.
    Оба эти числа не могут одновременно делится на `3`, иначе их разность `(k+1)-(k-1)=2` делится на `3`, что невозможно. Аналогично с `89`.
    Есть два случая (в каждом по два под-случая): одно из чисел делится на `3`, другое на `89`, либо одно из чисел делится на `267`.

    1а. `k-1` делится на `3`, `k+1` делится на `89`.
    `k-1=3n, k+1=89m => 89m-3n=2`,
    `89m=3n+2 => m=90m-3n-2` дает остаток `1` при делении на `3`.
    `m=3p+1 => 3n+2=267p+89 => n=89p+29`,
    `k=3n+1=267p+88`.
    1б. `k+1` делится на `3`, `k-1` делится на `89`.
    `k+1=3n, k-1=89m => 3n-89m=2`,
    `m=90m-3n+2` дает остаток `2` при делении на `3`.
    `m=3q+2 => 3n=267q+180, n=89q+60`,
    `k=3n-1=267q+179`.

    2а. `k-1` делится на `267 => k=267t+1`.
    2б. `k+1` делится на `267 => k=267s-1`.

    Все найденные серии `k` не пересекаются, поскольку каждая серия вида `267A+d`, где `d=88,179,1,-1`.
    Если есть пересечения, то разность между некоторыми `d` должна делиться на `267`, а это невозможно, т.к. все разности не больше, чем `179+1=180`.
    `1<=267p+88<=267000 => 0<=p<=999` -  получили `1000` натуральных значений `k`.
    `1<=267q+179<=267000 => 0<=q<=999` - получили `1000` натуральных значений `k`.
    `1<=267t+1<=267000 => 0<=t<=999` - получили `1000` натуральных значений `k`.
    `1<=267s-1<=267000 => 1<=s<=1000` - получили `1000` натуральных значений `k`.

    Ответ: `4000`.

Рассылка решений заочных туров олимпиад по математике