ОММО 2019
Условия и ответы ОММО (все варианты).
info@olympiads.biz - почта для подключения следующих олимпиад.

Очный тур олимпиады школьников СПбГУ 2014-2015 по математике / Задания и решения
  • Вариант 2. Задача №5.
    В стране Альфия `125` городов, любые четыре города можно объехать по кругу в некотором порядке.  Какое наименьшее число пар городов  соединены экспрессами?

    Решение:
    Решим задачу для `n>=4` городов, которые обозначим, как `1,2,...,n`.
    `a=b` означает, что города соединены между собой экспрессом, `a!=b` означает, что нет экспресса между городами.
    Различных соотношений вида `a!=b` может быть не больше `n`. Предположим обратное, пусть таких соотношений `n+1` или больше.
    В каждом соотношении участвует два города, всего таких городов `2n+2` или больше.
    Разных городов по условию `n`, поэтому какой-то город встречается минимум в трех разных соотношениях (принцип Дирихле).
    Т.е. `a!=b, a!=c, a!=d`, для некоторых различных городов `a,b,c,d`.
    Тогда четверка `(a,b,c,d)` противоречит условию задачи, поскольку до города `a` никак не доехать.

    Общее кол-во пар городов равно `C_n^2`, чтобы выполнилось условие задачи, не менее `C_n^2-n` пар городов должны быть соединены экспрессами.
    Построим пример для `C_n^2-n`:
    `1!=2, 2!=3, 3!=4,...,n-1!=n, n!=1`.
    Возьмем произвольную упорядоченную четверку `(a,b,c,d)`, где `a< b < c < d`.
    Строим маршрут так `b -> d -> a -> c`. маршрут возможен, т.к. все соотв. разности строго больше `1`.
    Если `d=n, a=1`:
    `b=n-2, c=n-1 => n-1 -> 1 -> n-2 -> n`,
    `b=2, c=3 => 1 -> 3 -> n -> 2`.
    При других `b,c` годится любой из этих маршрутов.
    Получили общую формулу. Для `n=4` она не работает.

    Ответ: `C_125^2-125`.
    Примечание: возможно, что общая формула `C_n^2-n+1`.
  • Вариант 2. Задача №6.
    В конус с радиусом основания `4` и образующей `8` помещены три шара радиуса `r`. Они касаются друг друга (внешним образом), боковой поверхности конуса, и первые два шара касаются основания конуса. Найдите максимальное значение `r`.

    Решение:
    Проведем секущую через центр трех шаров.
    Секущая конуса будет треугольником с основанием `8` (два радиуса) и боковыми сторонами `8`, следовательно треугольник правильный.
    Известно, что два шара касаются основания и друг друга.
    Рассмотрим треугольник `AHC`, по теореме Пифагора найдем высоту, она равна `4*sqrt(3)`.
    Радиус вписанного в него шара считается по формуле `S/p`, где `p` - полупериметр.
    Площадь треугольника равна `8*sqrt(3)`, полупериметр `2(3 + sqrt(3))`.
    Упростив `(4sqrt(3))/(3 + sqrt(3))` получим, что радиус вписанной окружности равен `2sqrt(3) - 2`.
    Остальные шары будут вписываться аналогичным образом, так как треугольник равносторонний.
    image 
    - рисунок к задаче.

    Ответ: максимальный радиус шара равен `2sqrt(3) - 2`.
  • Вариант 3. Задача №2.
    Найти наибольшее значение выражения при `a>=1, b>=0`:
    `(|7a+b-8ab|+2a+6b-8ab)/(asqrt(1+b^2))`.

    Решение:
    Обозначим наше выражение через `F`.
    Пусть `b=0 => F=(|7a|+2a)/a=9`.
    `1` случай: `7a+b>=8ab => F=(9a+7b-16ab)/(asqrt(1+b^2))`.
    `F=(9a-b(16a-7))/(asqrt(1+b^2))`.
    `a>=1 => 16a-7>0 => 9a-b(16a-7) -> max` при `b=0`,
    `asqrt(1+b^2) -> min` при `b=0 => F<=9` при любых `a>=1, b>=0`, равенство достигается при `b=0`.
    `7a>=0` - нер-во выполняется.
    `2` случай: `7a+b<=8ab => F=(5b-5a)/(asqrt(1+b^2))`.
    `a>=1 => F<=(5b-5)/sqrt(1+b^2)<(5b)/sqrt(b^2)=5`.
    Во втором случае `F<5` при любых `a>=1, b>=0`.

    Итак, показали, что `F<=9` в обоих случаях, максимум достигается при любом `a>=1` и `b=0`.

    Ответ: `9`.
    Примечание:
    возможно, что в условии опечатка. Какие могут быть изменения:
    `b>=1`, выражение `2a+6b-8ab` тоже под модулем. Но с такими
    изменениями максимум не выводится.

    Вариант 4. Задача №2.
    Найти наименьшее значение выражения при `a,b>=0`:
    `(|a-3b-2|+|3a-b|)/sqrt(a^2+(b+1)^2)`.

    Решение:
    Замена `b+1=c => b=c-1`, где `c>=1`.
    Тогда выражение преобразуется `F=(|a-3c+1|+|3a-c+1|)/sqrt(a^2+c^2)`.
    Рассмотрим `F`, как функцию от `a`. Возможны три случая:
    `1` случай: `a>=3c-1 => F=(4a-4c+2)/sqrt(a^2+c^2)`.
    `2` случай: `a in [(c-1)/3;3c-1] => F=(2a+2c)/sqrt(a^2+c^2)`.
    `3` случай: `a in [0;(c-1)/3] => F=(4c-4a-2)/sqrt(a^2+c^2)`.
    Рассмотрим `2` случай:
    Существует такой `x in [0;pi/2]`, что `sinx=a/sqrt(a^2+c^2), cosx=c/sqrt(a^2+c^2)`.
    `c>=1 => cosx=1/sqrt((a/c)^2+1)>=1/sqrt(a^2+1) => x in [0;pi/2)`.
    Тогда `F=2(sinx+cosx)=2sqrt2*sin(x+pi/4)`.
    `x+pi/4 in [pi/4;3/4pi) => F_min=F(0)=2sqrt2*sin(pi/4)=2`.
    Проверим условие `a in [(c-1)/3;3c-1]`: `sinx=0, cosx=1 => a=0, c=1` - подходит.
    Покажем, что в первом случае `F>=2` при всех `a>=3c-1`.
    `(4a-4c+2)/sqrt(a^2+c^2)>=2`,
    `2a-2c+1>=sqrt(a^2+c^2)`,
    `4a^2+4^2+1-8ac+4a-4c>=a^2+c^2`,
    `3a^2-8ac+3c^2+4a-4c+1>=0` - решим нер-во относительно `a`, выделением полного квадрата.
    `3a^2-2a(4c-2)+3c^2-4c+1>=0`,
    `9a^2-6a(4c-2)+9c^2-12c+3>=0`,
    `(3a-4c+2)^2>=7c^2-4c+1>0` при `c>=1`,
    `|3a-4c+2|>=sqrt(7c^2-4c+1)`,
    `a>=3c-1 => |3a-4c+2|=3a-4c+2`,
    `3a>=4c-2+sqrt(7c^2-4c+1)`.
    С другой стороны, `a>=3c-1`, и если верно нер-во `9c-3>=4c-2+sqrt(7c^2-4c+1)`, то `F>=2`.
    `5c-1>=sqrt(7c^2-4c+1)`,
    `25c^2-10c+1>=7c^2-4c+1`,
    `18c^2-6c>=0` - верно при всех `c>=1`.
    Аналогично покажем в третьем случае, что `F>=2` при всех `a in [0;(c-1)/3]`.
    Начальные выкладки аналогичны первому случаю, только модуль раскрывается наоборот:
    `|3a-4c+2|=4c-3a-2`,
    `3a<=4c-2-sqrt(7c^2-4c+1)`.
    С другой стороны, `3a<=c-1`, и если верно нер-во `c-1<=4c-2-sqrt(7c^2-4c+1)`, то `F>=2`.
    `sqrt(7c^2-4c+1)<=3c-1`,
    `7c^2-4c+1<=9c^2-6c+1`,
    `2c^2-2c>=0`,
    `c(c-1)>=0` - верно при всех `c>=1`.
    В третьем случае можно найти точный минимум `F`.
    Если зафиксировать `c`, то легко заметить (числитель принимает миниальное значение, знаменатель максимальное), что `F_min=F((c-1)/3)=(8c-2)/sqrt(10c^2-2c+1)=G(c)`.
    Разными способами можно показать, что `G_min=G(1)=2`.

    Итак, показали, что `F>=2` во всех трех случаях.

    Ответ: `2`.
  • Вариант 3. Задача №4.
    Решить уравнение `2^x+3^y+7=z!` в натуральных числах.

    Решение:
    `z!-7>0 => z>=4 => z!` делится на `3` и на `4`.
    `2^x=z!-7-3^y` дает остаток `2` при делении на `3`.
    С другой стороны, `2^x=(3-1)^x` дает остаток `(-1)^x` при делении на `3`, поэтому `x` - нечетный.
    `x=2k+1`, где `k` целый и неотрицательный.
    `k=0 => x=1`: `3^y+9=z!`.
    `y=1,2` - решений нет.
    `y>=3 => 3^y+9=9(3^(y-2)+1)` делится на `9` и не делится на `27`, значит `6<=z<=8`.
    `z=6 => 3^y=711` - решений нет.
    `z=7 => 3^y=5031` - решений нет.
    `z=8 => 3^y=40311` - решений нет.
    `k>=1 => 2^x` делится на `4` (и даже на `8`).
    `3^y=z!-7-2^x` дает остаток `1` при делении на `4`.
    С другой стороны, `3^y=(4-1)^y` дает остаток `(-1)^y` при делении на `4`, поэтому `y` - четный.
    `y=2n, n` - натуральный.

    `2*4^k+9^n=z!-7`.
    Если `z>=7 => z!-7` делится на `7`.
    `2*4^k+9^n=2^(2k+1)+(7+2)^n` дает остаток `2^(2k+1)+2^n=2^a(2^b+1)` при делении на `7`.
    Следовательно, `2^b+1` должен делиться на `7`. Случай `2k+1=n`, очевидно, не подходит.
    Но `2^3` дает остаток `1` при делении на `3`, поэтому `2^(3m)` дает остаток `1`, `2^(3m+1)` дает остаток `2`, `2^(3m+2)` дает остаток `4`.
    `2^b+1` не может дать остаток `0`, поэтому при `z>=7` решений нет.

    `z=6`: `2*4^k+9^n=713` - решений нет.
    `z=5`: `2*4^k+9^n=113 => (k,n)=(2,2) => (x,y)=(5,4)`.
    `z=4`: `2*4^k+9^n=17 => (k,n)=(1,1) => (x,y)=(3,2)`.

    Ответ: `(x,y)=(3,2), (5,2)`.

    Вариант 4. Задача №4.
    Решить уравнение `2^x+3^y-7=z!` в натуральных числах.

    Решение:
    Пусть `z>=4 => z!` делится на `3`.
    `2^x=z!+7-3^y` дает остаток `1` при делении на `3`.
    `2^x=(3-1)^x` дает остаток `(-1)^x` при делении на `3`, поэтому `x` четный `=> x=2k, k` - натуральный.
    `z!` делится на `4`.
    `3^y=z!+7-2^x=z!+7-4^k` дает остаток `3` (или `(-1)`) при делении на `4`.
    `3^y=(4-1)^y` дает остаток `(-1)^y` при делении на `4`, поэтому y нечетный `=> y=2n+1, n` - целый и неотрицательный.

    `4^k+3^(2n+1)=z!+7`.
    `4^k+3*9^n=z!+7`.
    Пусть `z>=5 => z!+7` дает остаток `2` при делении на `5`.
    `4^k+3*9^n=(5-1)^k+3*(10-1)^n` дает остаток `(-1)^k+3*(-1)^n` при делении на `5`.
    В зависимости от четности `k,n` получаем остатки `-4, -2, 2, 4`, подходит случай, когда `k` - нечетный, `n` - четный.
    Пусть `z>=6 => z!` делится на `16 => z!+7` дает остаток `7` при делении на `16`.
    Если `k>=2 => 3^(2n+1)` дает остаток `7` при делении на `16`.
    `3^(2n+1)=3^(4b+1)=3*81^b=3*(80+1)^b` дает остаток `3` при делении на `16` - решений нет.
    `k=1 => 3^(2n+1)=z!+3`.
    `n>=1` - решений нет, т.к. правая часть не делится на `9`, левая делится.
    `n=0` - решений нет.
    Получили, что при `z>=6` решений нет.

    `z=5`: `4^(2a)+3^(4b+1)=127` - решений нет.
    `z=4`: `4^k+3*9^n=31 => k=1, n=1 => x=2, y=3`.
    `z=3`: `2^x+3^y=13 => x=2, y=2`.
    `z=2`: `2^x+3^y=9` - натуральных решений нет.
    `z=1`: `2^x+3^y=8` - решений нет.

    Ответ: `(x,y)=(2,2), (2,3)`.
  • Вариант 3. Задача №5.
    В деревне Березовка `240` жителей, некоторые люди знакомы с друг другом, а некоторые нет. Известно, что любых пятерых жителей можно посадить за круглый стол так, что каждый из них будет знаком с обоими своими соседями. Какое наименьшее число пар знакомых жителей может быть в Березовке?

    Решение:
    Решим задачу для `n` жителей.
    Рассмотрим граф с `n` вершинами. По условию, любые `5` вершин можно соединить ребрами по кругу.
    Тогда каждая вершина должна быть соединена минимум с `n-3` другими вершинами.
    Предположим обратно, что вершина `A` соединена с `n-4` или меньше вершинами. Тогда эта вершина не соединена минимум с `3` вершинами.
    Возьмем вершину `A`, эти `3` вершины и произвольную пятую вершину.
    В этой пятерке `A` может быть соединен только с одной вершиной (пятая), а по условию задачи в любой пятерке у каждой вершины должны быть минимум две связки.
    Поэтому всего ребер должно быть не меньше `(n(n-3))/2` - целое число при любых `n`.
    Покажем, что этого будет достаточно, построим пример.
    `a!=b` означает, что a не знаком с `b`.
    `1!=2`,
    `2!=3`,
    `3!=4`,
    `...`
    `n-1!=n`,
    `n!=1`.
    Из примера следует, что каждый житель не знаком ровно с двумя другими жителями.
    Общее число соотношений равно `n =>` общее число пар знакомых равно `(n(n-1))/2-n=(n(n-3))/2`.
    Докажем, что для любой пятерки жителей выполняется условие задачи.
    Случай, когда любой житель не знаком с одним жителем из этой пятерки (или знаком со всеми) - очевидный.
    Пусть один из жителей не знаком с `2` жителями.
    Без ограничения общности возьмем жителей `1,2,3` (`2` не знаком с `1` и `3`) и двух произвольных жителей `a,b`.
    По кругу расставим `b->2->a`. `1` и `3` знакомы между собой, их можем расставлять в произвольном порядке.
    Чтобы получился круг, достаточно выполнение одного из двух условий:
    1. `a=1, b=3`.
    2. `a=3, b=1`.
    Оба условия не выполняются, если `a` или `b!=1,3` (чего не может быть т.к. `a,b` отличны от `2`),
    либо если `a!=x` и `b!=x` где `x in (1,3)` (чего не может быть одновременно т.к. `a,b` отличны от `2`).

    `n=240 => (n(n-3))/2=(240*237)/2=28440`.

    Ответ: `28440`.

    Вариант 4. Задача №5.
    В деревне Березовка `200` жителей, некоторые люди знакомы с друг другом, а некоторые нет. Известно, что любых шестерых жителей можно посадить за круглый стол так, что каждый из них будет знаком с обоими своими соседями. Какое наименьшее число пар знакомых жителей может быть в Березовке?

    Решение:
    Решим задачу для `n` жителей, где `n` четно, `n=2k`.
    Рассмотрим граф с `n` вершинами. По условию, любые `6` вершин можно соединить ребрами по кругу.
    Тогда каждая вершина должна быть соединена минимум с `n-4` другими вершинами.
    Предположим обратно, что вершина `A` соединена с `n-5` или меньше вершинами. Тогда эта вершина не соединена минимум с `4` вершинами.
    Возьмем вершину `A`, эти `4` вершины и произвольную шестую вершину.
    В этой шестерке `A` может быть соединен только с одной вершиной (шестая), а по условию задачи в любой шестерке у каждой вершины должны быть минимум две связки.
    Поэтому всего ребер должно быть не меньше `(n(n-4))/2` - целое число при четных `n`.
    Покажем, что этого будет достаточно, построим пример.
    `a!=b` означает, что `a` не знаком с `b`.
    `1!=k,k+1,k+2`,
    `2!=k+1,k+2,k+3`,
    `3!=k+2,k+3,k+4`,
    ...
    `k!=2k-1, 2k, 1`,
    `k+1!=2k, 1,2`,
    `k+2!=1,2,3`,
    ...
    `2k-2!=k-3,k-2,k-1`,
    `2k-1!=k-2,k-1,k`,
    `n=2k!=k-1,k,k+1`.
    Из примера следует, что каждый житель не знаком ровно с тремя другими жителями.
    Например, `1!=k,k+1,k+2`, с другой стороны, `k!=1, k+1!=1, k+2!=1`. В других соотношениях житель `1` не присутствует.
    Общее число соотношений равно `(6k)/2=3k=(3n)/2 =>` общее число пар знакомых равно `(n(n-1))/2-(3n)/2=(n(n-4))/2`.
    Докажем, что для любой шестерки жителей выполняется условие задачи.
    Случай, когда любой житель не знаком с двумя или меньше жителями из этой шестерки - очевидный.
    Пусть один из жителей не знаком с `3` жителями.
    Без ограничения общности возьмем жителей `1,k,k+1,k+2` и двух произвольных жителей `a,b`.
    По кругу расставим `b->1->a`. Тройка `(k,k+1,k+2)` знакома между собой, их можем расставлять в произвольном порядке.
    Чтобы получился круг, достаточно выполнение одного из `6` условий:
    1. `a=k, b=k+1`.
    2. `a=k+1, b=k`.
    3. `a=k, b=k+2`.
    4. `a=k+2, b=k`.
    5. `a=k+1, b=k+2`.
    6. `a=k+2, b=k+1`.
    Все `6` условий не выполняются, если `a` или `b!=k,k+1,k+2` (чего не может быть т.к. `a,b` отличны от `1`),
    либо если `a!=x,y` и `b!=x,y` где `x,y in (k,k+1,k+2)` (чего не может быть одновременно т.к. `a,b` отличны от `1`).

    `n=200 => (n(n-4))/2=(200*196)/2=19600`.

    Ответ: `19600`.
  • Полные условия 3 и 4 вариантов.

    Вариант 3:
    Условия восстановлены "со слов", поэтому не совсем точные, но математически верны.
    1. 510 человек участвуют в турнире по армрестлингу. За победу - `1` очко, за поражение - `0` очков. При этом, если побеждает игрок с меньшим числом очков, то ему добавляется одно очко проигравшего дополнительно. В каждом туре встречаются участники с равным количеством очков, но в одной из пар допускается разница между соперниками в одно очко. Турнир заканчивается, как только определяется единоличный лидер. Какое наименьшее число туров надо провести?
    2. Найти наибольшее значение выражения при `a>=1, b>=0`:
    `(|7a+b-8ab|+2a+6b-8ab)/(asqrt(1+b^2))`.
    3. Равнобокая трапеция `ABCD` с основаниями `AB` и `DC` описана вокруг окружности с центром `O`. Дано, что `OB = b, OC = c`. Найти площадь трапеции.
    4. Решите в натуральных числах уравнение:
    `2^x+3^y+7=z!` (символ `z!` означает факториал `z`).
    5. В деревне Березовка `240` жителей, некоторые люди знакомы с друг другом, а некоторые нет. Известно, что любых пятерых жителей можно посадить за круглый стол так, что каждый из них будет знаком с обоими своими соседями. Какое наименьшее число пар знакомых жителей может быть в Березовке?
    6. См. условие 6 задачи 4 варианта. Условия практически идентичны.

    Вариант 4:
    1. В теннисном турнире участвует `254` школьника. За победу дается `1` очко, за поражение - `0` очков. Если победитель изначально имел меньше очков, чем соперник, то ему дополнительно передается одно очко проигравшего. В каждом туре встречаются участники с равным количеством очков, но в одной из пар допускается разница между соперниками в одно очко. Турнир заканчивается, как только определяется единоличный лидер. Сколько школьников завершит турнир с `5` очками?
    2. Найти наименьшее значение выражения при `a,b>=0`:
    `(|a-3b-2|+|3a-b|)/sqrt(a^2+(b+1)^2)`.
    3. Точки `K,L` и `M` - середины сторон `AB, BC` и `CD` параллелограмма `ABCD`. Оказалось, что четырехугольники `KBLM` и `BCDK` - вписанные. Найдите отношение `AC:AD`.
    4. Решите в натуральных числах уравнение:
    `2^x+3^y-7=z!` (символ `z!` означает факториал `z`).
    5. В деревне Березовка `200` жителей, некоторые люди знакомы с друг другом, а некоторые нет. Известно, что любых шестерых жителей можно посадить за круглый стол так, что каждый из них будет знаком с обоими своими соседями. Какое наименьшее число пар знакомых жителей может быть в Березовке?
    6. В конус помещены три шара радиуса `sqrt24`, касающихся друг друга внешним образом. Два шара касаются боковой поверхности и основания конуса. Третий шар касается боковой поверхности конуса в точке, лежащей в одной плоскости с центрами шаров. Найдите радиус основания конуса, если известно, что он равен высоте конуса.
  • Вариант 5. Задача №1.
    В теннисном турнире участвуют `1152` школьника. За победу дается `1` очко, за поражение - `0` очков.
    Перед каждым туром пары по жребию составляют из участников, имеющих равное количество очков (тем, кому не нашлось пары, начисляют очко без игры). После второго поражения спортсмен выбывает из турнира. Турнир продолжается пока можно составить хоть одну пару соперников. Сколько туров придется провести?

    Решение:
    Обозначим:
     `A/2` - целая часть от деления `A` на `2`,
     `A%2` - остаток от деления `A` на `2`.

    Перед `N`-м туром пусть будет `2` группы участников:
     1) `A` участников с `N-1` очков (победили во всех матчах).
     2) `B` участников с `N-2` очков (проиграли в `1` матче).
    Все остальные выбыли (т.к. потеря `2` очков приводит к выбыванию).
    Тогда перед `(N+1)`-м туром у нас будут группы:
    1) `A/2+A%2` участников с `N` очков, где `A/2` - победители из `1` группы прошлого тура, `A%2` - возможный участник без пары из `1` группы.
    2) `A/2+B/2+B%2` участников с `N-1` очков, где `B/2`- победители из `2` группы прошлого тура, `B%2` - возможный участник без пары из `2`-й группы, `A/2`- проигравший из `1` группы прошлого тура
    Остальные выбыли.

    Составим таблицу
    `N`        `A`        `B`
    `1`     `1152`     `0`
    `2`     `576`       `576`
    `3`     `288`       `576`
    `4`     `144`       `432`
    `5`     `72`         `288`
    `6`     `36`         `180`
    `7`     `18`         `108`
    `8`     `9`           `63`
    `9`     `5`           `36`
    `10`   `3`           `20`
    `11`   `2`           `11`
    `12`   `1`           `7`
    `13`   `1`           `4`
    `14`   `1`           `2`
    `15`   `1`           `1`

    Поскольку пары могут образовываться только из участников из одной группы, то больше пар составить не можем, значит `15`-й тур не проводим.

    Ответ: `14` туров.
  • Вариант 5. Задача №2.
    `(|2a-b+2a(b-a)|+|b+2a-a(b+4a)|)/sqrt(4a^2+b^2)`.
    Найти наименьшее значение выражения при `a,b>0`.

    Решение:
    Обозначим наше выражение через `f`.
    Пусть `b=a => f=(|a|+|3a-5a^2|)/sqrt(5a^2)`.
    `a>0 => f=(a+a*|3-5a|)/(a*sqrt5)=(1+|3-5a|)/sqrt5`.
    Понятно, что `f>=1/sqrt5`, равенство возможно при `3-5a=0  <=> a=3/5`.

    Пусть `b=ak`, тогда `f=(|2-k-2a(1-k)|+|2+k-a(k+4)|)/sqrt(4+k^2)`.
    Представим `f`, как функцию от `a`.
    `f(a)=(|2a(k-1)+2-k|+|a(k+4)-2-k|)/sqrt(4+k^2)`.
    `k!=1` (этот случай уже рассмотрен.
    `a_1=(k-2)/(2(k-1)), a_2=(k+2)/(k+4)`. Понятно, что `a_2 in (1/2;1)`.
    `a_1=1/2-1/(2(k-1))`.
    `a_1-a_2=(-k^2-4)/(2(k-1)(k+4))` - разность отрицательна если `k>1` и положительна, если `k<1`.
    Пусть `f(a)*sqrt(4+k^2)/2|k-1|=g(a)`.
    `g(a)=|a-(k-2)/(2(k-1))|+p(k)*|a-(k+2)/(k+4)|`, где `p(k)=(k+4)/(2|k-1|)`.
    `g(a)=|a-a_1|+p(k)*|a-a_2|`.

    `1` случай: `k<1 => a_1>a_2>1/2, p(k)=(k+4)/(2-2k)`.
    На прямой изобразим точки `a_1,a_2`.
    На самом правом участке получаем прямую с коэффициентом `1+p(k)=(6-k)/(2-2k)`.
    В центре прямая с коэффициентом `p(k)-1=(3k+2)/(2-2k)`.
    На левом луче прямая с коэффициентом `-p(k)-1=(k-6)/(2-2k)`.
    Понятно, что при `k<1`: `(6-k)/(2-2k)>(3k+2)/(2-2k)>0>(k-6)/(2-2k)`.
    Графически (у функции `g(a)`) минимум будет в точке `a=a_2`.
    `g_min=g(a_2)=|a_1-a_2|=(k^2+4)/(2(1-k)(k+4))`.
    Тогда `f_min=(k^2+4)/(k+4)*1/sqrt(k^2+4)=sqrt(k^2+4)/(k+4)`.
    Легко заметить, что `sqrt(k^2+4)/(k+4)>=1/sqrt5` при всех `k`:
    `5(k^2+4)>=(k+4)^2`,
    `4k^2-8k+4>=0`,
    `4(k-1)^2>=0` - всегда верно.

    `2` случай `k>1` разбирается аналогично, минимум получается в точке `a_1`.
    `g_min=p(k)*|a_1-a_2|=(k^2+4)/(2k-2)^2`.
    `f_min=sqrt(k^2+4)/(2k-2)>=1/sqrt5`:
    `5(k^2+4)>=4k^2-8k+4`,
    `k^2+8k+16>=0`,
    `(k-4)^2>=0` - всегда верно.

    Ответ: наименьшее значение равно `1/sqrt5` при `a=b=3/5`.
  • Вариант 5. Задача №4.
    Решите уравнение в натуральных числах
    `2^x+6^y+5=15^z`.

    Решение:
    `2^x=15^z-6^y-5`.
    `15^z-6^y` делится на `3`, поэтому выражение `15^z-6^y-5` дает остаток `1` при делении на `3`.
    С другой стороны, `2^x=(3-1)^x` дает остаток `(-1)^x` при делении на `3 => x` - четный, т.е. `x=2k`, `k` - натуральный.
    `4^k=15^z-5-6^y`.
    `6^y=(5+1)^y` дает остаток `1` при делении на `5 =>` выражение `15^z-5-6^y` дает остаток `(-1)` при делении на `5`.
    С другой стороны, `4^k=(5-1)^k` дает остаток `(-1)^k` при делении на `5`, поэтому `k` - нечетный, `k=2n+1`, где `n` целое, неотрицательное число.

    `x=4n+2`.
    `2^(4n+2)+6^y+5=15^z`.
    При делении на `4`:
    Левая часть дает остаток `0+2^y+1=2^y+1`, правая часть дает остаток `(-1)^z`.
    Если `y>=2 => z` - четный.
    Если `y=1 => z` - нечетный.
    Пусть `n>=1, y>=3 =>` при делении на `8` левая часть дает остаток `5`, а правая часть `(16-1)^z` дает остаток `(-1)^z` т.е. `1` или `(-1)`. Решений нет.

    `n=0`: `6^y+9=15^z`.
    Есть решение `y=z=1`.
    Пусть `y>1 => z>1`. Если `y>=3, z>=3 => 9=15^z-6^y` делится на `27` - решений нет.
    Значит `y=2` или `z=2`.
    `y=2` - решений нет.
    `z=2 => 6^y+9=225 => y=3`.
    Получили два решения `(x,y,z)=(2,1,1,), (2,3,2)`.

    `n>=1 => y<=2`, иначе получим противоречие при делении на `8`.
    `y=1`: `2^(4n+2)+11=15^z`. Левая часть дает остаток `3` при делении на `8`, правая часть дает остаток `(-1)^z`. Решений нет.
    `y=2`: `2^(4n+2)+41=15^z`. Левая часть дает остаток `9` при делении на `16`, правая часть `15^z=(16-1)^z` дает остаток `(-1)^z`. Решений нет.

    Ответ: `(x,y,z)=(2,1,1,), (2,3,2)`.
  • Вариант 5. Задача №5.
    В лагерь приехало `175` школьников. Некоторые знакомы между собой, некоторые нет. Известно, что любых `6` школьников можно расселить по трое так, что каждая тройка будет знакомы между собой. Какое наименьшее число пар знакомых школьников.

    Решение:
    image
    Будем постепенно искать верхнюю грань:
    Сперва заметим, что каждый школьник может не знать максимум `3` человек (иначе если мы выберем среди шести школьников его, и `4` незнакомых ему человек, то он не сможет попасть ни в одну комнату).
    Далее заметим, что если каждый школьник не будет знать ровно `2` человека, то возможно выбрать шесть школьников таким образом, что бы их нельзя было разделить по комнатам - рис. `1`.
    Если каждый школьник не будет знать максимум одного человека, то среди `6` всегда найдутся две тройки знакомых между собой, но это условие немного избыточно (рис. `2`).
    Рассмотрим случай, когда два школьника не знают только по два человека, а все остальные не знают по одному человеку (рис. `3`).
    Таким образом, из `175` школьников двое могут не знать по `2` человека, остальные `173` могут быть не знакомы только с одним человеком:
    Пар знакомых школьников: `[(175*173)/2] - 2 = 15136` (делим на два, потому что пара `a + b` тоже самое что пара `b + a`, округляем в большую сторону).

    Ответ: `15136`.
    - рисунок к задаче.

Рассылка решений заочных туров олимпиад по математике